2020届北京市海淀区高三上学期期末数学试题(解析版).docx

2020 届北京市海淀区高三上学期期末数学试题一、单选题 U = 1,2,3,4,5,6A = 1,3,5B= 2,3,4A ð B (1已知集合，则集合是)U1,3,51,31,5D1,3,5,6ABC【答案】Dð BU【解析】利用补集和交集的定义可求出集合 A.【详解】 ð B = 1,5,6U = 1,2,3,4,5,6A = 1,3,5B= 2,3,4集合，则，U A ð B = 1,5因此，.U故选：D.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.抛物线 2 = 4 的焦点坐标为（ ）2yx( )-1, 0( )1,0( )0,-1( )0,1ABCD【答案】B2 p = 4【解析】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于 轴正半轴，由x，( )1, 0.p=1可得：，即焦点坐标为2本题选择 B 选项.( ) ( )-1 + y -1 = 23下列直线与圆 x22相切的是（）y = -x= x= -2C y xyD y = 2xAB【答案】A【解析】观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可.【详解】由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上，( )1,1圆心坐标为，圆心与原点连线的斜率为1 ，第 1 页 共 21 页 ( ) ( )y= -x-1 + y -1 = 2所以，圆 x22在原点处的切线方程为.故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题.4已知a 、bÎ R，且 a > b ，则（）1 1<a b11bæ ö æ öasin > sinB ab22AC<D >ç ÷ ç ÷ab33è ø è ø【答案】C【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.【详解】1 1>a b= -1对于 A 选项，取 =1，b，则 > 成立，但a b，A 选项错误；aa = p b，= 0sin = sin0sin = sin，即 b ，B对于 B 选项，取，则 > 成立，但a bpa选项错误；111bæ öxæ ö æ öa对于 C 选项，由于指数函数 y=在 上单调递减，若 > ，则a b<，Cç ÷Rç ÷ ç ÷333è øè ø è ø选项正确；对于 D 选项，取 =1， = -2，则 > ，但 a < b ，D 选项错误.a bab22故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.1æö55在 -x的展开式中， 的系数为（x3）çè÷x øB5C-10D10A -5【答案】A3【解析】写出二项展开式的通项，令x 的指数为 ，求出参数的值，代入通项即可计算出 的系数.x3【详解】11kæçèö5æö( )= C × -1 × x，令5-2 k =35-2kk =1.，得x -× x × -的展开式通项为C÷5-kç÷kk5k5x øè x ø( )C × -1 = -5.因此， 的系数为x135第 2 页 共 21 页 故选：A.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项来计算，考查计算能力，属于基础题.= b = c =16已知平面向量 、 、 满足 + + = 0 ，且 a，则 × 的值为（a b）a b ca b c121233-ABCD-22【答案】A【解析】由等式 + + = 得0 a + b = -c ，等式两边平方可求出a×b的值.a b c【详解】0由 + + = 可得a b ca + b = -c，等式两边平方得 2=2c a b+2a b+ 2 × ，即2a×b + 2 =1，1×b = -因此， a.2故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题.gba/a/ba gb g= ，则“ m n ”是“7已 知 、 、 是三个不同的平面，且m= ，”n的（）A充分而不必要条件C充分必要条件【答案】BB必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断/n出“ m ”是“a/b”的必要而不充分条件.【详解】g如下图所示，将平面 、 、 视为三棱柱的三个侧面，设baa bÇ = a，将a 、m 、n/n Þ “a/b视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“ m ”；第 3 页 共 21 页 另一方面，若a/b，由面面平行的性质定理可得出/m n .，且a gb g= n= m所以，“a/b/，因此，“ m n ”是“/a/b”的必要而不充分条件.”Þ “ m n ”故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.DABC3D边长为 ，点 在BCBD > CD7 .下列结论8已知等边边上，且， AD =中错误的是（）SBDcosÐBADsinÐBAD= 2A= 2B DABDC=2D=2ScosÐCADsinÐCADCDDACD【答案】C【解析】利用余弦定理计算出判断.，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行BD【详解】如下图所示：1232> CD >=点 D 在 BC 边上，且 BD， BDBC，p= AB + BD - 2AB× BD×cos- BD + 2 = 03由余弦定理得 AD222，整理得 BD2，33SBD= 2BD > ，解得2 = ， CD=1BD，则 DABD，2SCDDACD第 4 页 共 21 页 BDADCD=sin ÐBAD BD= 2sin ÐBADpsin ÐCAD ，所以，.由正弦定理得sinsin ÐCAD CD3AB + AD - BD2 775 714222由余弦定理得cosÐBAD =，同理可得cosÐCAD =，2AB × ADcosÐBAD 2 7 14 4= ¹ 2=×则.cosÐCAD7 5 7 5故选：C.【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.( )9声音的等级 f x （单位： dB）与声音强度 x （单位： / 2）满足W m( )f x =10´lgx. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，1´10-12声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A10 倍B10 倍C10 10倍D10 12倍68【答案】Bx x【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 、 ，根据题12( )( )xf x =140 f x = 60x x，计算出 和 的值，可计算出意得出，1 的值.x21212【详解】x x设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 、 ，12( )x=10´lg=140x =101由题意可得 f x，解得2 ，11´101-12x( )x=108 ，f x =10´lg=60，解得 x =10 ，所以，2-611´10x22-122因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的10倍，8故选：B.【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题.第 5 页 共 21 页 ( )N= f Ma10若点 为点 M 在平面 上的正投影，则记.如图，在棱长为1 的正方Na- A B C Db为 ，平面g体 ABCD中，记平面ABC D1为 ，点 是棱P上ABCDCC111111( )( )ùQ = f f Péù= éQ f f P .一动点（与 、C 不重合），给出下列三个结论：Cëûëgû121gbbéö1 2,2 2线段 PQ 长度的取值范围是 ê÷；÷2ëø/b存在点 使得 PQ 平面 ；P1 PQ存在点 使得 PQP.12其中，所有正确结论的序号是（）A【答案】DBCDy所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立【解析】以点 为坐标原点，D、DC、DDxDAz1( )()0,1,a 0 < a <1Q Q，求出点 、 的坐标，- xyz空间直角坐标系 D，设点 的坐标为P12然后利用向量法来判断出命题的正误.【详解】C DQABC D1PE C D，再过点 在平面CC D DE取的中点 ，过点 在平面P内作121111QEQ CD内作，垂足为点.11ABCD - A B C DAD在正方体中，平面CC D D1， PE 平面CC D D ，Ì1111111PE AD，( )PE C D AD C D = D PE b f P = EABC D1又， PE 平面 ，即，111b( ) ( )f é f P ù = f E = Q，则 ，EQ g ，CQb同理可证ëû1gbg1( ) ( )=éf f Pù =f C Q .2ëûbgb第 6 页 共 21 页 、DC 、DD 所在直线分别为 x 轴、 轴、 轴建立空间直角y以点 为坐标原点，DDAz1+1 a +1ö() ( ) ( ) æ aP 0 1, a C 0,1,0 E 0,CP = a 0 < a <1,- xyz坐标系 D，设，则， ç÷ ，22èøæöæö÷øa+11 1Q 0,0 ，Q 0, ,ç÷ç.22 21èø2è11 11412æö÷ø2对于命题，=+ a -，0 < a <1，则- < a - <，则PQç22 22è1 2 11 æ+ a -1 öéö1 2æö20 £ a -<÷=Î ,，所以， PQ÷ ê÷ ，命题正确；çç÷24422 2èø2èøëø1 1æöb，则平面 的一个法向量为CQ = 0,- ,对于命题， CQb÷ ，ç2 222èøa-11- a a 1-3a1( )æöPQ = 0,-a ，令CQ= 0a = Î 0,1× PQ =- =ç÷，解得，242431èø21/b所以，存在点 使得 PQ 平面 ，命题正确；P1( )1 1- 2a2 -1a aæö1-a= 0,- ,对于命题， PQ ç÷ ，令 PQ× PQ =+=0，22422èø124a2 - 3a +1 = 0，该方程无解，所以，不存在点 使得 PQ PQ ，命题错P整理得12误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.第 7 页 共 21 页 二、填空题11在等差数列a 中,若a = 5,a = 2 a =,则.n257【答案】0【解析】 试题分析：设等差数列a 的公差为 d ，由已知得a - a = 3d = -3，所以n52d = -1，所以 a= a + 5d = 5 - 5 = 072【考点】等差数列的通项公式.1+ i=，则 z _.12若复数 =zi【答案】 2【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出 z 的值.【详解】( )i1+ i1+ i( )( )2z = -i i +1 =1-i ，因此， z= 1 + -1 = 2 .2ii2故答案为： 2 .【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.( )0, 3x2y2( )，点 、 分别为双曲线 - =1 a > 0的左、右顶点.若13已知点 ACBa23DABC为正三角形，则该双曲线的离心率为_.2【答案】【解析】根据DABC线的离心率.为等边三角形求出a 的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲【详解】3OAOBtanÐABC =a2 +3 = 2= 3，得 =1.由于DABC为正三角形，则aac 2e = = = 2a 1所以，双曲线的半焦距为 =，因此，该双曲线的离心率为.c2故答案为： .【点睛】第 8 页 共 21 页 本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算能力，属于基础题.( )1,4( )a已知函数 f x = x + 在区间14上存在最小值，则实数a 的取值范围是x_.( )1,16【答案】( ) ( )y = f x1,4> 0两【解析】由题意可知，函数在区间上存在极小值，分 £ 0 和 aa( ) ( )y = f x1,4> 0时求出函数种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，在a< 4 ，解出即可.( )y = f x【详解】( )的极值点 x=a ，可得出1<a- aa ( )f x = x + ， f xa x2=1- =¢.xxx22( ) ( )( ) ( )y f x= 1,4在区间xÎ 1,4¢ > 0f x当 £ 0 时，对任意的，此时，函数上为a( ) ( )y = f x1,4上没有最小值；增函数，则函数在区间- a( ) x2> 0¢时，令 f x= 0，可得 x = a ，=当 ax2( )( )¢ > 0f x，¢ < 00 < x < af x当时，当时，x > a( )= f x=a ，由题意可得1< a < 4 ，解得1< a <16.y此时，函数的极小值点为 x( )1,16因此，实数a 的取值范围是.( )1,16故答案为：【点睛】.本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.( )( )w jf x = Asin x +15用“五点法”作函数的图象时，列表如下：1114-2x43p0022( )f x20-20第 9 页 共 21 页 12( )f -1 =( ) æf 0 + f -çö÷ø=则_，_.è【答案】 -20= ( )y f x的解析式，然jw【解析】根据表格中的数据求出 A、 、 的值，可得出函数1( ) ( ) æöf -10 + f -f.后代值计算可得出和ç÷ 的值2èø【详解】( )A = f x= 2，由表格中的数据可知，max1112p 2p( )y = f xæöT = - -= 3 w =，=函数的最小正周期为ç÷，443èøT2p122p 1pæçèö( )f x = 2sinx +jj÷，当x=时，则´ + =，解得j，33 226ø2ppp 2p-pæçèöæçèö÷øæö÷ø( )f x = 2sin( ) f -1 = 2sinx += 2sin -= -2，则÷ ，ç366 32øè12ppæöæö÷ø( )f 0 + f -= 2sin + 2sin -= 0 .ç÷ç66èøè故答案为：-2 ；0 .【点睛】本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.: x + y + mx y =116已知曲线C4422（ m 为常数）.（ ）给出下列结论：i曲线C 为中心对称图形；曲线C 为轴对称图形；( )P x, y= -1时，若点在曲线C 上，则x 或³ 1y³1.当 m其中，所有正确结论的序号是_.> -2p（ ）当 mii时，若曲线C 所围成的区域的面积小于 ，则 m 的值可以是_.（写出一个即可）【答案】m> 2均可第 10 页 共 21 页 ( )( ) ( ) ( )-x,-y P x,-y P -x, yP x, y ，将点P【解析】（i）在曲线C 上任取一点、123代入曲线C 的方程，可判断出命题的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题的正误；= 2+ =1p（ii）根据 m时，配方得出 xy，可知此时曲线C 为圆，且圆的面积为 ，22p> 2C从而得知当m时，曲线 所表示的图形面积小于 .【详解】( ), y（i）在曲线C 上任取一点 P x，则 x4+ y + mx y =1，422( )( ) ( ) ( ) ( )P -x,-y-代入曲线 的方程可得 x+ -ym x+ -y=1，将点C44221( ) ( )P x,-y P -x, y同理可知，点、都在曲线C 上，则曲线 关于原点和坐标轴对称，C23命题正确.13æö2= -1时，反设2y<1，1= x + y - x y = x - y + yx<1且当 m4422ç22÷ø24è1121114æö÷ø20 £ y <1- < -<0则0 £ x2 <1，所以，则£ x - y<，x2y2222ç222è13æö2+ y - x y = x - y + y <1+ -=1矛盾.所以， x4，这与 x4y4x2y2422ç22÷224èø³1，命题正确；³ 1 y或假设不成立，所以， x( )2= 2+ + 2=1，即 x + y =1（ii）当 m时，曲线C 的方程为 xyxy，即442222x2+ y =1，2p此时，曲线C 表示半径为1 的圆，其面积为 .( ),P x y> 2¹0x + y =1时，在圆 2 上任取一点当 m时，且当xy，则2( )21= x + y = x + y + 2x y < x + y + mx y2 ，则点 在曲线外，所以，曲线CP224422442p的面积小于圆的面积 .> 2故答案为：； m均可.【点睛】本题考查曲线中的新定义，涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题，考查推理能力，属于难题.三、解答题第 11 页 共 21 页 12( )= cos x + 3 sin xcos x -已知函数 f x217.( )f x（）求函数的单调递增区间；( ) f x0,m1 m上的最大值为 ，求 的最小值.（）若在区间ppéù( )pp, p） k - k +k Î Z ；（） .【答案】（êú36ëû6( )y = f x【解析】（）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式变形为ppp pæö( )( )2 pf x = sin 2x +- + 2k £ x + £ + k k ÎZp 2ç÷ ，然后解不等式，即可626 2èø( )y = f x得出函数（）由的单调递增区间；p éppùúp p xÎ 0,m2x + Î ,2m +，结合题意得出2m + ³，即可求出ê6666 2ëû实数 的最小值.m【详解】1+ cos 2x3131æp ö( )（） f x=+sin 2x - =2 2sin 2x + cos 2x = sin 2x +，ç÷2226èøppéù( )k Î Z2kp - , 2kp += sin x因为 y的单调递增区间为ê，ú22ëûpppppéùéù( )k Î Z( )k Î Z.2x + Î 2kp - , 2kp +xÎ kp - ,kp +令，得êúêú62236ëûëûpp( )éù( )y = f xk - k +p, pk ÎZ所以函数（）因为又因为的单调递增区间为；êúû36ë xÎ 0,mp éppùú2x + Î ,2m +，所以.ê666ëûp ( )æöxÎ 0,m= sin 2x +f x1，ç÷ 的最大值为 ，6èøp ppp2m + ³m ³所以，解得，所以m 的最小值为 .6 266【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.- ABC 中，平面VAC D D平面 ABC， ABC和 VAC均是等腰18如图，在三棱锥V第 12 页 共 21 页 = BC=， AC CV= 2N直角三角形， AB， M 、 分别为VA、VB 的中点./（）求证： AB 平面CMN ；（）求证： ABVC；（）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.2 23【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）.【解析】（）由中位线的性质得出MN/AB，然后利用直线与平面平行的判定定理可/CMN ；证明出 AB 平面（）由已知条件可知VCVC； AC，然后利用面面垂直的性质定理可证明出VC 平面ABC，即可得出 ABy（）以C 为原点，CA、CV 所在直线分别为 x 轴、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.【详解】DVABNVAMNMN/AB.为中位线，所以（）在中，M 、 分别为、 的中点，所以VB/平面CMN ，所以 AB 平面CMN ；Ë又因为 AB 平面CMN ，MN Ì（）在等腰直角三角形DVAC中，AC = CV ，所以VC AC.ABC= ACVCÌ平面VAC ，因为平面VAC 平面 ABC，平面VAC平面，所以VC 平面又因为 AB 平面 ABC，所以 AB（）在平面 ABC内过点C 作CH 垂直于ABC.VC；ABC，由（）知，VC 平面ACÌABC，所以VC CH.因为CH 平面如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C - xyz .第 13 页 共 21 页 1 1( ) ( ) ( ) ( )æö÷øC 0,0,0 V，0,0,2B 1,1,0 M 1,0,1，N , ,1则， ç.2 2è1 1æö( )( )VB = 1,1,-2 ，CM = 1,0,1 ，CN ç=, ,1÷.2 2èøì + =x z0ìn×CM =0ï( )= x, y, z设平面CMN 的法向量为n，则 í，即 í11.în×CN = 0x + y + z = 0ïî22令 x=1则=1(1,1, 1).-y= -1，所以n =， zn×VB 2 2sin = cos n,VB =直线VB 与平面CMN 所成角大小为q ，q.3n × VB2 2所以直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为.3【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19某市城市总体规划（2016- 2035年）提出到 2035年实现“15 分钟社区生活圈”4全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身 个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15 分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.6 1）、良好小区（指数为0.4 0.6）、中等小区（指数为0.2 0.4）以及待改进小区（指数为0 0.2 44） 个等级 下面是三个小区 个方面指标的调查数据：.第 14 页 共 21 页 T = wT + w T + w T + w T 其中 w 、w 、w 、注：每个小区“15 分钟社区生活圈”指数，1231 122334 4T Tw 为该小区四个方面的权重， 、 、T 、T 为该小区四个方面的指标值（小区每41234一个方面的指标值为0 1之间的一个数值）.现有100个小区的“15 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：0.4,0.6300.6,0.8300.8,1分组102010频数（）分别判断 A、 、C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；B（）对这100 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，1010抽取 个小区进行调查，若在抽取的 个小区中再随机地选取 个小区做深入调查，22xx记这 个小区中为优质小区的个数为 ，求 的分布列及数学期望.【答案】（） A、C 小区不是优质小区； 小区是优质小区；见解析；（）分布列B4见解析，数学期望 .5【解析】（）计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区；x（）先求出10 个小区中优质小区的个数，可得出随机变量 的可能取值，然后利用xx超几何分布的概率公式计算出随机变量 在不同取值下的概率，可得出随机变量 的分x布列，利用数学期望公式可计算出随机变量 的数学期望值.第 15 页 共 21 页 【详解】= 0.7´0.2 + 0.7´0.2 + 0.5´0.32 + 0.5´0.28 = 0.58（） A小区的指数T，0.58 < 0.60，所以 A小区不是优质小区；= 0.9´0.2 + 0.6´0.2 + 0.7´0.32 + 0.6´0.28 = 0.692，小区的指数TB0.692 > 0.60，所以 小区是优质小区；BC 小区的指数T =0.1´0.2 + 0.3´0.2 + 0.2´0.32 + 0.1´0.28 = 0.172，0.172 < 0.60，所以C 小区不是优质小区；30 +10（）依题意，抽取10 个小区中，共有优质小区10´个.= 4 个，其它小区10-4 = 6100x1 2依题意 的所有可能取值为0 、 、 .15 124 8C62( ) C( ) C C( )261162P x = 0 =P x =1 =P x = 2 =4=，4C2，.C2 45 345 15C2 45 15101010x则 的分布列为：x1201382P1515182 4Ex = 0´ +1´ + 2´ =15 15 5.3【点睛】本题考查概率统计综合问题，同时也考查了超几何分布列与数学期望的计算，解题时要结合题意得出随机变量所满足的分布列类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.( )A2,03xy (b): + =1 a > b >