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    高考-专栏--基本初等函数.doc

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    高考-专栏--基本初等函数.doc

    |专题 1:基本初等函数(两课时)班级 姓名 一、前测训练1已知函数 f(x) ,若 f(x)2,则 x 的取值范围为 f(x)在区间 1,3的值域为 x 1, x 1, x2 4, x 1 )答案: ,);2,4 .22若 f(x2 1)x 2,则 f(x) 已知 ff(x) 94x,且 f(x)是一次函数,则 f(x) 已知函数满足 2f(x)f( )x,则 f(2) ;f (x) 1x答案:x1(x1);2x3 或2x9; , x 76 23 13x3若二次不等式 f(x)0 的解集为(1,2) ,且函数 yf(x) 的图象过点(1,2),则 f(x) 已知 f(x)x 22x 2,x t,t1,若 f(x)的最小值为 h(t),则 h(t) 答案: x2x ; 13 234已知 2 ( ) ,则函数 y( ) 的值域为 x2 x 14x 23x2 2x 设 loga 2,则实数 a 的取值范围为 13答案: ,81;(0, )(1 ,).5 lg 25lg2lg50 已知函数 ylog (x22x2),则它的值域为 12已知函数 ylog (2ax )在区间0,1 上为单调递减,则实数 a 的取值范围为 12答案:1;(,0 ;(,0).6函数 f(x)lgx sinx 零点的个数为 函数 f(x)2 xx4 零点所在区间为(k ,k1 ),kN ,则 k 答案:3;1.二、方法联想1分段函数方法 1:分段函数,分类处理;方法 2:分段函数整体处理2解析式求法方法 1 换元法、配凑法;方法 2 待定系数法;方法 3 方程组法3二次函数二次函数解析式求法一般设为三种形式:(1)一般式:f(x)ax 2bxc(a0);(2)顶点式:f(x) a(xh) 2k (a0);(3)零点式:f( x)a( x x1)(xx 2)(a0)二次函数最值求法求二次函数最值,考虑对称轴与区间的相对位置关系,即左、中偏左、中偏右、右,再根据具体问题对四种|情况进行合并(或取舍) 4指数函数(1)指数方程与不等式问题关键是两边化同底(2)与指数函数有关的值域问题,方法一:复合函数法,转化为利用指数函数的单调性;方法二:换元法5对数函数(1)对数式化简可利用公式 log bn logab 将底数和真数均化成最简形式 amnm(2) 对数方程与不等式问题关键是两边化同底6零点问题方法 1 数形结合法;方法 2 连续函数 yf(x )在区间( a,b) 上有 f(a)f(b)0,则 f(x)在( a,b)上至少存在一个零点反之不一定成立二次函数 yf(x )在区间( a,b) 上有 f(a)f(b)0,则 f(x)在( a,b)上存在唯一一个零点 三、例题分析第一层次例 1.已知函数 f(x)log a(82 x)(a0,且 a1).(1)当 a2 时,求满足不等式 f(x)2 的实数 x 的取值范围;(2)当 a1 时,求函数 yf (x)f (x )的最大值.解:(1)实数 x 的取值范围为2,3) .(2)函数 yf( x)f( x )的最大值为 loga49.教学建议(1)主要问题归类与方法:1解指(对)数不等式问题:方法:利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解换元法:转化为代数不等式2与指(对) 数有关的函数值域:方法:考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理用换元法,转化为几个基本函数的值域问题(2)方法选择与优化建议:对于问题 1,学生一般会选择方法,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数不等式,所以选择方法对于问题 2,学生一般会选择方法,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所以选择方法指数函数、对数函数的单调性受底数 a 的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时,首先要看底数的范围.本题的易错点有两个,一是第一问中的“82 x0”的定义域部分;二是第二问中函数 yf(x)f(x )的定义域.例 2.已知函数 f(x) (aR )的定义域为 R,求关于 x 的方程 |a1|1 的根的取值范围.x2 4ax 2a 30xa 3解: 取值范围为 ,18.94教学建议(1)主要问题归类与方法:|1已知函数的定义域,求参数的范围:方法:与求函数的定义域的处理方法一致,将问题转化为已知不等式的解集,再利用对应方程的根已知,求参数的范围2分段函数的值域:方法:利用函数的图象,求值域分别求每个区间的值域,再求并集(2)方法选择与优化建议:对于问题 2,学生一般会选择方法,在解答题中,需要解题过程,所以选择方法本题的易错点是最后求得的 x 的取值范围应该两段函数的值域的并集.例 3.已知函数 f(x)a·2 xb·3 x,其中常数 a,b 满足 ab0.(1)若 ab0,判断函数 f(x)的单调性;(2)若 ab0,求 f(x1)f(x)时 x 的取值范围解:(1)当 a0,b0 时,函数 f(x)在 R 上是增函数同理,当 a0,b0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数(2)当 a0,b0 时,x 的取值范围为(log 1.5 ,);( a2b)当 a0,b0 时,x 的取值范围为(,log 1.5 ).( a2b)教学建议(1)主要问题归类与方法:1讨论函数的单调性问题:方法:利用函数的图象;复合函数的单调性;利用函数单调性的定义利用导函数来求函数的单调区间2与指(对) 数有关的解不等式问题:方法:利用函数的单调性,转化为代数不等式用换元法,依次解几个代数不等式(2)方法选择与优化建议:对于问题 1,学生一般会选择方法或,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法不能用作证明,所以选择方法或对于问题 2,学生一般会选择方法,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法本题的易错点是第二问中忽视字母 a 的符号对不等号的方向的影响.本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的, “ab0”和“ab0”的含义是字母 a、b 同号或异号,因此需要具体到 a、b 各自的符号.第二层次例 1.已知函数 f(x)log a(82 x)(a0,且 a1).(1)当 a2 时,求满足不等式 f(x)2 的实数 x 的取值范围;(2)当 a1 时,求函数 yf (x)f (x )的最大值.解:(1)实数 x 的取值范围为2,3) .(2)函数 yf( x)f( x )的最大值为 loga49.教学建议|(1)主要问题归类与方法:1解指(对)数不等式问题:方法:利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解换元法:转化为代数不等式2与指(对) 数有关的函数值域:方法:考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理用换元法,转化为几个基本函数的值域问题(2)方法选择与优化建议:对于问题 1,学生一般会选择方法,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数不等式,所以选择方法对于问题 2,学生一般会选择方法,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所以选择方法指数函数、对数函数的单调性受底数 a 的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时,首先要看底数的范围.本题的易错点有两个,一是第一问中的“82 x0”的定义域部分;二是第二问中函数 yf(x)f(x )的定义域.例 2.已知函数 f(x)a·2 xb·3 x,其中常数 a,b 满足 ab0.(1)若 ab0,判断函数 f(x)的单调性;(2)若 ab0,求 f(x1)f(x)时 x 的取值范围解:(1)当 a0,b0 时,函数 f(x)在 R 上是增函数当 a0,b0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数(2)当 a0,b0 时,x 的取值范围为(log 1.5 ,);( a2b)当 a0,b0 时,x 的取值范围为(,log 1.5 ).( a2b)教学建议(1)主要问题归类与方法:1讨论函数的单调性问题:方法:利用函数的图象;复合函数的单调性;利用函数单调性的定义利用导函数来求函数的单调区间2与指(对) 数有关的解不等式问题:方法:利用函数的单调性,转化为代数不等式用换元法,依次解几个代数不等式(2)方法选择与优化建议:对于问题 1,学生一般会选择方法或,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法不能用作证明,所以选择方法或对于问题 2,学生一般会选择方法,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法本题的易错点是第二问中忽视字母 a 的符号对不等号的方向的影响.本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的, “ab0”和“ab0”的含义是字母 a、b 同号或异号,因此需要具体到 a、b 各自的符号.|例 3.设命题 p:函数 f(x) 的定义域为 R;命题 q:不等式 3x9 xa1 对一切正实数 x 均成立.(1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围;(2)如果命题 p 且 q 为真命题,求实数 a 的取值范围.解:(1)实数 a 的取值范围为0,4) .(2)实数 a 的取值范围为1,4) .教学建议(1)主要问题归类与方法:1已知函数的定义域,求参数的范围:方法:与求函数的定义域的处理方法一致,将问题转化为已知不等式的解集,再利用对应方程的根已知,求参数的范围2不等式恒成立问题:方法:分离变量转化为求函数的最值直接求函数的最值,再解不等式;利用函数的图象,观察临界情况,再进行相应的计算3复合命题的真假判断:方法:转化为判断构成复合命题的简单命题的真假,再根据逻辑联结词,来判断(2)方法选择与优化建议:对于问题 1,因为它是二次不等式对于任意实数恒成立,只需研究判定式及二次项系数的符号即可;对于问题 2,学生一般会选择方法,因为本题分离变量较容易,而且对应函数的值域比较容易求,所以选择方法在考查命题 p 是真命题时,容易漏掉 a0 的情况,另外容易出现因为忽视“ax 2ax1”出现的位置,在限制条件中将“0”错写为“0”.第三层次例 1.已知函数 f(x)log a(82 x)(a0,且 a1).(1)当 a2 时,求满足不等式 f(x)2 的实数 x 的取值范围;(2)当 a1 时,求函数 yf (x)f (x )的最大值.解:(1)实数 x 的取值范围为2,3) .(2)函数 yf( x)f( x )的最大值为 loga49.教学建议(1)主要问题归类与方法:1解指(对)数不等式问题:方法:利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解换元法:转化为代数不等式2与指(对) 数有关的函数值域:方法:考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理用换元法,转化为几个基本函数的值域问题(2)方法选择与优化建议:对于问题 1,学生一般会选择方法,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数不等式,所以选择方法对于问题 2,学生一般会选择方法,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所以选择方法|指数函数、对数函数的单调性受底数 a 的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时,首先要看底数的范围.本题的易错点有两个,一是第一问中的“82 x0”的定义域部分;二是第二问中函数 yf(x)f(x )的定义域.例 2.已知函数 f(x)a·2 xb·3 x,其中常数 a,b 满足 ab0.(1)若 ab0,判断函数 f(x)的单调性;(2)若 ab0,求 f(x1)f(x)时 x 的取值范围解:(1)当 a0,b0 时,函数 f(x)在 R 上是增函数当 a0,b0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数(2)当 a0,b0 时,x 的取值范围为(log 1.5 ,);( a2b)当 a0,b0 时,x 的取值范围为(,log 1.5 ).( a2b)教学建议(1)主要问题归类与方法:1讨论函数的单调性问题:方法:利用函数的图象; 复合函数的单调性;利用函数单调性的定义利用导函数来求函数的单调区间2与指(对) 数有关的解不等式问题:方法:利用函数的单调性,转化为代数不等式 用换元法,依次解几个代数不等式(2)方法选择与优化建议:对于问题 1,学生一般会选择方法或,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法不能用作证明,所以选择方法或对于问题 2,学生一般会选择方法,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法本题的易错点是第二问中忽视字母 a 的符号对不等号的方向的影响.本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的, “ab0”和“ab0”的含义是字母 a、b 同号或异号,因此需要具体到 a、b 各自的符号.例 3.已知函数 f(x)a .1|x|(1 )求证:函数 yf (x)在(0,)上是增函数;(2)若 f(x)2x 在(1 ,) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;(3)若函数 yf( x)在 m,n上的值域是m,n(m n),求实数 a 的取值范围解:(1)f(x) 在(0,)上为增函数(2)a 的取值范围为(,3 (3)a 的取值范围为0(2,) 教学建议(1)主要问题归类与方法:1讨论函数的单调性问题:方法:利用函数的图象;复合函数的单调性;|利用函数单调性的定义利用导函数来求函数的单调区间2不等式恒成立问题:方法:分离变量转化为求函数的最值 直接求函数的最值,再解不等式;利用函数的图象,观察临界情况,再进行相应的计算3已知函数的值域,求参数的取值:方法:借助函数的图象了解函数单调性,再根据函数的单调性找最值来处理(2)方法选择与优化建议:对于问题 1,学生一般会选择方法或,因为本题是证明函数的单调性,方法不能用作证明,所以选择方法或对于问题 2,学生一般会选择方法,因为本题分离变量较容易,而且对应函数的值域比较容易求,所以选择方法

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