高三综合测试（一）（数学理）.doc
华南师大附中2010届高三综合测试（一）数学试题（理）（考试范围：集合，函数，导数）一、选择题（本答题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合A=1，2，3，4，B=0，1，2，4，5，全集U=AB，则集合U （AB）中的 元素共有（ ）A3个 B4个 C5个 D 6个 2函数的值域是（ ） A(0,1)B(0,1)C0,1D0,13设，则（ ）A B C D 4化简的结果（ ）A B C D5的图象如右图所示,则的图象可能是 （ ） 6若函数，则下列结论正确的是（ ）A" ，在(0,+¥)上是增函数B" ，在(0,+¥)上是减函数C$ ，是偶函数D$ ，是奇函数7函数在定义域R上不是常数函数，且满足条件，对任意R，有 , 则是（ ）A奇函数但非偶函数 B偶函数但非奇函数C奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数8 对于函数，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在(¥,2)上是减函数，在(2,+¥)上是增函数；命题丙：在(¥,+¥)上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）ABCD二、填空题（本答题共6小题，每小题5分，共30分）9 函数的定义域是_10在直角坐标平面内，由直线，和抛物线所围成的平面区域的面积是_11将函数图象上每一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变；然后再将所得图象向左平移1个单位，则最后所得图象的函数表达式是_12已知函数，的零点依次为，则它们的大小关系是_13已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，则 的值为_14函数，图象上的最高点为A，最低点为B，A、B两点之间的距离是，则实数的取值范围是_三、解答题（本答题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分12分）设，集合，；若，求的值。16（本题满分12分）已知函数 和 = 2 + 8（为常数）的图象在 = 3 处有平行切线. （1）求 的值； （2）求函数的极大值和极小值17（本小题满分14分）设函数， （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的最小值.18（本小题满分14分）已知a0，函数在x是一个单调函数， （1）求实数a的取值范围； （2）设，且，试证明：19(本小题满分14分) 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知： （1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？20（本题满分14分）已知二次函数 f (x) = x 2 + x，若不等式 f (x) + f (x)2 | x | 的解集为C. （1）求集合C （2）若方程 f (a x)a x + 1 = 5（a > 0，a1）在 C上有解， 求实数 a 的取值范围； （3）记 f (x) 在C 上的值域为 A，若 g(x) = x 33tx + ，x0,1 的值域为B，且 A Í B，求实数 t 的取值范围.参考答案一、选择题（本答题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）题号12345678答案ABBCDCBD解析：1 B=0，1，2，3，4，5，AB=1，2，4，U （AB）=0，3，5，故选A。也可用摩根定律：U （AB）=U AU B.3由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到：，而，因此 选B5利用'(x)的正负与单调的关系6对于时有是一个偶函数，答案：C二、填空题（本答题共6小题，每小题5分，共30分）9或 1011 1213 14三、解答题（本答题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分12分）解：，-2分由，-4分当时，符合；-6分当时，-8分而，即-10分或-12分16（本题满分12分）解：(I) ，-2分根据题意,得解得-4分(II) -5分令，-5分得 -7分时， > 0， 单调递增；-8分时， < 0， 单调递减；-9分时， > 0， 单调递增.-10分 的极大值为 = 7，-11分 的极小值为= 15 + 6ln 3-12分17（本小题满分14分）解：（1），由于，且，故在上既不是奇函数也不是偶函数； .6分（2）， .8分当时，在上单调递增，最小值为，当时，在内的最小值为，故函数在上的最小值为. .14分18（本小题满分14分）解：() ， .1分若在上是单调递减函数，则，即在上恒成立，当时，此时实数不存在 .4分若在上是单调递增函数，则，即在上恒成立，当时，又， .8分() 用反证法证明：假设，则或，又，且由（）可知在上为单调增函数，10分若，则矛盾， .12分若，则，即矛盾， 故假设不成立，即成立. .14分19(本小题满分14分)解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为42x，高为x ，所以V1= (42x)2·x = 4(x34x2 4x) (0<x<2) . . .3分V1/ = 4(3x28x 4)，. . . . . . .4分令V1/ = 0，即4(3x28x 4) = 0，解得x1 = ，x2 = 2 (舍去) . 6分 V1在(0，2)内只有一个极值， 当x = 时，V1取得最大值. . . . . . . . . . . . 8分(2)重新设计方案如下：如图，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图，将图焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2 = 3×2×1 = 6，显然V2>V1故第二种方案符合要求 图 图 图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14分注：第二问答案不唯一。20（本题满分14分）解：(1) f (x) + f (x) = 2x 2当 x0时，2x 22x Þ 0x1-1分当 x < 0时， 2x 22x Þ 1x < 0-2分集合 C = 1,1-3分(2) f (a x)a x + 15 = 0 Þ (a x) 2(a1)a x5 = 0，令 a x = u则方程为 h(u) = u 2(a1)u5 = 0 h(0) = 5当 a > 1时，u,a，h(u) = 0 在 ,a 上有解，则 Þ a5-5分当 0 < a < 1时，ua,，h(u) = 0 在 a,上有解，则 Þ 0 < a-7分当 0 < a或 a5时，方程在C上有解，且有唯一解。-8分(3) A = ,2， .当 t0时，函数 g(x) = x 33tx + 在 x0,1单调递增，函数 g(x)的值域 B = ,， A Í B ，-10分当t1时，令，得函数 g(x)的单调递减区间为：， 函数 g(x)在区间 0,1单调递减， B = -12分当 0 < t < 1 时，同理可得：函数 g(x)的单调递减区间为：；g(x)的单调递增区间为：,1.g(x)在 x = 达到最小值。 要使 A Í B，则0 < t < 1，所以使得 A Í B的 t无解。综上所述：t的取值范围是： -14分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 10 -
