2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ).docx

2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）已知集合 A1，0，1，2，Bx|x21，则 AB（）A1，0，12（5 分）若 z（1+i）2i，则 z（A1i B1+iB0，1C1，1D0，1，2）C1iD1+i3（5 分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（A B C D）4（5 分）西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（A0.5 B0.6 C0.75（5 分）函数 f（x）2sinxsin2x 在0，2的零点个数为（A2 B3 C4）D0.8D5）6（5 分）已知各项均为正数的等比数列a 的前 4 项和为 15，且 a 3a +4a ，则 a （）n5313A167（5 分）已知曲线 yaex+xlnx 在点（1，ae）处的切线方程为 y2x+b，则（Aae，b1 Bae，b1 Cae1，b1 Dae1，b18（5 分）如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则（B8C4D2）ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线第1页（共19页） CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线9（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 s 的值等于（）A2B2C2D210（5 分）已知 F 是双曲线 C： |OP|OF|，则OPF 的面积为（1 的一个焦点，点 P 在 C 上 ，O 为坐标原点若）ABCD11（5 分）记不等式组表示的平面区域为 D命题p：（x，y）D，2x+y9；命题 q：（x，y）D，2x+y12下面给出了四个命题pqpqpqpq这四个命题中，所有真命题的编号是（A B）CD12（5 分）设 f（x）是定义域为 R 的偶函数，且在（0，+）单调递减，则（）第2页（共19页） Af（log ）f（2 ）f（2 ）3Bf（log ）f（2 ）f（2）3Cf（2 ）f（2 ）f（log ）3Df（2 ）f（2 ）f（log ）3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13（5 分）已知向量 （2，2）， （8，6），则 cos ， 14（5 分）记 S 为等差数列a 的前 n 项和若 a 5，a 13，则 S nn371015（5 分 ）设 F ，F 为椭圆 C：+1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限若12MF F 为等腰三角形，则 M 的坐标为1 216（5 分）学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCDA B C D 挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，1 1 1 1H 分别为所在棱的中点，ABBC6cm，AA 4cm.3D 打印所用原料密度为 0.9g/cm3不1考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成 A、B 两组，每组100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法第3页（共19页） 测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如图直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18（12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c已知 asinbsinA（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围19（12 分）图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB1，BEBF2，FBC60°将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积20（12 分）已知函数 f（x）2x3ax2+2（1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 0a3 时，记 f（x）在区间0，1的最大值为 M，最小值为 m，求 Mm 的取第4页（共19页） 值范围21（12 分）已知曲线 C：y，D 为直线 y 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B（1）证明：直线 AB 过定点（2）若以 E（0， ）为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22（10 分）如图，在极坐标系Ox 中，A（2，0），B（，），C（ ，），D（2，），弧 ， ， 所在圆的圆心分别是（1，0），（1， ），（1，），曲线 M 是弧 ，1曲线 M 是弧 ，曲线 M 是弧 23（1）分别写出 M ，M ，M 的极坐标方程；123（2）曲线 M 由 M ，M ，M 构成，若点 P 在 M 上，且|OP| ，求 P 的极坐标123选修 4-5：不等式选讲（10 分）23设 x，y，zR，且 x+y+z1（1）求（x1） +（y+1） +（z+1） 的最小值；222（2）若（x2） +（y1） +（za） 成立，证明：a3 或 a1222第5页（共19页） 2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）已知集合 A1，0，1，2，Bx|x21，则 AB（A1，0，1 B0，1 C1，1）D0，1，2【解答】解：因为 A1，0，1，2，Bx|x 1x|1x1，2所以 AB1，0，1，故选：A2（5 分）若 z（1+i）2i，则 z（A1i B1+i）C1iD1+i【解答】解：由 z（1+i）2i，得z1+i故选：D3（5 分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（A B C D【解答】解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有A A 12 种排法，）3322再所有的 4 个人全排列有：A 24 种排法，44利用古典概型求概率原理得：p ，故选：D4（5 分）西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）第6页（共19页） A0.5B0.6C0.7D0.8【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，作出维恩图，得：该学校阅读过西游记的学生人数为 70 人，则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：0.7故选：C5（5 分）函数 f（x）2sinxsin2x 在0，2的零点个数为（A2 B3 C4）D5【解答】解：函数 f（x）2sinxsin2x 在0，2的零点个数，即：2sinxsin2x0 在区间0，2的根个数，即 2sinxsin2x，令左右为新函数 h（x）和 g（x），h（x）2sinx 和 g（x）sin2x，作图求两函数在区间0，2的图象可知：h（x）2sinx 和 g（x）sin2x，在区间0，2的图象的交点个数为 3 个故选：B6（5 分）已知各项均为正数的等比数列a 的前 4 项和为 15，且 a 3a +4a ，则 a （）n5313A16B8C4D2【解答】解：设等比数列a 的公比为 q（q0），n则由前 4 项和为 15，且 a 3a +4a ，有531第7页（共19页） ，故选：C7（5 分）已知曲线 yaex+xlnx 在点（1，ae）处的切线方程为 y2x+b，则（Aae，b1 Bae，b1 Cae1，b1 Dae1，b1【解答】解：yae +xlnx 的导数为 yae +lnx+1，）xx由在点（1，ae）处的切线方程为 y2x+b，可得 ae+1+02，解得 ae ，1又切点为（1，1），可得 12+b，即 b1，故选：D8（5 分）如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则（）ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线【解答】解：点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，BM平面 BDE，EN平面 BDE，BM 是BDE 中 DE 边上的中线，EN 是BDE 中 BD 边上的中线，直线 BM，EN 是相交直线，设 DEa，则 BDBM a，ENBMEN，BE，a，第8页（共19页） 故选：B9（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 s 的值等于（）A2B2C2D2【解答】解：第一次执行循环体后，s1，x ，不满足退出循环的条件 x0.01；再次执行循环体后，s1+ ，x，不满足退出循环的条件 x0.01；再次执行循环体后，s1+ +，x ，不满足退出循环的条件 x0.01；由于0.01，而0.01，可得：当 s1+ +输出 s1+ +故选：C+，x2，此时，满足退出循环的条件 x0.01，第9页（共19页） 10（5 分）已知 F 是双曲线 C： |OP|OF|，则OPF 的面积为（1 的一个焦点，点 P 在 C 上 ，O 为坐标原点若）ABCD【解答】解：如图，不妨设 F 为双曲线 C：1 的右焦点，P 为第一象限点由双曲线方程可得，a 4，b 5，则，22则以 O 为圆心，以 3 为半径的圆的方程为 x +y 922联立sinPOF 则故选：B11（5 分）记不等式组表示的平面区域为 D命题p：（x，y）D，2x+y9；命题 q：（x，y）D，2x+y12下面给出了四个命题pqpqpqpq这四个命题中，所有真命题的编号是（A B）CD第10页（共19页） 【解答】解：作出等式组的平面区域为 D在图形可行域范围内可知：命题 p：（x，y）D，2x+y9；是真命题，则p 假命题；命题 q：（x，y）D，2x+y12是假命题，则q 真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：pq 真；pq 假；pq 真；pq 假；故答案真，正确故选：A12（5 分）设 f（x）是定义域为 R 的偶函数，且在（0，+）单调递减，则（）Af（log ）f（2 ）f（2 ）3Bf（log ）f（2 ）f（2）3Cf（2 ）f（2 ）f（log ）3Df（2 ）f（2 ）f（log ）3【解答】解：f（x）是定义域为 R 的偶函数，log 4log 31，330f（x）在（0，+）上单调递减，故选：C二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13（5 分）已知向量 （2，2）， （8，6），则 cos ， 第11页（共19页） 【解答】解：2×（8）+2×64，2 ，10，| | |cos ， 故答案为：14（5 分）记 S 为等差数列a 的前 n 项和若 a 5，a 13，则 S 100 nn3710【解答】解：在等差数列a 中，由 a 5，a 13，得 d，n37a a 2d54113则故答案为：10015（5 分 ）设 F ，F 为椭圆 C：+1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限若12MF F 为等腰三角形，则 M 的坐标为 （3，1 2） 【解答】解：设 M（m，n），m，n0，椭圆 C：e ，+1 的 a6，b2 ，c4，由于 M 为 C 上一点且在第一象限，可得|MF |MF |，12MF F 为等腰三角形，可能|MF |2c 或|MF |2c，1 212即有 6+ m8，即 m3，n；6 m8，即 m30，舍去可得 M（3，）故答案为：（3，16（5 分）学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCDA B C D 挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，1 1 1 1H 分别为所在棱的中点，ABBC6cm，AA 4cm.3D 打印所用原料密度为 0.9g/cm3不1考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 118.8 g第12页（共19页） 【解答】解：该模型为长方体 ABCDA B C D ，挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何1 1 1 1体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，ABBC6cm，AA 4cm，1该模型体积为：VO EFGH6×6×414412132（cm ），33D 打印所用原料密度为 0.9g/cm ，不考虑打印损耗，3制作该模型所需原料的质量为：132×0.9118.8（g）故答案为：118.8三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成 A、B 两组，每组100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如图直方图：第13页（共19页） 记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）【解答】解：（1）C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70则由频率分布直方图得：，解得乙离子残留百分比直方图中 a0.35，b0.10（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.054.05乙离子残留百分比的平均值为：3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.156.0018（12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c已知 asinbsinA（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围【解答】解：（1）asinbsinA，即为 asinacos bsinA，可得 sinAcos sinBsinA2sin cos sinA，sinA0，cos 2sin cos ，第14页（共19页） 若 cos 0，可得 B（2k+1），kZ 不成立，sin ，由 0B，可得 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c1，由余弦定理可得 b，由三角形 ABC 为锐角三角形，可得 a +a a+11 且 1+a a+1a ，2222解得 a2，可得ABC 面积 S asina（，）19（12 分）图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB1，BEBF2，FBC60°将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积【解答】解：（1）证明：由已知可得 ADBE，CGBE，即有 ADCG，则 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，G，D 四点共面；由四边形 ABED 为矩形，可得 ABBE，由ABC 为直角三角形，可得 ABBC，又 BCBEE，可得 AB平面 BCGE，AB平面 ABC，可得平面 ABC平面 BCGE；（2）连接 BG，AG，由 AB平面 BCGE，可得 ABBG，在BCG 中，BCCG2，BCG120°，可得 BG2BCsin60°2 ，第15页（共19页） 可得 AG在ACG 中，AC ，CG2，AG可得 cosACG ，即有 sinACG，则平行四边形 ACGD 的面积为 2× ×420（12 分）已知函数 f（x）2x3ax2+2（1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 0a3 时，记 f（x）在区间0，1的最大值为 M，最小值为 m，求 Mm 的取值范围【解答】解：（1）f（x）6x 2ax2x（3xa），2令 f（x）0，得 x0 或 x 若 a0，则当 x（，0）（）时，f（x）0；当 x（0， ）时，f（x）0故 f（x）在（，0），（）上单调递增，在（0， ）上单调递减；若 a0，f（x）在（，+）上单调递增；若 a0，则当 x（， ）（0，+）时，f（x）0；当 x（ ，0）时，f（x）0故 f（x）在（， ），（0，+）上单调递增，在（ ，0）上单调递减；（2）当 0a3 时，由（1）知，f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，1）上单调递增，f（x）在区间0，1的最小值为，最大值为 f（0）2 或 f（1）4a于是，m，M第16页（共19页） 当 0a2 时，可知 2a+单调递减，Mm 的取值范围是（）；当 2a3 时，单调递增，Mm 的取值范围是 ，1）综上，Mm 的取值范围 ，2）21（12 分）已知曲线 C：y，D 为直线 y 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B（1）证明：直线 AB 过定点（2）若以 E（0， ）为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程【解答】（1）证明：设 D（t， ），A（x ，y ），则，11由于 yx，切线 DA 的斜率为 x ，故，1整理得：2tx 2y +1011设 B（x ，y ），同理可得 2tx 2y +102222故直线 AB 的方程为 2tx2y+10直线 AB 过定点（0， ）；（2）解：由（1）得直线 AB 的方程 ytx+ 由，可得 x 2tx102于是设 M 为线段 AB 的中点，则 M（t，由于 ，而 ， 与向量（1，t）平行，t+（t 2）t0，解得 t0 或 t±1），2第17页（共19页） 当 t0 时，| |2，所求圆的方程为；当 t±1 时，| | ，所求圆的方程为（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22（10 分）如图，在极坐标系Ox 中，A（2，0），B（，），C（ ，），D（2，），弧 ， ， 所在圆的圆心分别是（1，0），（1， ），（1，），曲线 M 是弧 ，1曲线 M 是弧 ，曲线 M 是弧 32（1）分别写出 M ，M ，M 的极坐标方程；312（2）曲线 M 由 M ，M ，M 构成，若点 P 在 M 上，且|OP| ，求 P 的极坐标312【解答】解：（1）由题设得，弧 ， ， 所在圆的极坐标方程分别为 2cos，2sin，2cos，则 M 的极坐标方程为 2cos，（0 ），M 的极坐标方程为 2sin，（ 12），M 的极坐标方程为 2cos，（），3（2）设 P（，），由题设及（1）知，若 0 ，由 2cos 得 cos，得 ，第18页（共19页） 若若，由 2sin 得 sin，得 ，得 或，由2cos 得 cos，综上 P 的极坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ，）或（ ，）选修 4-5：不等式选讲（10 分）23设 x，y，zR，且 x+y+z1（1）求（x1） +（y+1） +（z+1） 的最小值；222（2）若（x2） +（y1） +（za） 成立，证明：a3 或 a1222【解答】解：（1）x，y，zR，且 x+y+z1，由柯西不等式可得（1 +1 +1 ）（x1） +（y+1） +（z+1） （x1+y+1+z+1） 4，2222222可得（x1） +（y+1） +（z+1） ，222即有（x1） +（y+1） +（z+1） 的最小值为 ；222（2）证明：由 x+y+z1，柯西不等式可得（1 +1 +1 ）（x2） +（y1） +（za） （x2+y1+za） （a+2） ，22222222可得（x2） +（y1） +（za） ，222即有（x2） +（y1） +（za） 的最小值为，222由题意可得 ，解得 a1 或 a3第19页（共19页）当 t0 时，| |2，所求圆的方程为；当 t±1 时，| | ，所求圆的方程为（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22（10 分）如图，在极坐标系Ox 中，A（2，0），B（，），C（ ，），D（2，），弧 ， ， 所在圆的圆心分别是（1，0），（1， ），（1，），曲线 M 是弧 ，1曲线 M 是弧 ，曲线 M 是弧 32（1）分别写出 M ，M ，M 的极坐标方程；312（2）曲线 M 由 M ，M ，M 构成，若点 P 在 M 上，且|OP| ，求 P 的极坐标312【解答】解：（1）由题设得，弧 ， ， 所在圆的极坐标方程分别为 2cos，2sin，2cos，则 M 的极坐标方程为 2cos，（0 ），M 的极坐标方程为 2sin，（ 12），M 的极坐标方程为 2cos，（），3（2）设 P（，），由题设及（1）知，若 0 ，由 2cos 得 cos，得 ，第18页（共19页） 若若，由 2sin 得 sin，得 ，得 或，由2cos 得 cos，综上 P 的极坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ，）或（ ，）选修 4-5：不等式选讲（10 分）23设 x，y，zR，且 x+y+z1（1）求（x1） +（y+1） +（z+1） 的最小值；222（2）若（x2） +（y1） +（za） 成立，证明：a3 或 a1222【解答】解：（1）x，y，zR，且 x+y+z1，由柯西不等式可得（1 +1 +1 ）（x1） +（y+1） +（z+1） （x1+y+1+z+1） 4，2222222可得（x1） +（y+1） +（z+1） ，222即有（x1） +（y+1） +（z+1） 的最小值为 ；222（2）证明：由 x+y+z1，柯西不等式可得（1 +1 +1 ）（x2） +（y1） +（za） （x2+y1+za） （a+2） ，22222222可得（x2） +（y1） +（za） ，222即有（x2） +（y1） +（za） 的最小值为，222由题意可得 ，解得 a1 或 a3第19页（共19页）