高考数学复习专题-平面解析几何（四）..doc

年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题平面解析几何（四）教学目的教学内容第七节 抛物线（一）高考目标考纲解读1了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质2理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用考向预测1抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点2考题以选择、填空题为主，多为中低档题3解答题考查直线与抛物线的位置关系（二）课前自主预习知识梳理1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离 的点的集合叫做抛物线点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 标准方程y22px(p>0)y22px(p>0)性质范围x0，yRx0，yR准线方程x x 焦点FF轴关于 轴对称顶点O(0,0)离心率e1焦半径|MF|x0|MF|x0标准方程x22py(p>0)x22py(p>0)性质范围y0，xRy0，xR准线方程yy焦点FF轴关于 轴对称顶点O(0,0)离心率e1焦半径|MF|y0|MF|y03.抛物线y22px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论：|AB|；y1y2 ；x1·x2 （三）基础自测1(2010·四川文)抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1B2 C4 D8答案C2(2010·辽宁理)设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4 B8 C8 D16答案B解析如图，kAF，AFO60°，|BF|4，|AB|4，即P点的纵坐标为4，(4)28x，x6，|PA|8|PF|，故选B.3(2009·山东文)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay2±4x By2±8x Cy24x Dy28x答案B解析本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系由已知得抛物线焦点为F，AF所在直线方程为y2.A，SOAF×·4，a264，a±8，抛物线的方程为y2±8x.4已知点M是抛物线y22px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A相交B相切 C相离 D以上三种情形都有可能答案B解析如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MDMF，ONOF，AB，这个圆与y轴相切5(2010·重庆文)已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_.答案2解析本题考查抛物线的定义设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)抛物线y24x，焦点为(1，c)，准线为x1.|AF|x1(1)2，所以x11.则AF与x轴垂直，|BF|AF|2.6(2009·海南宁夏文)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A、B两点若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_答案y24x解析本题主要考查直线与抛物线的位置关系和学生的分析问题、解决问题的能力由题意设抛物线方程为y22px(p>0)由，得x22px，x10，x22p，y10，y22pA(0,0)，B(2p,2p)又P(2,2)为AB的中点，p2.y24x.7已知点A(0，2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·y28.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹方程与直线yx2交于C，D两点，求证：OCOD(O为原点)解析(1)由题意得·(x，2y)·(x,4y)y28，化简得x22y.(2)将yx2代入x22y中，得x22(x2)整理得x22x40，可知41620>0，x1x22，x1x24.y1x12，y2x22，y1·y2(x12)(x12)x1x22(x1x2)44.kOC·kOD·1，OCOD.（四）、典型例题1.命题方向：抛物线的定义及应用例1已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标分析抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|PF|的问题可转化为|PA|d的问题，运用三点共线可使问题得到解决解析将x3代入抛物线方程y22x，得y±，>2，点A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义，知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，即点P的坐标为(2,2)跟踪练习1：若例题中点A的坐标变为(2,3)，求|PA|PF|的最小值解析将x2代入抛物线方程，得y±2，3>2，点A在抛物线的外部|PA|PF|AF|，A、P、F三点共线时有最小值，最小值为.2.命题方向：抛物线的标准方程与几何性质例2根据下列条件求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)过点P(2，4)；(3)抛物线焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.分析求标准方程，即抛物线顶点在原点，对称轴为坐标轴，由图形分析，(1)只有一解；(2)抛物线开口向右或向下，有两解；(3)结合图形，用待定系数法设方程求解解析(1)双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p>0)且3，p6，方程为y212x.(2)由于P(2，4)在第四象限且对称轴为坐标轴可设方程为y2mx或x2ny，代入P点坐标求得m8，n1，所求抛物线方程为y28x或x2y.(3)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y22px(p0)，A(m，3)由抛物线定义得5|AF|m|，又(3)22pm，p±1或p±9故所求抛物线方程为y2±2x或y2±18x.点评待定系数法是求抛物线标准方程的主要方法，利用抛物线的定义及图形的性质求标准方程中待定的一次项系数，往往可简化过程跟踪练习2如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率分析(1)设出抛物线方程，利用待定系数法求解(2)可考虑“点差法”表示直线AB的斜率解析(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p>0)点P(1,2)在抛物线上，222p×1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y124x1y224x2，y12(y22)y1y24.由得直线AB的斜率kAB1(x1x2)点评(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值(2)对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y22px上两点，则直线AB的斜率kAB与y1y2可得如下等式：由y122px1y222px2得y22y122p(x2x1)，(x1x2)，kAB.3.命题方向：抛物线的焦点弦问题例3已知AB是抛物线y22px(p>0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证：(1)x1·x2；(2)|AB|x1x2p(为直线AB与x轴的夹角)；(3)SAOB；(4)为定值；(5)以AB为直径的圆与抛物线准线相切分析将抛物线的焦点弦的方程设出，代入抛物线方程，利用韦达定理等解决问题证明(1)y22px(p>0)的焦点F，设直线方程为yk，(k0)由消去x得ky22pykp20y1·y2p2，x1·x2.当k不存在时，直线方程为x，这时y1p，y2p，则y1·y2p2，x1·x2.因此，总有y1·y2p2，x1·x2成立. (2)由抛物线定义：|AF|等于点A到准线x的距离. |AF|x1，同理：|BF|x2.|AB|AF|BF|x1x2p.又yk，xy.x1x2(y1y2)p由方程知：y1y2.x1x2p将代入得|AB|2p2p2p(3)如图，SAOBSAOFSBOF|OF|·|AF|·sin|OF|·|BF|·sin|OF|·sin(|AF|BF|)·|OF|·|AB|·sin···sin.(4)，又x1·x2，代入上式得常数. (5)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A、M、B作准线的垂线，垂足为C、N、D如上图，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|. 以AB为直径的圆与准线相切点评(1)抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质(特别是某点的焦半径等于这点到准线的距离，化两点间的距离为点线间的距离)应用起来非常方便，还有其他的一些性质这里就不一一证明了. 如：ANB90°，以CD为直径的圆切AB于点F等. (2)以上证明的五个结论是抛物线中非常重要的结论，要切实掌握其推证思路跟踪练习3设抛物线y22px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明直线AC经过原点O.分析证明AC过O点，即证A、C、O三点共线，可利用斜率相等进行证明又题目中平行线较多，图形比较规则，也可考虑用几何法进行证明解析证法一因为抛物线y22px(p>0)的焦点为F(，0)，所以经过点F的直线的方程可设为xmy；如图，代入抛物线方程得y22pmyp20，若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2p2.因为BCx轴，且点C在准线x上，所以点C的坐标为(，y2)故直线CO的斜率为k，即k也是直线OA的斜率所以直线AC经过原点O.证法二如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作ADl，D是垂足则ADFEBC.连结AC，与EF相交于点N，则，根据抛物线的几何性质，|AF|AD|，|BF|BC|，所以|EN|NF|，即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.点评(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)解决与焦点弦有关的问题时，要注意抛物线的定义、几何性质的利用.4.命题方向：直线与抛物线的位置关系例4如图，设抛物线方程为x22py(p>0)，M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.(1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M点的坐标为(2，2p)时，|AB|4.求此时抛物线的方程分析(1)设A，B两点坐标，通过求导，求MA，MB方程，寻找x1，x0，x2的关系(2)用弦长公式表示|AB|待定p.解析(1)证明：由题意设A，B，x1<x2，M(x0，2p)由x22py得y，则y，所以kMA，kMB.因此直线MA的方程为y2p(xx0)直线MB的方程为y2p(xx0)所以2p(x1x0)，2p(x2x0)，由得x1x2x0，因此x0，即2x0x1x2.所以A，M，B三点的横坐标成等差数列(2)由(1)知，当x02时，将其代入、并整理得x124x14p20，x224x14p20，所以x1、x2是方程x24x4p20的两根，因此x1x24，x1x24p2，又kAB，所以kAB.由弦长公式得|AB|.又|AB|4，所以p1或p2.因此所求抛物线方程为x22y或x24y.点评(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；注意“设而不求”的方法(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式跟踪练习4已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A、B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解析(1)证明：如图所示，由方程组，消去x后，整理得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得y1·y21.A、B在抛物线y2x上，y12x1，y22x2，y12·y22x1x2.kOA·kOB·1，OAOB.(2)直线过N点(1,0)，|ON|1.SOAB|ON|y1y2|y1y2|，|y1y2|2.又|y1y2|2(y1y2)24y1y224(2)24，k±.（五）思想方法点拨：1关于抛物线定义要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线. 2关于抛物线的标准方程由于选取坐标系时，设坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共同点在于：(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向. (3)焦点的非零坐标是一次项系数的 .3凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算(六)课后强化作业一、选择题1(2010·湖南文)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6 C8 D12答案B解析本题考查抛物线的定义由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是426.2(2010·陕西理)已知抛物线y22px(p>0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为()A. B1 C2 D4答案C解析抛物线y22px(p>0)的准线方程为x.又圆x2y26x70，即(x3)2y216.则1，p2.3过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在答案B解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB与x轴垂直时，x1x22，与y轴垂直时，只一个交点，故AB不与两轴垂直，设过焦点F(1,0)的直线l：yk(x1)，则k0.由消去y得，k2x2(2k24)xk20，x1x25，解得k±.4(2009·天津理)设抛物线y22x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|2，则BCF与ACF的面积之比()A. B. C. D.答案A解析本小题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的关系等设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|2，x22，x2，B(，)，(取y20)又AB过M(，0)点，AB所在直线方程为y2(2)(x)代入y22x得x12，又C点横坐标为.故选A.5(2009·全国理)已知直线yk(x2)(k>0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k()A. B. C. D.答案D解析本题考查抛物线的定义，以及分析问题解决问题的能力、运算能力设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由，消去y得k2x24x(k22)4k20，x1x2，x1x24.由抛物线定义得|AF|x12，|BF|x22，又|AF|2|BF|，x122x24，x12x22代入x1x24，得x22x220，x21或2(舍去)，x14，5，k2，k>0，k.6(2008·宁夏、海南)已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A. B. C(1,2) D(1，2)答案A解析如图，求|PQ|PF|的最小值即求|PA|PQ|的最小值(PAl)，当A、P、Q三点共线时，|PA|PQ|最小，此时P，故选A.7抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3 C4 D8 答案C解析如图所示，抛物线方程为y24x，F(1,0)，F1(1,0)，根据抛物线的定义，AKAF，又AFx60°，AKF是等边三角形，由F作FMAK于M，则有MK2，等边三角形边长为4，SAKF×424.8对于任意nN*，抛物线y(n2n)x2(2n1)x1与x轴交于An、Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|A2B2|A2012B2012|的值是()A. B. C. D.答案C解析设An(xn,0)，Bn(xn,0)，则xnxn，xnxn，|AnBn|xnxn|，|A1B1|A2B2|AnBn|1，当n2012时，结果为.点评由条件知An、Bn的横坐标x1、x2是方程(n2n)x2(2n1)x10的两根，x1，x2，|x1x2|.二、填空题9(2010·重庆理)已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足3，则弦AB的中点到准线的距离为_答案解析如右图，设|m，|n，由得1，即1，n，AB中点到准线的距离d.10已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是_米答案4解析设抛物线拱桥的方程为x22py，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米，即抛物线过点(4，2)代入方程得164pp4，则抛物线方程是x28y，水面升高1米时，即y1时，x±2则水面宽为4米11设P是抛物线yx2上的点，若P点到直线2xy40的距离最小，则P点的坐标为_答案(1,1)解析解法1设P点坐标为(x0，x02)，由点到直线的距离公式得d|x022x04|(x01)23|.由上式可知当x01时，dmin.点P的坐标为(1,1)解法2如图，平移2xy40这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短设P(x0，y0)，y2x.过P点的切线斜率ky|xx02x02.x01，y0x021，故P点坐标为(1,1)三、解答题12(2011·东北三校调研)点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，试求抛物线的方程解析当抛物线开口向上时，准线为y，点M到它的距离为36，a，抛物线的方程为yx2.当抛物线开口向下时，准线为y，M到它的距离为36，a，抛物线的方程为yx2.综上可知抛物线的方程为yx2或yx2.13P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解析(1)抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x1.P点到准线x1的距离等于P到F(1,0)的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使P到A(1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小显然P是AF的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|.即：所求距离的最小值为.(2)|PF|与P点到准线的距离相等，如图，过B作BQ准线于Q点，交抛物线于P1点|P1Q|P1F|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.|PB|PF|的最小值为4.14(2010·福建文)已知抛物线C：y22px(p>0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析本小题主要考查直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想、分类与整合思想(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p·1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt由得y22y2t0因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA与l的距离d，可得，解得t±1.综上知：t1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.15设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，.(1)当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上的三点，且|、|、|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时，求B点的坐标解析(1)2，故P为MN中点又，P在y轴上，F为(1,0)，故M在x轴的负半轴上，设N(x，y)，则M(x,0)，P，(x>0)，又，·x0，y24x(x>0)是轨迹C的方程(2)抛物线C的准线方程是x1，由抛物线定义知|x11，|x21，|x31|、|、|成等差数列，x11x312(x21)，x1x32x2又y124x1，y224x2，y324x3，故y12y32(y1y3)(y1y3)4(x1x3)，kAD，AD的中垂线为y(x3)AD中点在其中垂线上，.x21.由y224x2.y2±2.B点的坐标为(1,2)或(1，2)第八节 曲线与方程（一）高考目标考纲解读1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2对直线与曲线的位置关系能用数形结合的思想解题考向预测1用直接法、定义法求轨迹方程2用相关点法求轨迹方程3考查方式可以是选择题或解答题4以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主，同时考查平面向量、函数、数列、导数、不等式等综合知识（二）课前自主预习知识梳理1曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)2平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程研究曲线的性质3求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上4两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组 ，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的 条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题5求曲线轨迹方程的常用方法(1)直接法如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，直接表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法(2)定义法如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法(3)代入法又称相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x，y)的坐标，可先用x，y来表示x，y，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程6圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到焦点与到定直线的距离之比为定值e，当 时，圆锥曲线为双曲线；当时，为椭圆；当时，为抛物线7直线与圆锥曲线交点直线与圆锥曲线的交点由直线方程与圆锥曲线方程联立得到（三）基础自测1(2011·山东潍坊)已知圆x2y24，过点A(4,0)作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程为()A(x1)2y24(1x<) B(x1)2y24(0x<1)C(x2)2y24(1x<) D(x2)2y24(0x<1)答案D解析由圆的几何性质知，BC的中点到A与圆心连线的中点的距离为2，即方程为(x2)2y24，又中点在圆内，0x<1.2(2011·宝鸡)如图所示，PAB所在的平面与四边形ABCD所在的平面垂直，且AD，BC，AD6，BC12，AB9，APDCPB，则点P在平面内的轨迹是()A圆的一部分B椭圆的一部分 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分答案A解析由条件可知，RtDAPRtCBP，故P点的轨迹是圆的一部分点评一般地，若平面内动点P到两定点A、B距离之比常数k，若k1轨迹为线段AB的中垂线，若k1，则轨迹为圆3F1、F2是椭圆1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析PQ平分F1PA，且PQAF1，Q为AF1的中点，且|PF1|PA|，|OQ|AF2|(|PA|PF2|)a，Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆4过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|4，这样的直线条数为()A1 B2 C3 D4答案C解析若与双曲线右支交于两点A，B，则|AB|4(通径)，此时弦长为4的弦有一条；若与左右两支各有一交点A、B，则|AB|2(实轴长)，此时弦长为4的弦有两条共3条5如图所示，过点P(0,2)的直线和抛物线y28x交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x2上，则弦AB的长为_答案2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M，由y128x1，和y228x2相减得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，kPMkAB，kAB令y1y22b，则有b22b80，b4或b2，于是M(2,4)或M(2，2)M(2,4)在抛物线上(舍去)M的坐标为(2，2)，从而kAB2.AB：y2x2，将其代入抛物线方程得x24x10.|AB|2.6两动直线l1、l2分别经过O(0,0)和A(0,2)，且方向向量分别为(1，)和(，1)，则它们交点的轨迹方程是_答案x2y22x0解析当0时，l1与l2的交点为(0,0)；当0时，kl1，kl2，l1：yx，l2：y2x，l1与l2的方程相乘可得：x2y22y0.(当0时也适合此式)综上可得交点的轨迹方程为x2y22y0.(当0时，也适合此式)点评一般地，过点A(x0，y0)，方向向量为a(，)的直线方程为：(yy0)(xx0)0.7已知ABC的两个顶点为A(2,0)，B(0，2)，第三个点C在曲线y3x21上移动，求ABC重心的轨迹方程解析设C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐标公式得，即，C(x1，y1)在曲线y3x21上，3y23(3x2)21，化简得y(3x2)219x212x3，故ABC的重心的轨迹方程为y9x212x3.（四）典型例题1.命题方向：定义法求曲线方程例1(2009·安徽)已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型分析本小题主要考查椭圆、抛物线的方程，点到直线的距离公式，直线与曲线的位置关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力解析(1)由e，得.又由原点到直线yx2的距离等于圆的半径，得b，a.(2)解法1：由c1得F1(1,0)，F2(1,0)，设M(x，y)，则P(1，y)由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2，化简得y24x.此轨迹是抛物线解法2：因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离此轨迹是以F1(1,0)为焦点l1：x1为准线的抛物线，轨迹方程为y24x.点评在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程跟踪练习1已知圆的方程为x2y24，动抛物线过点A(1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_答案1解析设P(x0，y0)为圆上任一点，过该点的切线l：x0xy0y4(|x0|2)，以l为准线过A、B两点的抛物线焦点F(x，y)，A、B到l距离分别为d1、d2，根据抛物线的定义，