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山东建筑大学结构力学研究生专山东建筑大学结构力学研究生专业课考试复习业课考试复习6 6位移计算位移计算1 15-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移一、结构位移计算概述一、结构位移计算概述计算位移的目的：（计算位移的目的：（1）刚度验算，（）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础）超静定结构分析的基础产生位移的原因：（产生位移的原因：（1）荷载）荷载 （2）温度变化、材料胀缩）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差）支座沉降、制造误差以上是绝对位移以上是绝对位移以上是相对位移以上是相对位移广义位移广义位移位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便abl/2l/2h1=B2Y=1A2Y计算中心铰的竖向位移1l=B4hXl=A4hXBABA1AB虚功方程：虚功方程：例例1、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角处由于某种原因产生相对转角d，试求试求A点在点在ii方向的位移方向的位移 。一、局部变形时位移计算举例一、局部变形时位移计算举例5-2 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式BABA1A 例例2、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位处由于某种原因产生相对剪位移移d，试求试求A点在点在ii方向的位移方向的位移 。例例3、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移处由于某种原因产生轴向位移d 试求试求A点在点在方向的位移方向的位移 。BABA BA 1由平衡条件：由平衡条件：虚功方程：虚功方程：当截面当截面B同时产生三种相对位移时，在同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：即是三者的叠加，有：二、局部变形时的位移计算公式二、局部变形时的位移计算公式基本思路：基本思路：dsR dsdsRds（1）三种变形：）三种变形：在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形设为变形体，分析局部变形所引起的位移。所引起的位移。dsRdsdsRds 1（2）微段两端相对位移：）微段两端相对位移：续基本思路：设续基本思路：设 微段的变形以截面微段的变形以截面B左右两端的相对位移的左右两端的相对位移的形式出现，形式出现，即刚体位移即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移）应用刚体虚功原理求位移d 即前例的结论。即前例的结论。或或三、结构位移计算的一般公式三、结构位移计算的一般公式一根杆件各个微段变形引起的位移总和：一根杆件各个微段变形引起的位移总和：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：适用范围与特点：适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。包括超静定。）结构类型：各种杆件结构。包括超静定。（4）材料种类：弹性、非线弹性材料。）材料种类：弹性、非线弹性材料。1）适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。dsdsK 1dsdsdsdsdsdsds外虚功：外虚功：内虚功：内虚功：变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi，等于荷载在位等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We。即：即：四、位移计算的一般步骤四、位移计算的一般步骤:K 1实际变形状态虚力状态(1)建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；(2)求虚力状态下的内力及反力求虚力状态下的内力及反力表达式表达式;(3)用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。作业5-2（注意，问题是求多个位移，求每个位移时，单独做图表示单位载荷状态）5-3 5-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。的表达式。一、计算步骤一、计算步骤（1）在荷载作用下建立）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应变应变 过程推导应变表达式。过程推导应变表达式。（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知k-为截面形状系数为截面形状系数1.2(3)荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式两项内力两项内力 同号、同方向取正同号、同方向取正二、各类结构位移计算的简化公式二、各类结构位移计算的简化公式（1 1）梁与刚架）梁与刚架（2 2）桁架）桁架（3 3）拱、组合结构）拱、组合结构qACB(a)实际状态实际状态P=1ACB(b)虚设状态虚设状态AC段段CB段段例例1.试计算悬臂梁试计算悬臂梁A点的竖向位移点的竖向位移。2）列出两种状态的内力方程：）列出两种状态的内力方程：1）设单位载荷状态）设单位载荷状态AC段段CB段段2)将上面各式代入位移公式分段积分计算将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段段CB段段设为矩形截面设为矩形截面 k=1.23）讨论）讨论比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比设材料的泊松比 ,由材料力学公式由材料力学公式 。设矩形截面的宽度为设矩形截面的宽度为b、高度为、高度为h，则有，则有代入上式代入上式PP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例例2 计算屋架顶点的竖向位移。计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB设单位载荷状态设单位载荷状态1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDCDE材料杆件lA钢筋砼钢CEAEEGABCDEFG求DVPPP4m3=12m3mABDC5P8PP=15/34/3000000000013P设单位载荷状态设单位载荷状态PP=1例例3：求图示曲杆（：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移圆弧）顶点的竖向位移。解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载虚拟荷载虚拟荷载3）位移公式为）位移公式为ds=Rddds钢筋混凝土结构钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001MN4001MQ2=MNARI 可见剪切变形和轴向变形可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略引起的位移不可忽略.2）实际荷载）实际荷载h101R如如2=MQGAREIkPl/2l/2EIABx1x2例例4：求图示等截面梁：求图示等截面梁B端转角。端转角。解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载m=12）MP 须分段写须分段写ql例例5：求图示等截面梁：求图示等截面梁A、B两端的两端的 相对端转角位移。相对端转角位移。AB解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载m=1m=12）EI积分常可用图形相乘来代替作业5-7（a），5-11