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专题训练 综合题平行四边形的存在性问题 1、已知二次函数图象顶点为C（1，0），直线 y=x+m 与该二次函数交于A，B两点，其中A点（3，4），B点在y轴上.（1）求m值及这个二次函数关系式；（2）P为线段AB上一动点（P不与A，B重合），过P做x轴 X垂线与二次函数交于点E，设线段PE长为h，点P横坐标为x， 求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x取值范围；（3）D为线段AB与二次函数对称 轴的交点，在AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出P点坐标； 若不存在，请说明理由。 1)因为A（3，4）是直线y=x+m上的点，所以43m，解得m=1，进而求得B（0,1）设二次函数为yax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入得：9a+3b+c=4a+b+c=0c=1 解得a=1，b=-2，c=1，所以二次函数的关系式为：y=x2-2x+1(2)因为P为线段AB上，且横坐标为x，所以纵坐标是x+1，又因为E在二次函数的图像上，且横坐标是x，所以纵坐标是x2-2x+1，于是h=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x(3)显然PEDC，因此若P点存在，那么必有PEDC。因为D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，所以D的横坐标为1，因而纵坐标为2，所以DC2。若PE2，则有-x2+3x2，解得x=2或x1 (跟C点重合，故舍去)。所以这样的点P是存在的，它的坐标是(2，3)。与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C)0,3(，且与y轴交于点C)1-2,(0)的顶点坐标为Q¹c(a+bx+ax=6（10遵义市）如图，已知抛物线y沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PDy轴，交AC于点D 2（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由解：1）抛物线的顶点坐标为Q(2,-1)所以 x=-b/2a=2 得 b= -4ay=-b²/4a+c=-1 得 4a=c+1点c（0,3）在抛物线上 得 c=3得a=1 b=-4所以抛物线方程为y=x²-4x+32）当 y=0时 x²-4x+3=0 解得 x1=3 ，x2=1所以由题意得A(3,0) ,B(1,0)所以AC的直线方程为 x+y=3设P(x,y)因为PDy轴 所以D的横坐标为x所以D（x，3-x）ADP是直角三角形时所以当DPA=90°P与B重合 为（1,0）当DAP=90时向量 AP=(3-X,-y) 向量AD=(3,-3)所以 9-3x+3y=0 得 y-x+3=0在抛物线上 所以 x²-5x+6=0得x1=2 或x2=3（舍去，P与A不重合）所以 P(2，-1)3)当P（1,0）时不存在以APEF为顶点的平行四边形当P(2，-1)设 E(k,0) F（x2,y2）向量AP=(1,1) 向量FE=(x2-k,y2)1³y21³(x2-k)=0 得y2=x2-k 注：平行四边形对边平行2=（x2-k）²+y2 ² 所以y2 ²=1 注：平行四边形对边相等当y2=1时y=x²-4x+3=1 得x ²-4x+2=0解得x=（4±8）/2=2±2当x=2-2 k=x2-y2=2-2-1=1-2当x=2+2时 k=x2-y2=2+2-1=1+2当y2=-1时 只有一点 舍去所以F坐标为 （2-2,1）或（2+2,1）1，=3a)，对称轴是直线x-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点(2，-bx+ax=21、(09烟台)如图，抛物线y顶点是M （1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF的形状，并说明理由；+x-=（3）设直线y3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）+x-=（4） 当E是直线y对称轴x=1，即-2b/a=1-7a+3b=3-由方程得a=1，b=-2所以y=x2-2x-3-2，点A（-1,0），M（1，-4），B（3,0），C（0，-3）过CM作直线，设y=-kx+d 代入C,M得直线CM方程 y=-x-3- 则点N（-3，0）过点A作平行于CM的直线l，即y=-x+e，代入A点得e=-1，则直线l方程 y-x-1-设抛物线上存在点p，使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形，则由得p（2，-3）则lCNl=lAPl 根据平行四边形原理，故在抛物线上存在这样的点P（2，-3），使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形。3.直接BD的方程 y=-x+3
