复变函数总结.docx
复变函数总结 第一章 复数 1 =-1 欧拉公式 z=x+iy 实部Re z 虚部 Im z 2运算 共轭复数 共轭技巧 运算律 P1页 3代数，几何表示 z与平面点一一对应，与向量一一对应 辐角 当z0时，向量z和x轴正向之间的夹角，记作=Arg z= k=±1±2±3 把位于-的叫做Arg z辐角主值 记作= 4如何找寻arg z 例：z=1-i z=i z=1+i z=-1 5 极坐标： ， 利用欧拉公式 可得到 6 高次幂及n次方 凡是满意方程的值称为z的n次方根，记作 即 其次章解析函数 1极限 2函数极限 复变函数 对于任一都有 与其对应 注：与实际状况相比，定义域，值域改变 例 称当时以A为极限 当时，连续 例1 证明在每一点都连续 证： 所以在每一点都连续 3导数 例2 时有 证：对有 所以 例3证明不行导 解：令 当时，不存在，所以不行导。 定理：在处可导u，v在处可微，且满意C-R条件 且 例4证明不行导 解： 其中 u,v 关于x,y可微 不满意C-R条件 所以在每一点都不行导 例5 解： 不满意C-R条件 所以在每一点都不行导 例6： 解： 其中 依据C-R条件可得 所以该函数在处可导 4解析 若在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。 用C-R条件必需明确u,v 四则运算 例：证明 解： 则 任一点处满意C-R条件 所以到处解析 练习：求下列函数的导数 解: 所以 依据C-R方程可得 所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。 初等函数 常数 指数函数 定义域 对数函数 称满意的叫做的对数函数，记作 分类：类比的求法（阅历） 目标：找寻 幅角主值 可用： 过程： 所以 例：求 的值 幂函数 对于随意复数，当时 例1：求的值 解： 例2：求 三角函数 定义：对于随意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数 例：求 解： 第三章复变函数的积分 1复积分 定理3.1 设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有 注：C是线 方式跟一元一样 方法一：思路：复数实化 把函数与微分相乘，可得 方法二：参数方程法 核心：把C参数 C： 例： 求 C：0的直线段； 解：C： 结果不一样 2柯西积分定理 例： C：以a为圆心，为半径的圆，方向：逆时针 解：C： 积分与路径无关：单联通 到处解析 例：求，其中C是连接O到点的摆线： 解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析， 则 即 把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于 故 关键：恰当参数 合适精确带入z 3不定积分 定义3.2 设函数在区域D内连续，若D内的一个函数满意条件 定理3.7 若可用上式，则 例： 计算 解： 练习：计算 解： 4柯西积分公式 定理 到处解析在简洁闭曲线C所围成的区域内则 例1： 解： 例2： 解： 例3： 解： 注：C： 一次分式 找到 在D内到处解析 例4： 解：5 解析函数的高阶导数 公式： n=1，2 应用要点： 精准分别 例： 6 调和函数 若满意则称叫做D内的调和函数 若在D内解析 所以 把称为共轭调和函数 第四章 级数理论 1复数到 距离 谈极限 对若有使得 此时 为的极限点 记作 或 推广：对一个度量空间都可谈极限 2 极限的性质 3 4 级数问题 部分和数列 若 则收敛，反之则发散。 性质：1若 都收敛，则收敛 2若一个收敛，一个发散，可推动身散 3 若 肯定收敛 若 但收敛 ，为条件收敛 等比级数 ： 时收敛，其他发散 幂级数 则 求收敛域 例：求的收敛半径及收敛圆 解：因为 所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为 泰勒级数 泰勒定理：设函数在圆K：内解析，则在K内可以展成幂级数 其中， ，（n=0,1,2），且展式还是唯一的。 例 1：求在处的泰勒展式 解 ：在全平面上解析， ， 所以在处的泰勒展式为 例2： 将函数展成的幂级数 解： 罗朗级数 罗朗定理 若函数在圆环D：内解析， 则当时，有 其中 例：将函数在圆环（1） （2） 内展成罗朗级数。 解：（1）在内，由于，所以 （2）在内，由于，所以 孤立奇点 定义：若函数在的去心邻域内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。 例 ： 为可去奇点 为一级极点 为本性奇点 第5章 留数理论（残数） 定义： 设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分的值为函数在点处的留数 记作： 其中，C的方向是逆时针。 例1：求函数在处的留数。 解：因为以为一级零点，而，因此以为一级极点。 例2：求函数在处的留数 解：是的本性奇点，因为 所以 可得 第7章 傅里叶变换 通过一种途径使困难问题简洁化，以便于探讨。 定义：对满意某些条件的函数 在上有定义，则称 为傅里叶变换。 同时 为傅里叶逆变换 注：傅里叶变换是把函数变为函数 傅里叶逆变换是把函数变为函数 求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分 两种常见的积分方法：凑微分、分部积分 复习积分： 注： 例1：求 的 解： 例2：求 的 解： -函数 定义：假如对于随意一个在区间上连续的函数，恒有，则称为-函数。 例1：求-函数的 解： 例2：求正弦函数的傅氏变换 解： 第8章 拉普拉斯变换 设在时有定义
