函数的周期性与-对称性.doc

|函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T4|ab|3.函数 图象本身的对称性（自身对称）)(xfy若 ，则 具有周期性；若 ，则 具有fab()fx()()faxfbx()f对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、 图象关于直线 对称)()(xff)(xfy2)(ax推论 1： 的图象关于直线 对称a 推论 2、 的图象关于直线 对称)2()xfxf )(xfyax推论 3、 的图象关于直线 对称2、 的图象关于点 对称cxbfaf)()()(xfy),2(cb推论 1、 的图象关于点 对称ba2a推论 2、 的图象关于点 对称xfx)()(xfy),(b推论 3、 的图象关于点 对称例题分析：1设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则)(xf),)()2(xfxf10xf)(等于 ( )5.47（A）0.5 （B） （C）1.5 （D） 5.05.2、 （山东）已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为（ ）R)(f()(ff6fA1 B0 C1 D23设 是定义在 上的奇函数， 求)(xf ,1),ffxf(10).f4函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则fx()(ff5f|_(5)f5已知 是定义在 上的奇函数，且它的图像关于直线 对称。xfR1x（1）求 的值；（2）证明 是周期函数；(0)(xf（3）若 ，求 时，函数 的解析式，并画出满足条件的函数1fx)(xf至少一个周期的图象。)(f6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x) 当 x0,2时，f (x)2xx 2.(1)求证：f( x)是周期函数；(2)当 x2,4 时，求 f(x)的解析式巩固练习：1函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x0,2 时，f(x)x1，则不等式 xf(x)>0 在1,3上的解集为( )A(1,3) B (1,1) C(1,0) (1,3) D( 1,0)(0,1)2设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1) f (x1)，已知当x0,1时，f( x) 1x ，则：2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2) 上递减，在(2,3)上(12)递增；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时，f(x) x3 .(12)其中所有正确命题的序号是_3设定义在 R 上的奇函数 yf(x)，满足对任意 tR，都有 f(t)f(1t)，且 x 时，0，12f(x)x 2，则 f(3)f 的值等于( )A B C D( 32) 12 13 14 154若偶函数 yf( x)为 R 上的周期为 6 的周期函数，且满足 f(x)( x1)(xa)( 3x3)，则 f(6)等于_ 5、 （1） ;_)1()21) xfaxfx） 对 称 ：，关 于 点 （2） )(0214)( fxfx） 对 称 ：，关 于 （3）若 设),(af个 不 同 的 实 数 根 ， 则有 nxf(|._21nxx6设 f(x)是(，)上的奇函数，f (x2)f (x)，当 0x1 时，f(x) x.(1)求 f(3)的值；(2) 当4x4 时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积7设 是定义在 上以 2 为周期的周期函数，且 是偶函数，在区间)(xf),()(f上， 求 时， 的解析式.3,2.4322x,1x)(xf8.设函数 对任意实数 满足 ， )(f )2()(ff)7(f判断函数 图象在区间 上与 轴至少有多少个交点.,07xf且 x30,x9.已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数()yfR5T是奇函数.又知 在 上是一次函数，在 上是二次函()fx1()yfx0,11,4数，且在 时函数取得最小值 .25（1）证明： ；（2）求 的解析式；()40f(),4f（3）求 在 上的解析式.yx,910.已知 ， （1）判断 的奇偶性；（2）证明：)2()xf )(xf 0)(xf11、定义在 上的函数 是减函数，且是奇函数，若1大)(fy，求实数 的范围。054()(2afaf a12 （重庆文）已知定义域为 的函数 是奇函数。R12()xbfa（）求 的值；（）若对任意的 ，不等式 恒成立，,abt22()()0ftftk求 的取值范围。k|复习题：1已知数列 na，其前 项和为 nS，点 (,)n在抛物线 231yx上；各项都为正数的等比数列 nb满足 1351,632b.（）求数列 n， 的通项公式；（）记 nCab,求数列 n的前 项和 nT2在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且ABCc（其中 为 的面积） 283ABbcaSABC（）求 ；（）若 ， 的面积为 3，求 2sincos2bABa3某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 依次为 1,2,3,4,5现从一批该X日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求 ， ， 的值；abc（）在（1）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 ， ， ，等级系数为1x235 的 2 件日用品记为 ， ，现从 ， ， ， ， 这 5 件日用品中任取两件1y21x2y（假定每件日用品被取出的可能性相同） ，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率4. 如图，在三棱锥 ABCP中， 底面 ABC，ACB， H为 的中点， 2， 1.（）求证： 平面 ；（）求经过点 的球的表面积。AC5.已知抛物线 与 轴交点为 ，动点 在抛物线28()xyM,PQ上滑动，且 0MPQ（1）求 中点 的轨迹方程 ；RW（2）点 在 上， 关于 轴对称，过点 作切线 ，且 与 平行，点,ABCD,AyDlBCl到 的距离为 ，且 ，证明： 为直角三角形12d12|dA6. 设函数 .（1）求 的极大值；2ln()xf()fx（2）求证： 2*()21()1()ennNX1 2 3 4 5频率 a02 045 bcABCPH|（3）当方程 有唯一解时，方程 也()0()2afxRe2()()0axtgxtf有唯一解，求正实数 的值；t函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T4|ab|3.函数 图象本身的对称性（自身对称）)(xfy若 ，则 具有周期性；若 ，则 具有fab()fx()()faxfbx()f对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、 图象关于直线 对称)()(xff)(xfy2)(ax推论 1： 的图象关于直线 对称a 推论 2、 的图象关于直线 对称)2()xfxf )(xfyax推论 3、 的图象关于直线 对称2、 的图象关于点 对称cxbfaf)()()(xfy),2(cb推论 1、 的图象关于点 对称ba2a推论 2、 的图象关于点 对称xfx)()(xfy),(b推论 3、 的图象关于点 对称例题分析：1设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则)(xf),)()2(xfxf10xf)(等于 ( )5.47（A）0.5 （B） （C）1.5 （D） 5.05.2、 （山东）已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为（ ）R)(f()(ff6fA1 B0 C1 D23设 是定义在 上的奇函数， 求)(xf ,1),ffxf(10).f|4函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则)(xfx1(2)(fxf()5f_5f5已知 是定义在 上的奇函数，且它的图像关于直线 对称。)(xfR1x（1）求 的值；（2）证明 是周期函数；0)(xf（3）若 ，求 时，函数 的解析式，并画出满足条件的函数()1fx)(xf至少一个周期的图象。f6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x) 当 x0,2时，f (x)2xx 2.(1)求证：f( x)是周期函数；(2)当 x2,4 时，求 f(x)的解析式解：(1)证明：f(x2) f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为 4 的周期函数(2)x2,4，x 4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x )2x 26x8.又 f(4 x)f(x )f(x )，f(x)x 26x8，即 f(x)x 26x8，x 2,4巩固练习：1函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x0,2 时，f(x)x1，则不等式 xf(x)>0 在1,3上的解集为( )A(1,3) B (1,1) C(1,0) (1,3) D( 1,0)(0,1)解析：选 C f(x )的图像如图当 x( 1,0)时，由 xf(x)>0 得 x( 1,0)；当 x(0,1)时，由 xf(x)0 得 x(1,3) 故 x( 1,0)(1,3)2设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1) f (x1)，已知当|x0,1时，f( x) 1x ，则：2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2) 上递减，在(2,3)上(12)递增；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时，f(x) x3 .(12)其中所有正确命题的序号是_解析：由已知条件：f(x 2)f(x)，则 yf(x) 是以 2 为周期的周期函数，正确；当1x0 时 0x 1，f (x)f (x) 1x ，(12)函数 yf(x) 的图像如图所示：当 3<x<4 时，1< x4<0 ，f(x)f (x4) x3 ，因此正确，不正确答案：(12)3设定义在 R 上的奇函数 yf(x)，满足对任意 tR，都有 f(t)f(1t)，且 x 时，0，12f(x)x 2，则 f(3)f 的值等于( )( 32)A B C D12 13 14 15解析：选 C 由 f(t)f(1t) 得 f(1t)f(t )f (t)，所以 f(2t) f(1 t)f(t)，所以 f(x)的周期为 2.又 f(1)f(1 1)f(0)0，所以 f(3)f f(1)f 0 2 .( 32) (12) (12) 144若偶函数 yf( x)为 R 上的周期为 6 的周期函数，且满足 f(x)( x1)(xa)( 3x3)，则 f(6)等于_ 解析：yf( x)为偶函数，且 f(x)(x1)·( xa)(3x3)，f(x)x 2(1 a)x a,1a0.|a 1.f(x)(x1)( x1)( 3 x3) f (6) f (66)f(0) 1.5、 （1） ;1)21 xfafx ） 对 称 ：，关 于 点 （2） 2)(0214)( ffx ） 对 称 ：，关 于 （3）若 设),(af个 不 同 的 实 数 根 ， 则有 nxf(.naxxaxx nn )()2( 221121 ,( 1xk时 ， 必 有当6设 f(x)是(，)上的奇函数，f (x2)f (x)，当 0x1 时，f(x) x.(1)求 f(3)的值；(2) 当4x4 时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积解：(1)由 f(x2)f( x)得， f(x4)f(x2)2f(x2)f(x )，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(3)f (34)f(1)1.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x2) f(x)，得 f(x1)2f(x1)f(x1)，即 f(1x) f(1x )故知函数 yf (x)的图像关于直线 x 1 对称又 0x1 时，f( x)x ，且 f(x)的图像关于原点成中心对称，则1x0 时， f(x)x ，则 f(x)的图像如图所示当4x4 时，设 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4S OAB4×4.(12×2×1)7设 是定义在 上以 2 为周期的周期函数，且 是偶函数，在区间xf),()(xf上， 求 时， 的解析式.3, .432)2x,1x)(f解：当 ，即 ，,4)3(2)()() 22xxfxf又 是以 2 为周期的周期函数，于是当 ，即 时，,1243x).2(4)(243)()(2xxf有|).21(4)(2)xxf8.设函数 对任意实数 满足 ， )(xff)7(f判断函数 图象在区间 上与 轴至少有多少个交点.,0)(7(fxf且 )(x30,解：由题设知函数 图象关于直线 和 对称，又由函数的性质得f2x是以 10 为周期的函数.在一个周期区间 上，)(xf 1, ,)(0)()2()4,0 不 能 恒 为 零且 xfffff 故 图象与 轴至少有 2 个交点.(x而区间 有 6 个周期，故在闭区间 上 图象与 轴至少有 13 个交点.3,3,)(xf9.已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数()yfxR5T是奇函数.又知 在 上是一次函数，在 上是二次函()f1()yfx0,11,4数，且在 时函数取得最小值 .25（1）证明： ；（2）求 的解析式；()40f(),4f（3）求 在 上的解析式.yx,9解： 是以 为周期的周期函数，且在 上是奇函数，()f51,， .1(1)(4ff()40f当 时，由题意可设 ，,4x25 )xaa由 得 ， ，()0f2()5()a2 .2)14xx 是奇函数， ，(yf (0)f又知 在 上是一次函数，可设)x0, (1)xk而 ，2(153f ，当 时， ，3k1x()3fx从而 时， ，故 时， .0()f 1x()3fx|当 时，有 ， .46x15x()5)3()15fxx当 时， ，94 22()()(7)f .2315,6(7)9xxf10.已知 ， （1）判断 的奇偶性；（2）证明：)xf )(f 0)(xf11、定义在 上的函数 是减函数，且是奇函数，若1大)(xfy，求实数 的范围。054()(2afaf a12 （重庆文）已知定义域为 的函数 是奇函数。R12()xbf（）求 的值；（）若对任意的 ，不等式 恒成立，,abt22()()0ftftk求 的取值范围。k10(1)偶函数 (2)奇函数 11(1)偶函数 12、 31,2复习题：2已知数列 na，其前 项和为 nS，点 (,)n在抛物线 2yx上；各项都为正数的等比数列 nb满足 1351,632b.（）求数列 n， 的通项公式；（）记 nCab,求数列 n的前 项和 nT2在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且ABCc（其中 为 的面积） 283ABcaSABC（）求 ；（）若 ， 的面积为 3，求 2sincos2bABa3某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 依次为 1,2,3,4,5现从一批该X日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求 ， ， 的值；abc（）在（1）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 ，1x， ，等级系数为 5 的 2 件日用品记为 ， ，现从 ，2x3 1y2， ， ， 这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用1y2X1 2 3 4 5频率 a02 045 bcABCPH