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定积分的概念定积分的概念(3)一.两个实例1.曲边梯形:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形y=f(x)ab0 xy怎样求面积呢？2 2 路程问题路程问题 把整段时间分割成若干小时间段，每小段把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程的精确值对于匀速运动，我们有公式对于匀速运动，我们有公式路程路程=速度速度X X时间时间解决变速运动的路程的基本思路解决变速运动的路程的基本思路（1 1）分割）分割（3 3）作和）作和（4 4）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值(2)(2)取点取点二、定积分的定义定义：设函数y=f(x)在区间a,b上有定义。在区间 a,b中任取分点将区间a,b分成n个小区间 ，其长度为如果不论对区间a,b采取何种分法及 如何选取，当n个小区间的长度最大的趋于零，即 时，和式（1）的极限存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积，并称此极限值为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作即（1）注意：注意：(1)利用极限的利用极限的“”的说法，将定积分的的说法，将定积分的 定义精确表述如下定义精确表述如下：是的全体原函数 是函数族是一个和式的极限 是一个确定的常数,而并规定：（5）曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值定积分的几何意义abxyooyabx几何意义几何意义 xyoA.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关 在上连续，则定积分的值4.中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2.及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为 与直线1.由曲线综合举例3.定积分应用例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1例2：解：xyf(x)=sinx1-1判断下列定积分的正、负号。例4 说明下列各式成立：1）2）.1）2）.例3例5 试用定积分表示下图中影阴部分的面积。y0 xy=f(x)y=g(x)ab例例6 6 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解(1)分割分割（2）取点取点（3）求和求和（4）求极限求极限例例7x1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的对定积分的补充规定对定积分的补充规定:三三.定积分的性质定积分的性质（可以推广到有限多个函数）（可以推广到有限多个函数）性质性质1 1性质性质2 2注意注意：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.性质性质3 3例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则证证性质性质4 4性质性质5 5证证推论推论(1)证证推论推论(2)(2)例1证证证证/证证（此性质说明，由被积函数在积分区间上的（此性质说明，由被积函数在积分区间上的最值，可用于估计积分值的大致范围）最值，可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：定积分的实质定积分的实质：和式的极限：和式的极限 定积分的思想方法：定积分的思想方法：求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限取点、求和取点、求和积零为整积零为整分割分割化整为零化整为零取极限取极限精确值精确值定积分定积分小结 作业P186 3(1)(3)(4).3 定积分的性质定积分的性质 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！39