图形的变换（1）2012、12、13 (2).doc

图形的变换1、在中，为边上的点，联结（如图所示）如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是 1【答案】2。【考点】翻折变换（折叠问题）。【分析】沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，假设这个点是。作，垂足分别为。 在中，=3，=3，。 ，即。 ，即。 所以点M到AC的距离是2。2、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图所示）， 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 . 2【答案】1或5。【考点】正方形的性质，旋转的性质，勾股定理。【分析】旋转两种情况如图所示： 顺时针旋转得到F1点，由旋转对称的性质知F1C=EC =1。 逆时针旋转得到F2点，则F2B=DE = 2, F2C =F2BBC=5。4、如图，在RtABC中，C=90°，A=30°，BC=1，点D在AC上，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果ADED，那么线段DE的长为 4【答案】。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质。【分析】在RtABC中，C=90°，A=30°，BC=1，。将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，ADB=EDB，DE=AD。ADED，CDE=ADE=90°，EDB=ADB=。CDB=EDBCDE=135°90°=45°。C=90°，CBD=CDB=45°。CD=BC=1。DE=AD=ACCD=。5. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE（1）求证：AF=DE；（2）若BAD=45°，AB=a，ABE和DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长5【答案】（1）证明：在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，BAD=CDA。在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且BAE=CDF=60°，AE=DF，EAD=FDA，AD=DA。AEDDFA（SAS）。AF=DE。 （2）解：如图作BHAD，CKAD，则有BC=HK。BAD=45°，HAB=KDC=45°。AB=BH=AH。同理：CD=CK=KD。S梯形ABCD=，AB=a，S梯形ABCD=。又SABE=SDCF=，解得：。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。【分析】（1）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的判定证明AEDDFA即可。（2）如图作BHAD，CKAD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。6、如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【 】A B C D6【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点E作EMBC于M，交BF于N。四边形ABCD是矩形，A=ABC=90°，AD=BC，EMB=90°，四边形ABME是矩形。AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，EGN=A=90°，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNM（AAS）。NG=NM。E是AD的中点，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。NM=CF=。NG=。BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=3。BF=2BN=5。故选B。7、如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；（2）如图所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，ABCD，且SABCSACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由7【答案】解：（1）6；无数。 （2）这个图形的一条面积等分线如图：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分即OO为这个图形的一条面积等分线。（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：理由如下：过点B作BEAC交DC的延长线于点E，连接AE。BEAC，ABC和AEC的公共边AC上的高也相等， SABC=SAEC。SACDSABC，面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线。【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。来源:学科网（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；（3）过点B作BEAC交DC的延长线于点E，连接AE根据ABC和AEC的公共边AC上的高也相等推知SABC=SAEC；由“割补法”可以求得。8、如图，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到ACD和ABC.(1)如图，将ACD沿AC边向上平移，使点A与点C重合，连接AD和BC，四边形ABCD是 形；（2）如图，将ACD的顶点A与A点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为 度；连接CC，四边形CDBC是 形；（3）如图，将AC边与AC边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由。9、如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由9【答案】解：（1）ABC是边长为6的等边三角形，ACB=60°。BQD=30°，QCP=90°。设AP=x，则PC=6x，QB=x，QC=QB+C=6+x。在RtQCP中，BQD=30°，PC=QC，即6x=（6+x），解得x=2。当BQD=30°时，AP=2。（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。理由如下：作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF。PEAB于E，DFQ=AEP=90°。点P、Q做匀速运动且速度相同，AP=BQ。ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60°。在APE和BQF中，A=FBQ，AP=BQ，AEP=BFQ=90°，APEBQF（AAS）。AE=BF，PE=QF且PEQF。四边形PEQF是平行四边形。DE=EF。EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB。又等边ABC的边长为6，DE=3。当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。【考点】动点问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】（1）由ABC是边长为6的等边三角形，可知ACB=60°，再由BQD=30°可知QCP=90°，设AP=x，则PC=6x，QB=x，在RtQCP中，BQD=30°，PC=QC，即6x=（6+x），求出x的值即可。来源:Z#xx#k.Com（2）作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。10、如图1，四边形ABCD是边长为的正方形，长方形AEFG的宽,长将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH (如图2)，这时BD与MN相交于点O（1）求的度数；（2）在图2中，求D、N两点间的距离；（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由图1 图210【答案】解：（1）如图，设AB与MN相交于点K，根据题意得：BAM=15°， 四边形AMNH是矩形，M=90°。AKM=90°BAM=75°。BKO=AKM=75°。，四边形ABCD是正方形，ABD=45°。DOM=BKO+ABD=75°+45°=120°。（2）连接AN，交BD于I，连接DN，NH=，AH=，H=90°，。HAN=30°。AN=2NH=7。由旋转的性质：DAH=15°，DAN=45°。DAC=45°，A，C，N共线。四边形ABCD是正方形，BDAC。AD=CD=，。NI=ANAI=73=4。在RtDIN中，。（3）点B在矩形ARTZ的外部。理由如下：如图，根据题意得：BAR=15°+15°=30°。R=90°，AR= ，。，AB= 。点B在矩形ARTZ的外部。【考点】旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，实数的大小比较。【分析】（1）由旋转的性质，可得BAM=15°，即可得OKB=AOM=75°，又由正方形的性质，可得ABD=45°，然后利用外角的性质，即可求得DOM的度数。（2）首先连接AM，交BD于I，连接DN，由特殊角的三角函数值，求得HAN=30°，又由旋转的性质，即可求得DAN=45°，即可证得A，C，N共线，然后由股定理求得答案。（3）在RtARK中，利用三角函数即可求得AK的值，与AB比较大小，即可确定B的位置。11、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰ABC中，ABAC，BAC90º，小敏将一块三角板中含45º角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分MAB，则AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论；(2)当0º45º时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2CE2DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，连接EF(如图2)；小亮的方法：将ABD绕点A逆时针旋转90º得到ACG，连接EG(如图3)请你从中任选一种方法进行证明；(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45º135º且90º时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立现请你继续探究：当135º180º时(如图4)，等量关系BD2CE2DE2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由11【答案】解：（1）证明：BAC90º，DAEDAMMAE45º，BADEAC45º。 又AD平分MAB，BADDAM。MAEEAC。 AE平分MAC。 （2）证明小颖的方法： 将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF， AFAB，AFDB45º，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 由（1）知，FAECAE。 在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45º。 DFEAFD AFE90º。 在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。（3）当135º180º时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立。证明如下： 如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。 将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF， AFAB，AFDABC45º，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 又CAE900BAE900（45ºBAD）45ºBAD45ºFADFAE。在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45º。又在AGF和BGE中，ABCAFE45º，AGFBGE，FAGBEG。又FDEDEF=FDEFAG（ADBDAB）ABC90º。DFE90º。在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。【考点】角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，三角形内角和定理。【分析】（1）由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质，即可得出结论。 （2）小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到AEFAEC，在RtOCE中应用勾股定理而证明。 小亮的方法是将ABD绕点A逆时针旋转90º得到ACG，根据旋转的性质用SAS得到ACEACG，从而在RtCEG中应用勾股定理而证明。（3）当135º180º时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立。仿（2）证明即可。12、（1）如图，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90°当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图1中的ADE绕点A顺时针旋转角（0°90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当ABC和ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE90°；乙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE90°12【答案】解：（1）结论：BD=CE，BDCE。结论：BD=CE，BDCE。理由如下：BAC=DAE=90°，BADDAC=DAEDAC，即BAD=CAE。在RtABD与RtACE中，AB=AC，BAD=CAE ，AD=AE，ABDACE（SAS）。BD=CE。延长BD交AC于F，交CE于H。在ABF与HCF中，ABF=HCF，AFB=HFC，CHF=BAF=90°。BDCE。（2）结论：乙AB：AC=AD：AE，BAC=DAE=90°。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。【分析】（1）BD=CE，BDCE。根据全等三角形的判定定理SAS推知ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等ABF=ECA；然后在ABD和CDF中，由三角形内角和定理可以求得CFD=90°，即BDCF。BD=CE，BDCE。根据全等三角形的判定定理SAS推知ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等ABF=ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角ABF=HCF，再根据三角形内角和定理证得BHC=90°。（2）根据结论、的证明过程知，BAC=DFC（或FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的BAC=DAE90°不合适。13、已知ABC是等边三角形（1）将ABC绕点A逆时针旋转角（0°180°），得到ADE，BD和EC所在直线相交于点O 如图a，当=20°时，ABD与ACE是否全等？ （填“是”或“否”），BOE= 度；当ABC旋转到如图b所在位置时，求BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B和C，使AB=AB，AC=AC，连接BC，将ABC绕点A逆时针旋转角（0°180°），得到ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由13【答案】解：（1）是； 120。由已知得：ABC和ADE是全等的等边三角形，AB=AD=AC=AE。ADE是由ABC绕点A旋转得到的，BAD=CAE=。BADCAE（SAS）。ADB=AEC。ADB+ABD+BAD=180°，AEC+ABO+BAD=180°。ABO+AEC+BAE+BOE=360°，BAE=BAD+DAE，DAE+BOE=180°。又DAE=60°，BOE=120°。（2）当0°30°时，BOE =30°，当30°180°时，BOE=120°。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形和多边形内角和定理，等边三角形的性质。【分析】（1）ADE是由ABC绕点A旋转得到，ABC是等边三角形。AB=AD=AC=AE，BAD=CAE=20°，在ABD与ACE中，AB=AC，BAD=CAE，AD=AE，ABDACE（SAS）。=20°，ABD=AEC=（180°20°）=80°。又BAE=+BAC=20°+60°=80°，在四边形ABOE中，BOE=360°80°80°80°=120°。利用“SAS”证明BAD和CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得ADB=AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出BOE+DAE=180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到DAE=60°，从而得解。（2）如图，AB=AB，AC=AC，。BCBC。ABC是等边三角形，ABC是等边三角形。根据旋转变换的性质可得AD=AE，BAD=CAE。在ABD和ACE中，AB=AC，BAD=CAE，AD=AE，ABDACE（SAS）。ABD=ACE。BOC=180°（OBC+OCB）=180°（OBC+ACB+ACE）=180°（OBC+ACB+ABD）=180°（ACB+ABC）=180°（60°+60°）=60°。当0°30°时，BOE=BOC=30°，当30°180°时，BOE=180°BOC=180°60°=120°。14、在RtPOQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B，(1)求证：MA=MB(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。14【答案】解：（1）证明：连接OM 。 RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点， PQ=4，OM=PM=PQ=2，POM=BOM=P=450 。 PMA+AMO=OMB+AMO，PMA=OMB。PMAOMB（ASA）。 MA=MB。(2) AOB的周长存在最小值。理由如下:PMAOMB ， PA=OB。 OA+OB=OA+PA=OP=4。令OA=x， AB=y，则y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88。当x=2时y2有最小值8，从而 y的最小值为2。AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2。【考点】直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）连接OM，证PMA和OMB全等即可。(2) 先计算出OP=OA+OB=OA+PA=4，再令OA=x，AB=y，则在RtAOB中，利用勾股定理得y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8求出最值即可。15、如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，在把以AB的中点O为顶点的平角AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【 】A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形15【答案】D。【考点】剪纸问题，平角定义。【分析】由第二个图形可知：AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形。故选D。16、如图，矩形ABCD中，点P 、Q 分别是边AD和BC的中点，沿过C点的直线折叠矩形ABCD使点B落在线段PQ上的点F处，折痕交AB边于点E，交线段PQ于点G，若BC长为3，则线段FG的长为 。