图形的变化（2）、2012、12、13.doc

17、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有 个.17【答案】5。【考点】动点问题，正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段中垂线的性质，等边三角形的判定。【分析】如图，符合条件的Q点有5个。 当BP=BQ时，在AB，BC边上各有1点； 当BP=QP时，可由锐角三角函数求得点P到AB的距离为2，到CD的距离为4，到BC的距离为，到AD的距离为，故在BC，CD，DA边上各有1点； 当BQ=PQ时，BP的中垂线与AB，BC各交于1点，故在AB，BC边上各有1点。 又当Q在BC边上时，由于BPQ是等边三角形，故3点重合。 因此，符合条件的Q点有5个。18、已知：在ABC中，BAC=90°,AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证： BDCF. CF=BCCD.(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.来源:学#科#网Z#X#X#K若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究AOC的形状，并说明理由.18【答案】解：（1）证明：BAC=90°，AB=AC，ABC=ACB=45°。四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90°。BAD=BAC-DAC，CAF=DAF-DAC，BAD=CAF。BADCAF（SAS）。 ACF=ABD=45°。ACF+ACB=90°。BDCF 。 由BADCAF可得BD=CF，BD=BC-CD，CF=BC-CD。 （2）CF=BC+CD。 （3）CF=CD-BC 。AOC是等腰三角形。理由如下：BAC=90°，AB=AC，ABC=ACB=45°。则ABD=180°-45°=135°。来源:学科网四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90°。BAD=DAF -BAF，CAF=BAC -BAF，BAD=CAF。BADCAF（SAS）。ACF=ABD=180°-45°=135°。FCD=ACF -ACB =90°，则FCD为直角三角形。正方形ADEF中，O为DF中点，OC=DF 。在正方形ADEF中，OA=AE ，AE=DF，OC=OA。AOC是等腰三角形。【考点】动点问题，正方形的性质，等腰（直角）三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质。【分析】（1）由已知，根据正方形和等腰直角三角形的性质，通过SAS证出BADCAF，从而得到ACF=ABD=45°，即可证得BDCF。由BADCAF可得BD=CF，而BD=BC-CD，从而CF=BC-CD。（2）同（1）可证BADCAF可得BD=CF，而BD=BCCD，从而CF=BCCD。（3）同（1）可证BADCAF可得BD=CF，而BD=CDBC，从而CF= CDBC。通过SAS证明BADCAF，得ACF=ABD=180°-45°=135°。从而得到FCD=90°。由三角形中线的性质得到OC=DF。由正方形ADEF中，OA=AE ，AE=DF，从而得到AOC是等腰三角形。