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小学生数学解题中的思维训练南京市鼓楼区教师进修学校葛文 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 四、结合例题讲解数学思想方法的运用四、结合例题讲解数学思想方法的运用（数学思维训练）（数学思维训练）易错的典型题例及分析易错的典型题例及分析易错的典型题例及分析易错的典型题例及分析【例题一】【例题一】【例题一】【例题一】有两根同样长的钢管，第一根用去有两根同样长的钢管，第一根用去有两根同样长的钢管，第一根用去有两根同样长的钢管，第一根用去3/103/10米，第二根用去米，第二根用去米，第二根用去米，第二根用去3/103/10，两根相比（，两根相比（，两根相比（，两根相比（）。）。）。）。第一根用去的多第一根用去的多第一根用去的多第一根用去的多 第二根用去的多第二根用去的多第二根用去的多第二根用去的多 无法比较无法比较无法比较无法比较（一）类比法：（一）类比法：（一）类比法：（一）类比法：1 1、解决、解决、解决、解决“分率与分数易混淆分率与分数易混淆分率与分数易混淆分率与分数易混淆”的问题：的问题：的问题：的问题：分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：这道题无法直接比较，它需要讨论：这道题无法直接比较，它需要讨论：当长度为当长度为1 1米时，两根用去的长度相等；米时，两根用去的长度相等；当长度大于当长度大于1 1米时，第二根的米时，第二根的3/10 3/103/10 3/10米；米；当长度小于当长度小于1 1米时，第二根的米时，第二根的 3/103/10 3/103/10 米，米，因此选择因此选择无法比较无法比较 【例题二】【例题二】【例题二】【例题二】一根钢管两次用完，第一次用去一根钢管两次用完，第一次用去一根钢管两次用完，第一次用去一根钢管两次用完，第一次用去3/103/10米，第二次用去米，第二次用去米，第二次用去米，第二次用去全长的全长的全长的全长的3/103/10，两次相比（，两次相比（，两次相比（，两次相比（）第一次用去的多第一次用去的多第一次用去的多第一次用去的多 第二次用去的多第二次用去的多第二次用去的多第二次用去的多 无法比较无法比较无法比较无法比较 分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：因为第二次用去全长的因为第二次用去全长的3/103/10，那么第一次用去了全长，那么第一次用去了全长的（的（1-3/101-3/10）=7/10=7/10，大于全长的，大于全长的3/103/10，因此选择因此选择 2 2、解决单位、解决单位、解决单位、解决单位“1”“1”发生变化时容易混淆的问题：发生变化时容易混淆的问题：发生变化时容易混淆的问题：发生变化时容易混淆的问题：【例题三】【例题三】【例题三】【例题三】一种商品先提价一种商品先提价一种商品先提价一种商品先提价1/101/10，再降价，再降价，再降价，再降价1/101/10。现价与原价相比（。现价与原价相比（。现价与原价相比（。现价与原价相比（）与原价相等与原价相等与原价相等与原价相等 比原价高比原价高比原价高比原价高 比原价低比原价低比原价低比原价低分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：一般学生会认为是与原价相等，实际两次一般学生会认为是与原价相等，实际两次单位单位“1”“1”不同不同，所以提的价不等于降的价。可以假设原价为所以提的价不等于降的价。可以假设原价为100100元元，提价，提价1/101/10后为后为:100:100（1+1/10 1+1/10）=110=110元，而降低了元，而降低了1/101/10是是110110元元的的1/101/10，现价是：，现价是：110(1-1/10)=99(110(1-1/10)=99(元），因此选择元），因此选择比原价低。比原价低。且永远现价是原价的且永远现价是原价的:（1+1/10 1+1/10）（1-1/101-1/10）=11/10 9/10=99/100 =11/10 9/10=99/100 【例题四】【例题四】【例题四】【例题四】一种商品先降价一种商品先降价一种商品先降价一种商品先降价1/101/10，再提价，再提价，再提价，再提价1/101/10。现价与原价相比（。现价与原价相比（。现价与原价相比（。现价与原价相比（）与原价相等与原价相等与原价相等与原价相等 比原价高比原价高比原价高比原价高 比原价低比原价低比原价低比原价低分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：可以假设原价为可以假设原价为100100元，降低元，降低100100元的元的1/101/10后为后为9090元，元，提价了提价了9090元的元的1/101/10（901/10=9901/10=9元）后是元）后是9999元，因此还是元，因此还是选择选择比原价低。比原价低。且永远现价是原价的且永远现价是原价的:（1-1/101-1/10）（1+1/101+1/10）=9/10 11/10=99/100 =9/10 11/10=99/100 ）（二）假设法：（二）假设法：（二）假设法：（二）假设法：3 3、等式中的假设、等式中的假设、等式中的假设、等式中的假设【例题五】【例题五】【例题五】【例题五】甲数的甲数的甲数的甲数的2/52/5与乙数的与乙数的与乙数的与乙数的1/21/2相等，则甲数与乙数的最简比是（相等，则甲数与乙数的最简比是（相等，则甲数与乙数的最简比是（相等，则甲数与乙数的最简比是（）分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：把相等的量设为单位把相等的量设为单位“1”“1”甲数为：甲数为：12/5=5/212/5=5/2；乙数为：；乙数为：11/2=211/2=2 甲数乙数甲数乙数=5/2=5/22=52=54 4 【例题六】【例题六】【例题六】【例题六】鸡的只数是鸭的鸡的只数是鸭的鸡的只数是鸭的鸡的只数是鸭的1/21/2，鹅的只数是鸡的，鹅的只数是鸡的，鹅的只数是鸡的，鹅的只数是鸡的1/31/3，鹅的，鹅的，鹅的，鹅的只数与鸭的只数的比（只数与鸭的只数的比（只数与鸭的只数的比（只数与鸭的只数的比（）。）。）。）。分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：这道题把谁为标准量这道题把谁为标准量:(1)(1)以鸭为标准量以鸭为标准量“1”“1”，鸡就是，鸡就是1/21/2，鹅就是，鹅就是1/21/3=1/21/3=1/61/6；鹅鸭鹅鸭=1/6 =1/6 1=11=16 6(2)(2)以鸡为标准量以鸡为标准量“1“1“，鹅就是，鹅就是1/31/3，鸭就是，鸭就是11/2=211/2=2，鹅鸭鹅鸭=1/3=1/32=12=16 6(3)(3)可以假设鸡为可以假设鸡为3 3份，那鹅就是份，那鹅就是1 1份，鸭为份，鸭为6 6份，份，鹅鸭鹅鸭=1=16 6 【例题七】【例题七】【例题七】【例题七】在在在在20082008年春季的一个月中，统计的晴、雨、阴天年春季的一个月中，统计的晴、雨、阴天年春季的一个月中，统计的晴、雨、阴天年春季的一个月中，统计的晴、雨、阴天的状况为：雨天比晴天少的状况为：雨天比晴天少的状况为：雨天比晴天少的状况为：雨天比晴天少1/3,1/3,阴天比晴天少阴天比晴天少阴天比晴天少阴天比晴天少3/5,3/5,这个月晴天有多少天这个月晴天有多少天这个月晴天有多少天这个月晴天有多少天?分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：因为，雨天与晴天的比为因为，雨天与晴天的比为2 23 3，阴天与晴天的比为，阴天与晴天的比为2 25 5；如果把晴天设为；如果把晴天设为3 3和和5 5的最小公倍数的最小公倍数1515，那么，雨，那么，雨天为天为1010天，阴天天，阴天6 6天，晴天天，晴天1515天，合计天，合计3131天，符合生活天，符合生活实际；实际；用通比也能得出结论：用通比也能得出结论：雨天晴天阴天雨天晴天阴天 2 2 3 3 5 5 2 2 10 10 15 15 6 6 合计：合计：10+15+6=3110+15+6=31（天）（天）【例题八】【例题八】【例题八】【例题八】把右图做成一个圆锥（接头处不计），再将这个圆锥沿高从把右图做成一个圆锥（接头处不计），再将这个圆锥沿高从把右图做成一个圆锥（接头处不计），再将这个圆锥沿高从把右图做成一个圆锥（接头处不计），再将这个圆锥沿高从顶点往下直切成两等份，切面是（顶点往下直切成两等份，切面是（顶点往下直切成两等份，切面是（顶点往下直切成两等份，切面是（）。）。）。）。A A、直角三角形、直角三角形、直角三角形、直角三角形 B B、正三角形、正三角形、正三角形、正三角形 C C、钝角等腰三角形、钝角等腰三角形、钝角等腰三角形、钝角等腰三角形 D D无法确定无法确定无法确定无法确定 分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：假设扇形的弧长为假设扇形的弧长为3.143.14厘米，则其半径厘米，则其半径（圆锥的母线（圆锥的母线L L）为）为1 1厘米，因为扇形的弧厘米，因为扇形的弧长为长为3.143.14厘米，所以底部圆的周长也是厘米，所以底部圆的周长也是3.143.14厘米，推导出底部圆的直径：厘米，推导出底部圆的直径：3.143.14=13.143.14=1厘米厘米 因此切面为等边（正）三角形。因此切面为等边（正）三角形。（三）替换法：（三）替换法：4 4、图形中的条件转换、图形中的条件转换、图形中的条件转换、图形中的条件转换【例题九】【例题九】【例题九】【例题九】已知下图中阴影部分三角形面积为已知下图中阴影部分三角形面积为已知下图中阴影部分三角形面积为已知下图中阴影部分三角形面积为5 5平方米，求圆的面积。平方米，求圆的面积。平方米，求圆的面积。平方米，求圆的面积。分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：rr=5(rr=5(平方米平方米平方米平方米)；3.145=15.7(3.145=15.7(平方米平方米平方米平方米)这里运用到一个这里运用到一个“常数常数”的知识，圆与内切的知识，圆与内切正方形面积的比是正方形面积的比是157/100157/100，因此用，因此用52 52 100/157=15.7 100/157=15.7(平方米平方米平方米平方米)【例题十】【例题十】【例题十】【例题十】一张小圆桌的周长是一张小圆桌的周长是一张小圆桌的周长是一张小圆桌的周长是3.143.14米米米米,把四边撑开的部分折叠起来就成了把四边撑开的部分折叠起来就成了把四边撑开的部分折叠起来就成了把四边撑开的部分折叠起来就成了一张方桌一张方桌一张方桌一张方桌,求方桌的桌面是多少平方米求方桌的桌面是多少平方米求方桌的桌面是多少平方米求方桌的桌面是多少平方米?分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：圆的直径：圆的直径：3.143.14=13.143.14=1（米）（米）10.522=0.5 10.522=0.5（平方米）（平方米）这里也可以运用圆与内切正方形的面积比是这里也可以运用圆与内切正方形的面积比是157/100157/100这一知这一知识点进行解答，识点进行解答，2 2圆面积圆面积=3.14=3.14（3.143.1423.143.142）100/157=0.5100/157=0.5（平方米）（平方米）【例题十一】【例题十一】【例题十一】【例题十一】如图两个正方形之间阴影部分的面积是如图两个正方形之间阴影部分的面积是如图两个正方形之间阴影部分的面积是如图两个正方形之间阴影部分的面积是2020平方厘米，求圆平方厘米，求圆平方厘米，求圆平方厘米，求圆环的面积。环的面积。环的面积。环的面积。分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：设内圆半径为设内圆半径为r,r,外圆半径为外圆半径为R R，从图上可以看出：，从图上可以看出：R R的平方的平方-r-r的平方的平方=20=20（平方厘米）（平方厘米）圆环的面积圆环的面积=3.14=3.14（R R的平方的平方-r-r的平方）的平方）=3.1420=62.8 =3.1420=62.8（平方厘米）（平方厘米）【例题十二】【例题十二】26名同学一起去春游名同学一起去春游,每人只买一瓶饮料每人只买一瓶饮料,如果如果3个空瓶可个空瓶可以换回以换回1瓶饮料瓶饮料,他们最多可以喝到几瓶饮料？他们最多可以喝到几瓶饮料？分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：学生会用图示法进行分析，得出最多可以喝到学生会用图示法进行分析，得出最多可以喝到3838瓶饮料瓶饮料还剩下还剩下2 2个空瓶，缺乏借一个空瓶再置换一瓶汽水后喝完个空瓶，缺乏借一个空瓶再置换一瓶汽水后喝完还回空瓶的策略。还回空瓶的策略。此题还可以转化为每此题还可以转化为每2 2个空瓶就能有一瓶饮料的思路，个空瓶就能有一瓶饮料的思路，因此用因此用26+262=3926+262=39瓶，瓶，成为运用简单置换策略解决问题成为运用简单置换策略解决问题的典型题例。的典型题例。（四）假设与图解：（四）假设与图解：【例题十三】【例题十三】有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两种颜有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两种颜色。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里色。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的的黑子占全部黑子的2/5。把三堆棋子集中在一起，白子。把三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的几分之几？占全部棋子的几分之几？分析与解：分析与解：假设黑子有5颗，则第三堆黑子有2颗，第一、二堆黑子共有3颗，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，所以每堆有3颗棋子，画图如下：第一堆 第二堆 第三堆 49=4/9 （五）还原法：（五）还原法：【例题十四】【例题十四】甲、乙、丙三个水桶中各装有一些水，共甲、乙、丙三个水桶中各装有一些水，共72升。先将甲桶升。先将甲桶中中1/3的水倒入乙桶，再将乙桶中现有水的的水倒入乙桶，再将乙桶中现有水的1/5倒入丙桶，最倒入丙桶，最后将丙桶中现有水的后将丙桶中现有水的1/7倒回甲桶，这时三个水桶中的水同倒回甲桶，这时三个水桶中的水同样多。三个水桶原来各有水多少升？样多。三个水桶原来各有水多少升？分析与解：分析与解：首先根据“这时三个水桶中的水同样多”，得出每个水桶中的水为723=24升，再列表如下：甲乙丙现在 242424第三次操作前 24-4=202424（1-1/7）=28 第二次操作前2024（1-1/5）=30 28-6=22第二次操作前（原来）20（1-1/3）=30 30-10=2022 （六）抓住不变量：（六）抓住不变量：【例题十五】【例题十五】有含水量为有含水量为90%的盐水的盐水500克，加热后变成了含水量为克，加热后变成了含水量为75%的盐水。蒸发了多少克的水？的盐水。蒸发了多少克的水？分析与解：分析与解：这道题盐的质量不变。先求出盐的质量：500（190%）=50（克）再求出加热后盐水的质量：50（175%）=200（克）最后求出蒸发了的水的质量：500200=300（克）基本数量关系：盐+水=盐水 盐水含盐率=盐；盐水含水率=水 【例题十六】【例题十六】配制配制20%的糖水的糖水1000克，需要用浓度为克，需要用浓度为18%和和23%的的糖水各多少克？糖水各多少克？分析与解：分析与解：这道题糖的质量是不变量：100020%=200(20%=200(克克)设设18%18%的糖水为的糖水为x x克，则克，则23%23%糖水为（糖水为（1000-x1000-x）克）克 18%x+23%18%x+23%（1000-x1000-x）=200=200 0.18x+230-0.23x=200 0.18x+230-0.23x=200 0.05x=30 0.05x=30 X=600(18%X=600(18%的糖水的糖水)1000-600=400 1000-600=400（23%23%的糖水）的糖水）【例题十七】【例题十七】甲容器中有甲容器中有8%的盐水的盐水300克，乙容器中有克，乙容器中有12.5%的盐水的盐水120克。往甲、乙两个容器中倒入等量的水，使两个容器克。往甲、乙两个容器中倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样，求每个容器应倒入水多少克？中盐水的浓度一样，求每个容器应倒入水多少克？分析与解：分析与解：这道题抓住盐的质量不变。这道题抓住盐的质量不变。3008%=24（克）12012.5%=15（克）24 15 =300+x 120+x 15(300+x)=24(120+x)4500+15x=2880+24x 24x-15x=4500-2880 9x=1620 X=180（克）1 1 1 1【例题十八】【例题十八】计算 2 4 8 16分析与解：分析与解：这道题学生只会想到“可以先通分转化成同分母分数后再相加”；或将“分数转化为小数求和”进行计算；其实，化小数计算反而麻烦。如果给这题再添上一个加数，加一个1/32，再加1/64呢？如果这样加下去，一直加到1/1024呢？通分算还简便吗？1 1 1 1 1 1 1 +2 4 8 16 32 64 132 这里教师把加数增多，让学生在无法用通分来解决此题的过程中生成策略上的内需，然后出示下图：在直观图形的启发下，独立探索转化的方法通过数形结合解释图意，图中的正方形表示1，1/2+1/4+1/8+1/16的和，就是正方形里涂色部分的大小。重点突出了算式转化是根据“涂色部分的大小等于1减空白部分的差”进行的。让学生充分体会把原题这样转化，使计算简便了。八、概率问题：八、概率问题：【例题十九】【例题十九】箱内不规则地散放着式样、尺码相同的黑球鞋和白球鞋各箱内不规则地散放着式样、尺码相同的黑球鞋和白球鞋各4双，未加分辨地从中随即取出双，未加分辨地从中随即取出2只，恰好得到同色且左右只，恰好得到同色且左右配好对的一双鞋的概率是多少？配好对的一双鞋的概率是多少？分析与解：分析与解：8双鞋共16只，先任意取一只，再取下一只的时候有15种不同的取法。任取的这只鞋子肯定有颜色（黑或白），与它同色且左右配对的有4只，取这4只中的任意一只都符合题意，所以是4/15。【例题二十】【例题二十】李医生定期去甲、乙、丙三位病人家巡诊。按计划他每三天（中李医生定期去甲、乙、丙三位病人家巡诊。按计划他每三天（中间空间空2天）去甲家一次，每天）去甲家一次，每4天去乙家一次，每天去乙家一次，每6天去丙家一次。天去丙家一次。4月月30日那天，连续去了甲、乙、丙三家，那么从日那天，连续去了甲、乙、丙三家，那么从5月月1日到日到12月月31日，李医生应该去巡诊的天数是多少？日，李医生应该去巡诊的天数是多少？九、周期（推理）：九、周期（推理）：分析与解：分析与解：这也是一个周期问题，从李医生4月30日连续去了3家巡诊的时间是一个周期。我们可以通过列表观察李医生在甲、乙、丙三家巡诊的天数，从中找出相应的规律。本题可列表如下，从4月30日开始：4.305.12345678910 11 12 13 14 15 16 17甲甲 乙乙 丙丙 解题秘诀解题秘诀：每12 天为一个周期。其中巡诊6天。解答解答：从5月1日到12月31日共有的天数为：315+303=245（天）李医生巡诊的周期数为：24512=205 剩下5天他巡诊2天，李医生总共巡诊的天数为：620+2=122（天）答：从5月1日到12月31日，李医生应该去巡诊的天数为122天。数学教学要留下思考，留下数学意识，数学教学要留下思考，留下数学意识，留下留下数学思想方法，留下解决问题的能力。数学思想方法，留下解决问题的能力。数学是思维的体操，思维活动是数学学科的本质特征，任何数学教学活动都离不开思维活动。因此在教学的全过程中，教师必须以培养学生的思维能力为目标，注重学生思维的发展与提高，在发展与提高学生思维能力的过程中，培养学生解题的灵活性、敏捷性、深刻性与独创性。谢 谢 ！