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定积分的几何应用定积分的几何应用 和经济应用和经济应用回顾：基本积分公式回顾：基本积分公式解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量解解 先求两曲线的交点。先求两曲线的交点。解法解法2选选 为积分变量为积分变量显然解法显然解法2简单！简单！选择合适的积分变量是重要的。选择合适的积分变量是重要的。解解设椭圆方程为设椭圆方程为由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍倍以以x为积分变量，得为积分变量，得曲边扇形面积微元曲边扇形面积微元曲边扇形的面积公式曲边扇形的面积公式2.2.极坐标方程的情形极坐标方程的情形解解由对称性知，总面积由对称性知，总面积=第一象限部分面积的第一象限部分面积的4倍。倍。解解利用对称性知，所求面积利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，为上半部的两倍，圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、旋转体的二、旋转体的体积体积 旋转体旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴旋转轴旋转体的体积公式旋转体的体积公式推导推导xyo解解直线直线 方程为方程为 如图由于图形关于坐标轴对如图由于图形关于坐标轴对称，故只需考虑其第一象限内的称，故只需考虑其第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。转体的体积。求椭圆求椭圆 分别绕分别绕 轴与轴与 轴旋转而成轴旋转而成的旋转体的体积。的旋转体的体积。例例7 7 解解（1）绕）绕 轴旋转而成的旋转体的体积为：轴旋转而成的旋转体的体积为：（2）绕）绕 轴旋转而成的旋转体的体积为：轴旋转而成的旋转体的体积为：特别地，当特别地，当 时，得半径为时，得半径为 的球体积的球体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积三、平行截面面积已知的立体的体积三、平行截面面积已知的立体的体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积作作 业业P171.1.（1）（）（2）4 5 .（1）6一、由边际函数求原函数一、由边际函数求原函数二、由变化率求总量二、由变化率求总量三、收益流的现值和将来值（次要）三、收益流的现值和将来值（次要）第七节第七节 定积分的经济应用定积分的经济应用一、由边际函数求原函数一、由边际函数求原函数解解例例1 1 已知边际成本为已知边际成本为固定成本为固定成本为1000,1000,求总成本函数。求总成本函数。二、由变化率求总量例例2 2 某工厂生产某商品在时刻某工厂生产某商品在时刻 的总产量变化的总产量变化率为率为 (单位单位/小时小时)。求由。求由 到到 这两小时的总产量。这两小时的总产量。解解三、收益流的现值和将来值三、收益流的现值和将来值收益流收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看收益若是连续地获得，则收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流。作是一种随时间连续变化的收益流。收益流量收益流量 收益流对时间的变化率。收益流对时间的变化率。若以连续复利若以连续复利r计息，一笔计息，一笔P元人民币从元人民币从现在存入银行，现在存入银行，t年后的价值（将来值）年后的价值（将来值）若有一笔收益流的收益流量为若有一笔收益流的收益流量为 （元（元/年），考年），考虑从现在开始虑从现在开始 到到 年后这一时间段的将来值年后这一时间段的将来值和现值。（以连续复利率计息）和现值。（以连续复利率计息）分析分析 在区间在区间 内任取一小区间内任取一小区间 ，在在 内所获得的金额近似为内所获得的金额近似为从从 开始开始,这一金额是在这一金额是在 年后的将年后的将来获得来获得,因此在因此在 内内,收益现值收益现值总现值总现值对于将来值对于将来值,在在 年后获得利息年后获得利息,从而在从而在 内内,收益流的将来值收益流的将来值故故,总的将来值总的将来值例例3 假设以年连续复利率假设以年连续复利率 0.1 计息计息,求收益流量为求收益流量为 100元元/年的收益流在年的收益流在20年内的现值和将来值年内的现值和将来值.解解现值现值将来值将来值结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！33