高中数学典型例题解析平面解析几何初步.doc

流云教育 高中复习高中数学典型例题分析第七章 平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程一、知识导学1两点间的距离公式:不论A(1，1)，B(2，2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|21|或|AB|=|2-1|.2定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1，1)，B(2，2)，P(，)之间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是.当P点为AB的中点时，=1，此时中点坐标公式是.3直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率与倾斜角之间的关系是=.4确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.名称方程说明适用条件斜截式为直线的斜率b为直线的纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式() 为直线上的已知点，为直线的斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式=()，()是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1为直线的横截距b为直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不全为零5两条直线的夹角。当两直线的斜率,都存在且· -1时，=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线1， 2，有以下结论：12=，且1212·= -1（2）对于直线1，2 ，当1，2，1，2都不为零时，有以下结论：12=1212+12 = 01与2相交1与2重合=7点到直线的距离公式.（1）已知一点P（）及一条直线：，则点P到直线的距离d=；（2）两平行直线1: ， 2: 之间的距离d=.8确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；（2）圆的一般方程：（0），圆心坐标为（-，-），半径为=.二、疑难知识导析1直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一直线：；圆：.一元二次方程（2）方法二直线: ；圆：，圆心（，b）到直线的距离为d=2两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为1，2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|>1+2两圆外离；|O1O2|=1+2两圆外切；| 1-2|<|O1O2|<1+2两圆相交；| O1O2 |=|1-2|两圆内切；0<| O1O2|<| 1-2|两圆内含.三、经典例题导讲例1直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.错解：设直线方程为:,又过P(2,3),求得a=5 直线方程为x+y-5=0.错因：直线方程的截距式: 的条件是:0且b0,本题忽略了这一情形.正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,直线方程为y=x综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x .例2已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3 化简3=x2-2x+1+y2-6y+9 . 当x0时得x2-5x+y2-6y+10=0 . 当x0时得x2+ x+y2-6y+10=0 . 错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得(x-)2+(y-3)2 = 和 (x+)2+(y-3)2 = - 两个平方数之和不可能为负数,故方程的情况不会出现.正解：接前面的过程,方程化为(x-)2+(y-3)2 = ,方程化为(x+)2+(y-3)2 = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)2+(y-3)2 = (x0)例3m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， 当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：A=C0且0.正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，(1) 当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.(2) 当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆.例4自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+70相切，求光线L所在的直线方程.错解：设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)，于是L过A(-3，-3).设L的斜率为k，则L的方程为y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)21，圆心O的坐标为(2，2)，半径r1因L和已知圆相切，则O到L的距离等于半径r1即整理得12k2-25k+120解得kL的方程为y+3(x+3)即4x-3y+30因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30.错因：漏解正解：设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)，于是L过A(-3，-3).设L的斜率为k，则L的方程为y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)21，圆心O的坐标为(2，2)，半径r1因L和已知圆相切，则O到L的距离等于半径r1即整理得12k2-25k+120解得k或kL的方程为y+3(x+3);或y+3(x+3)。即4x-3y+30或3x-4y-30因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30或3x+4y-30.例5求过直线和圆的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1） 过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是： 即：（1）因为圆过原点，所以，即故所求圆的方程为：.（2） 将圆系方程化为标准式，有：当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.故满足条件的圆的方程是.点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.例6（06年辽宁理科）已知点A()，B()（0）是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足.设圆C的方程为（1）证明线段AB是圆C的直径；（2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.解：（1）证明，（）2（）2，整理得：00设M（）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则0即0整理得：故线段AB是圆C的直径.（2）设圆C的圆心为C（），则，又0，0，04所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线的距离为，则当时，有最小值，由题设得2.四、典型习题导练1直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 （ ）A. B. C. D.2.已知直线x=a(a0)和圆(x-1)2+y2=4相切 ，那么a的值是( )A.5 B.4 C.3 D.23. 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2，则的最大值为： .4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0（a<9），C、D点所在直线l的斜率为.（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；（2）如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；（3）如果ABCD的外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.解 （1）由(x-3)2+y2=9-a(a<9)可知圆心M的坐标为(3，0)，依题意：ABM=BAM=，kAB=。MA，MB的斜率k满足：|=1，解得：kAC= -，kBD=2。（2）设MB、MA的倾斜角分别为1、2，则tan1=2，tan2= -，可以推出：cos1=， sin1=，cos2= -，sin2=。再设|MA|=|MB|=r，则A(3-r，r)，B(3+r， r)。设抛物线方程为y2=2px(p>0)，由于A，B两点在抛物线上， 解出：r=，p=。得抛物线方程为y2=x。由此可知A点坐标为（1，1），且A点关于M(3，0)的对称点C的坐标是(5，-1)，直线l的方程为y -（-1）=(x-5)，即x-3y-8=0。（3）将圆方程(x-3)2+y2=(2)2分别与AC、BD的直线方程：y= -(x-3)，y=2(x-3)联立，可解得A(-1，2)，B(5，4)。设抛物线方程为y2=a(x-m) (*)将A(-1，2)、B(5，4)的坐标代入(*)，得解得：a=2，m= -3，抛物线的方程为y2=2(x+3)。A(-1，2)点关于M(3，0)的对称点为C(7，-2)，故直线l的方程为y-(-2)=(x-7)，即x-3y-13=0。5.如图，已知圆C：（x+4）2+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0).（1）若点D坐标为（0，3），求APB的正切值；（2）当点D在y轴上运动时，求APB的正切值的最大值；（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由.考点：直线和圆的方程的应用专题：计算题；证明题分析：（1）由已知中圆C：（x+4）2+y2=4，点D（0，3），我们易求出CD的长，进而求出圆D的半径，求出A，B两点坐标后，可由tanAPB=kBP得到结果（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，我们可以求出对应的圆D的方程和A，B两点的坐标，进而求出APB正切的表达式（含参数r），求出其最值后，即可根据正切函数的单调性，求出APB的最大值；（3）假设存在点Q（b，0），根据AQB是定值，我们构造关于b的方程，若方程有解，则存在这样的点，若方程无实根，则不存在这样的点解答：解：（1）|CD|=5，圆D的半径r=5-2=3，此时A、B坐标分别为A（0，0）、B（0，6）tanAPB=kBP=2（3分）（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，则（r+2）2=16+a2，A、B的坐标分别为（0，a-r），（0，a+r） 的最大值为 （8分）（3）假设存在点Q（b，0），由 依题意的大小与无关，当且仅当，此时有，即（定值）故存在或，使点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据已知中圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，确定圆D的方程，进而求出A，B的方程是解答本题的关键§7.2圆锥曲线一、知识导学1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2椭圆的标准方程：， （）3椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式4椭圆的准线方程对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线5.焦点到准线的距离（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 6椭圆的参数方程7双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距8双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中与b的大小关系:可以为9焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上10双曲线的几何性质：（1）范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-,x=之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2, 叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线的渐近线（） （4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 11 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率12双曲线的准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；焦点到准线的距离（也叫焦参数） 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线抛物线图形方程焦点准线13 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 二、疑难知识导析椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系1等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 2共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 3共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-14抛物线的几何性质（1）范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸（2）对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=119抛物线的焦半径公式：抛物线，抛物线， 抛物线， 抛物线，三、经典例题导讲例1设双曲线的渐近线为：，求其离心率.错解：由双曲线的渐近线为：，可得：，从而剖析：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，故本题应有两解，即：或.例2设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值.错解：因 ，得：，同理得：，故 最大、最小值分别为3,-3.剖析：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束.当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令，则，故其最大值为，最小值为.例3已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程.错解一： 故所求的双曲线方程为错解二： 由焦点知故所求的双曲线方程为错因：这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法.解法一： 设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知 整理得 解法二： 依题意，设双曲线的中心为,则 解得 ,所以 故所求双曲线方程为 例4设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程.错解：依题意可设椭圆方程为则 ，所以 ，即 设椭圆上的点到点的距离为，则 所以当时，有最大值，从而也有最大值。所以 ，由此解得：于是所求椭圆的方程为错因：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围.事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论.正解：若，则当时，（从而）有最大值.于是从而解得.所以必有，此时当时，（从而）有最大值，所以，解得于是所求椭圆的方程为变式：设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是4，求这个椭圆的方程.例5从椭圆,(>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，ABOM设Q是椭圆上任意一点，当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程解：本题可用待定系数法求解b=c, =c，可设椭圆方程为PQAB,kPQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)，代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得,又点F1到PQ的距离d=c ,由故所求椭圆方程为例6已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长解：a=3,b=1,c=2; 则F（-2，0）由题意知：与联立消去y得：设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，又因为A、B、F都是直线上的点，所以|AB|=点评：也可利用“焦半径”公式计算 ，例7（06年全国理科）设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值.解： 依题意可设P（0,1），Q（），则PQ，又因为Q在椭圆上，所以，PQ2.因为1，1，若，则1，当时，PQ取最大值；若1，则当时，PQ取最大值2.例8已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且=4，求双曲线方程解：设所求双曲线方程为，由右焦点为（2，0）知C=2，b2=4-2则双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：(20-82)x2+122x+54-322=0 设M（x1,y1）,N(x2,y2),则， 解得，故所求双曲线方程为：点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握此题不宜用焦半径公式，因为双曲线与过焦点的直线的交点位置不明确，如果分别在两支上计算反而复杂，双曲线的焦半径公式为：过左焦点和左支相交于，则焦半径，过右焦点和右支相交于，则焦半径四、典型习题导练1. 设双曲线两焦点为F1、F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过F1作F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的自在轨迹是（ ）A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分 D.圆的一部分.解析：这里设|QF1|>|QF2|,根据双曲线的定义，|QF1|-|QF2|=2a即,双曲线上任意一点至二焦点的距离差的绝对值为定值，为2a,延长F1P和QF2，相交于M，PQ是F1QM的角平分线，且PQF1M，则RTF1QPRTMQP，|F1Q|=|QM|，|F2M|=|QM|-|QF2|=|QF1|-|QF2|=2a,|F1P|=|PM|，O是F1F2中点，P为F1M的中点，OP是F1F2M的中位线，|OP|=|F2M|/2=a,无论垂足P在何处，|OP|总是常数为a,故其轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆，方程为：a是实半轴长.2已知点(-2，3)与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离是5，则p= 4 .3.平面内有两定点上，求一点P使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.yxABCP解析：:设P点坐标为（x，y），则|AP|2+|BP|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2PO2+2 要想上式最小，只需|PO|最小，显然OPC共线时|PO|最小,其中C为圆心。 |PO|的最小值|OC|-2=3 最大值为|OC|+2=7故|AP|2+|BP|2的最小值=20，最大值为100（数形结合）4.已知椭圆的离心率为.（1）若圆（x-2）2+(y-1)2=与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆方程；（2）设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为600，求的值.（3）在（1）的条件下，椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点R在直线l：当F1RF2取最大值时，求 的值.解析：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质专题：综合题分析：（1）设出AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB恰为圆的直径，可求椭圆的方程；（2）设 由椭圆的第二定义，由此可求出的值.（3）当F1RF2取最大值时，过R、F1、F2的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切，利用F1SRRSF2，即可求的值解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为y-1=k（x-2）即y=kx+1-2k离心率椭圆方程可化为：将代入得（1+2k2）x2+4（1-2k）kx+2（1-2k）2-2b2=0又，所以椭圆的方程为：（2）设 由椭圆的第二定义所以或，由合分比定理得或，即或（3） 当F1RF2取最大值时，过R、F1、F2的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切直线l与x轴于S（-8，0），F1SRRSF2，点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的第二定义，考查三角形的相似，正确运用椭圆的性质及第二定义是关键5.已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值解析：抛物线的焦点准线方程为，由得，而，所以6.线段AB过x轴正半轴上一点M（m,0）（m>0），端点A、B到x轴距离之积为，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线 （1）求抛物线方程；（2）若的取值范围§7.3 点、直线和圆锥曲线一、知识导学1 点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系已知（ab0）的焦点为F1、F2, （a0,b0）的焦点为F1、F2，(p0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明2直线AxBC=0与圆锥曲线Cf(x，y)0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：设直线:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,=b2-4ac,（若a0时），0相交 0相离 = 0相切注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件二、疑难知识导析1椭圆的焦半径公式：（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率。 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）.焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加.2双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： （ 其中分别是双曲线的下上焦点）3双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。焦点弦公式： 当双曲线焦点在x轴上时，过左焦点与左半支交于两点时： ；过右焦点与右半支交于两点时：。当双曲线焦点在y轴上时，过下焦点与下半支交于两点时：；过上焦点与上半支交于两点时：。4双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 .5直线和抛物线（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）.联立，得关于x的方程当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）；当，则若，两个公共点（交点）；，一个公共点（切点）；，无公共点 （相离）.（2）相交弦长：弦长公式：.（3）焦点弦公式： 抛物线， .抛物线， .抛物线， .抛物线，.（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：.（5）常用结论：焦点弦的性质：和和.三、经典例题导讲例1求过点（0，1）的直线，使它与抛物线仅有一个交点.错解： 设所求的过点（0，1）的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得 直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为正解： 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点（0，1），所以即轴，它正好与抛物线相切.当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,所求直线为综上，满足条件的直线为：例2已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.错解：曲线C：可化为，联立，得：，由0,得.错因：方程与原方程并不等价，应加上.正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.例3已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.错解：（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：，又 解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的.正解：接以上过程，考虑隐含条件“>0”，当k=2时代入方程可知<0，故这样的直线不存在.yxOACDBP例4已知A、B是圆与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使 | | PE | PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由. 解：由已知得 A (1, 0 )、B ( 1, 0 ), 设 P ( x, y ), C ( ) , 则 D (), 由A、C、P三点共线得 由D、B、P三点共线得 × 得 又 , ， 代入得 ，即点P在双曲线上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (, 0 )、F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE | PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).例5已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OPOQ，PQ=，求椭圆的方程.解：设所求椭圆的方程为=1. 依题意知，点P、Q的坐标满足方程组： 将代入，整理得 ， 设方程的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为P(,+1)，Q(,+1)由题设OPOQ，OP=，可得 整理得 解这个方程组，得 或 根据根与系数的关系，由式得 (1) 或 (2) 解方程组(1)、(2)得 或故所求椭圆方程为=1 ， 或 =1.例6（06年高考湖南）已知椭圆C1：1，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。（1）当AB轴时，求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（2）若，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求的值及直线AB的方程.解：（1）当AB轴时，点A、B关于轴对称，所以0，直线AB的方程为1，从而点A的坐标为（1，）或（1，），因为点A在抛物线上，所以，.此时，抛物线C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上. (2)当抛物线C2的焦点在直线AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.由消去得设A、B的坐标分别为（）、（）.则，是方程的两根，.因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是C2的焦点的弦，所以AB（2）（2）4，且AB（）（）.从而4所以，即解得.因为C2的焦点F、（）在直线上，所以，即当时直线AB的方程为；当时直线AB的方程为.四、典型习题导练1顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线l：y=2x+1截得的弦长为，则抛物线方程为 2已知直线y=kx1与双曲线x2y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P(2，0)及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围 解析：设A(x1,y1）,B(x2,y2) 由,得(1k2）x2+2kx2=0,又直线AB与双曲线左支交于A、B两点，故有解得k13试求m的取值范围.解析：设，由 得，在上，在椭圆内，所以有所以，所以，故 4 设过原点的直线l与抛物线y2=4(x1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F， （1）求直线l的方程；（2）求|AB|的长.解析：可设，和抛物线方程y2=4(x1)联立消失，用表示圆心，直径，直径= 中点到抛物线焦点（2，0）的距离求解5 如图，过抛物线y2=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN与x轴交点的坐标；(2)求MN中点的轨迹方程.9设曲线C的方程是yx3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t,s单 位长度后得曲线C1.(1)写出曲线C1的方程；(2)证明曲线C与C1关于点A()对称；(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s且t0.§7.4轨迹问题一、知识导学1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.2.点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)0两条曲线的交点 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.3.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.当0e1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛