2022年多元函数微分法及其应用习题及答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第八章 多元函数微分法及其应用A 1填空题21如zfx,y,在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2zfx ,y,就在 D 上,xyyxz2z；fxy在点x0, y0处可微的条件是z在点x0, y0处的xyyxz2函数偏导数存在；3函数zfx ,y在点x0, y0可微是zfx,y在点x0, y0处连续的条件；2求以下函数的定义域1zxy；2uarccosx2zy23求以下各极限1lim x 0y 0sinxy；2lim x 0y 03xy1； 3lim x 0y 01xcosx2x2y2xxy12y2y24设zxlnxy,求xz y及x3z ；2 y25求以下函数的偏导数名师归纳总结 1zarctgy；2zlnxy；3uexy2z 3；第 1 页,共 29 页x6设zuv2tcosu,ute,vln ,求全导数dz ；dt7设uexyz,xt,ysin ,zcos ,求du ；dt8曲线zx24y2,在点 2,4,5处的切线对于 x 轴的倾角是多少？y49求方程x2y2z21所确定的函数 z 的偏导数；a2b2c210设zye2xxsin2y,求全部二阶偏导数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11设zfx,y是由方程x精品资料欢迎下载z ,xz ；ylnz确定的隐函数,求zy12设 xy e ye x,求 dy ；dx213设 z f x , y 是由方程 e zz xy 30 确定的隐函数,求 z ,z ,z；x y x y14设 z ye x 2cos y,求全微分 dz ；15求函数 z ln 2 x 2y 2 在点 ,1 2 的全微分；2 216利用全微分求 .2 98 .4 01 的近似值；2 2 217求抛物面 z x y 与抛物柱面 y x 的交线上的点 P 1,1 2, 处的切线方程和平面方程；2 2 218求曲面 x y z 3 上点 P 2 , ,1 3 处的切平面方程和法线方程；4 1 919求曲线 x 4 ,y 2t,z 3t 上点 M 0 x 0 , y 0 , z 0,使在该点处曲线的切线平行3于平面 x 2 y z 6；2 220求函数 f x , y 4 x y x y 的极值；2 x 221求函数 f x , y e x y 2 y 的极值；22要建造一个容积为 10 立方米的无盖长方体贮水池,底面材料单价每平方米 20元,侧面材料单价每平方米8 元；问应如何设计尺寸,便利材料造价最省？ B 1求以下函数的定义域1zarcsinxy2xlnln10x24y2y；2uyx2y2y14x2221设fxy,yx2y2,求fx,fx,xy；x2设fx ,y2y,求fxy ,fx,y3求以下函数的极限名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载x,y是否存在？1lim xy1x22y22x2y2；2 limx 0y 0ex112y2sinex 2y24设fx ,yx4xy2,当x ,y 0 0,问limx 0y 0fy0 0,x2y；0,当x,y,xsinx2y5争论函数的连续性,其中fx ,yx2y6二元函数fx ,yx2xyy2,x ,0,0 ,0x2yy0 0,在点处：连续,偏导数存在；0,x,y0 0,连续,偏导数不存在；不连续,偏导数存在；不连续,偏导数不存在；名师归纳总结 7设z1x2yy,求z ,xz ；yf 具有连续的偏导第 3 页,共 29 页8设uf2x33y22z,求f ,x22 f ；x9设uf2x3,3y22,z,求f ,z2f；zx10设zxyfx2y2,x2y2, f 可微,求 dt ；11设fxy ,yz ,xz0,求z ,xz ；y12设zxyz0,求dzx yz1 11；13设zfrcos,rsin可微,求全微分 dz ；14设zfx,y是由方程fxz , yz0所确定的隐函数,其中数,求 dz,并由此求z 和 xz ；y15求zx2y2xy的偏导数；16设x2y2z01,求dx ,dzdy ；dzxyz2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 17设uexyz,求x3uz；精品资料欢迎下载,94 , 14方向的方向导数；y18求函数uxyz在点,1,52处沿从点,1,52到点在点M,12t2,z2t4在此 点的x19求函数u2,2沿xt,yz2x2y2切线方向上的方向导数；20求函数u6 x2z8y2在点 P 处沿方向 n 的方向导数；21判定题： 简洁说明理由 1fx,yx0,y0就是fx ,y在x0, y0处沿 y 轴的方向导数；l 的方向导数均存y2如fx ,y在x0, y0处的偏导数f ,yf 存在,就沿任一方向 y在；22证明曲面x2y2z24上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常333数；23证明：球面：yx2zy2z21上任意一点a ,b ,c处的法线都经过球心；24求椭球面3x22216上的一点,123,处的切平面与平面z0的交角；25设 u , v 都是 x , y , z 的函数, u , v的各偏导数都存在且连续,证明：26问函数uxy2 在P,1,12处沿什么方向的方向导最大,并求此方向导数的最大值；27求内接于椭球面x2y2z21的最大长方体的体积；ab2c228某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告,依据统计资料,销售收入 R 与 报 纸 广 告 费 x 及 电 视 广 告 费 y 单 位 ： 万 元 之 间 的 关 系 有 如 下 经 验 公 式 ：R1514x31y8xy2x210y2,在限定广告费为1.5 万元的情形下, 求相应的最优广告策略；名师归纳总结 29求函数fx,yexy的 n 阶麦克劳林公式,并写出余项；第 4 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 30利用函数fx,yxy精品资料欢迎下载111. 02的近似值；的 2 阶泰勒公式,运算 C 1证明lim x 0y 0xxyy20；,其中x,y在点00,邻域内连续,问 1x,y在22设fx ,y|xy|x,y处什么条件下,偏导数xf00,fy0 0,存在； 2x,y在什么条件下,fx,y在00,可微；3设 y f x , t 而 t 为由方程 x , y , t 0 所打算的函数,且 x , y , t 是可微的,试求 dy ；dx4设 z z x , y 由 z ln z y xe t 2dt 0 确定,求x 2ty；x y z u v 15从方程组 2 2 2 2 2 中求出 u ,v ,u x 2,v x 2；x y z u v 126设 z u x , y e ax by,且 u0,试确定常数 a , b ,使函数 z z x , y 能满意方x y2程：z z zz 0；x y x y7证明：旋转曲面 z f x 2y 2 f 0 上任一点处的法线与旋转轴相交；8试证曲面 x y z a a 0 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a ；9抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离；10设 x 轴正向到方向 l 的转角为,求函数fx ,yx2xyy2在点1,1沿方向 l 的方向导数,并分别确定转角,使这导数有 1最大值； 2最小值； 3等于 0；第八章 多元函数微分法及其应用A 1填空题名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 21如zfx,y精品资料欢迎下载2z,2z连续y,就在 D 上,在区域 D 上的两个混合偏导数xyyxz2z；fx ,y在点x 0, y0处可微的必要条件是zfx,在点x 0, y0处xyyxz2函数的偏导数存在；件；3函数zfx ,y在点x 0, y0x可微是zfx,y在点x0, y0处连续的充分条2求以下函数的定义域y0,x0y x 1zxyO 0,1 解：设定义域为 D ,由图 1 y0和xy0,即x2得Dx,y|x0,y0 ,2y,如图 1 所示2uarccosx2zy2解：设定义域为 D ,由x2y2,y0,即 x , y 不同时为零,且；x2zy21,即z2x2y2,得Dx,z|z2x2y2,x2y203求以下各极限名师归纳总结 1lim x 0y 0sinxysinxyy2lim x 0y 0xyxyxyxy xy11 1第 6 页,共 29 页x11解：原式lim x 0y 0解：原式lim x 0y 011 xy1xy100l i m x 0y 0xy112- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3lim x 0y 01xcosx2xy2x22y2精品资料欢迎下载2y22y2解：原式lim x 0y 02sin2yx2y22x24x2y2224设z1lim x 0y 0113z22x2y2xlnxy,求x3z及2yxy解：zlnxyxylnxy1xxy2zy1,x3z0,x2xyx2y2zx11,x3z2xyxyyyy25求以下函数的偏导数名师归纳总结 1zarctgy xyx2x2x2xyy2第 7 页,共 29 页解：z1x1y2xxx2y2y22x1yx类似地z1xy2yxy2x2zlnxylny11ln1x1xyzxlnx解：x2lnxyxln3u同理可证得：z1y2ylnxyexy2z3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：zexy2z3xxy2z3精品资料欢迎下载dz ；dty2z3exy2z3x6设uexy2zyxy2z32xyz3exy 2z 3y3xy2z2exy 2z 3uexy2z3zxy2z3zte,vln ,求全导数uv2tcosu,uz解：zuuv2tcosuv2tsinu,uzvuv2tcosu2 uv,zcosuvt依复合函数求导法就,全导数为dz z du z dv z dtdt u dt v dt t dt2 t 1v t s i n u e 2 uv c o s 1t2 t t 2 t tln t t sin e e e ln t c o st7设 u e xy z,x t,y sin ,z cos ,求 du ；dt解：du u dx u dy u dzdt x dt y dt z dtx x xe y z e c o s e s i n2 e t s i n2 28曲线 z x4 y,在点 2,4,5处的切线对于 x 轴的倾角是多少？y 4解：z 2 x x,z 1 tg,故；x 4 2 z 2 , 4 , 5 42 2 29求方程 x2 y2 z2 1 所确定的函数 z 的偏导数；a b c解：关于 x 求导,得到2x2zzx0,即zxc2xa2c2a2z关于 y 求导,有名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2y2zzy0,即zy精品资料欢迎下载c2y；b2c2b2z10设zye2xxsin2y,求全部二阶偏导数；解：先求一阶偏导数,得z22 yexsin2y,ze2x2xcos2yxy再求二阶偏导数,得2zFfxzx2ye2xsin2y42 yex,z ；yx2xyzy2ye2xsin2y2 e2x2cos2y,2zxyx2zxzye2x2xc o sy2 2 ex2c o sy,yxy2zyzy2 ex2 xc o sy4xs i n 2yy2y11设zx,y是由方程xlnz确定的隐函数,求z ,xzy解一：记x ,y,zxlnz,就zyF x1 ,zFyyz1,F zzx1xx2zFzzy2y2z1当0时,便得zF xz x22xzz,xFzz1名师归纳总结 得解二：（提示）直接对方程zlnFyy2zyz2z；第 9 页,共 29 页yFzxxxzz两边求偏导数,并明确z 是 x 、 y 的函数,即可zyz ,xz ；y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12设xyxey,精品资料ye欢迎下载z ,xz ,y2z；ex,求dy ；dx解：令F,yxyeyex,就Fxx,Fyxey,就dyF xye x；dxF yxey30确定的隐函数,求13设zfxy是由方程ezzxyxy解：方程两边对 x 求偏导数,有ezzzy30,即ez1zy30xxx解得z1y3zxey 求偏导数,解得类似地,方程两边对z3xy2y1ez再求二阶混合偏导数,得名师归纳总结 2zz3y21ezy3ezz,124第 10 页,共 29 页yzyyx1ez2把上述z 的结果代入,便得：y2z3y21ez23xy3ez；xy1ez14设zx ye2cosy,求全微分 dz ；解：由于z2xyex 2,zex 2siny,所以全微分为xydzzdxzdy2xyex2dxex2sinydy；xy15求函数zln2x2y2在点,12的全微分；解：z,1222xy2,122,z,1222yy2xx27yx27- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载y2yy所以dz2dx4dy；7716利用全微分求.2982.4012的近似值；解：设zx2y2,就全微分dzx2xy2x2 xy由近似关系zdz,得yxx2yy2x2y2x2xy2xx2y2上式中取x3,x.0 02,y4,y0.01,得40. 012.9824.01232422 33420.0232425.0 012.00084 . 996P1,1 2,处的切线方程和平因此,所求近似值2 . 9824 . 0124 . 996；17求抛物面zx2y2与抛物柱面yx2的交线上的点面方程；名师归纳总结 T解：交线方程yx2y2,只要取 x 作参数,得参数方程：第 11 页,共 29 页zx2xx,dz2x4x3,于是交线在点P1,1 2,处的切线向量为yx2,zx2x4,就有dx1,dy2x,dxdxdx,1,2 6；z2切线向量为x11y216法平面方程为x12y16z20,即x2y6z150；18求曲面x2y2z23上点P2,13处的切平面方程和法线方程；419解：记Fx,y,zx2y2z23,就419F xx,y ,zx,F yx ,y,z2y,Fzx,y,z2z29- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载于是曲面在点 P 处的法线向量为名师归纳总结 nFx2,3,1,Fy,2,13,Fz2 ,1 3,1 ,2,2第 12 页,共 29 页3从而,切平面方程为1x22y12z30,即x2y2z60,法线33方程为x12y1z3；22319求曲线x4 ,3y2t,z3t上点M0x 0,y0,z0,使在该点处曲线的切线平行于平面x2yz6；解：曲线在点M0x0,y0,z 0处的切线方程为xx0yy 0zz0xt0yt0zt0又切线与平面x2yz6平行,即切线的方向向量和平面的法向量垂直,应有xt01yt02zt010,即44t03 t20,得0t2033所以M 点的坐标为8,4,8；992720求函数fx,y4xyx2y2的极值；解：解方程组fxx ,y442 xy00,求得驻点2,2,由于Afxx2,220,fyx ,y2Bfxy2 .20,Cfyy2,22,ACB20,所以在点,22处,函数取得极大值,极大值为f2,29；21求函数fx,y2 exxy22y的极值；解 ： 解 方 程 组fxx ,ye2x2x2y204y10, 得 驻 点1,1； 由 于fyx ,ye2x2y22Afxxx ,y4e2xxy22y1,Bfxyxy4 e 2xy1,Cfyyx ,y2 e2x在 点1,1处,A2e0,B0,C2 ,ACB24e2,所以函数在点1,1处取得22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 微小值,微小值为f1,1e精品资料欢迎下载；2222要建造一个容积为10 立方米的无盖长方体贮水池,底面材料单价每平方米20元,侧面材料单价每平方米8 元；问应如何设计尺寸,便利材料造价最省？解：设水池的长为 x 米,宽为 y 米,高为 z 米,就材料造价为u 20 xy 16 xz x y, x 0,y 0,z 0 ,<* 1> 且 x , y , z 必需满意xyz10,<* 2> y20,于是问题就成从<* 2>解出z10 代入<* 1>,得 xyu20 xy160x1,x0,y为求 u 当x0,y0时的最小值,由极值的必要条件,有u20y160;0xx2,y2,z5时,u20 x160.0yy2解此方程组得xy2；据题意存在最小造价, 而x2,yx是唯独驻点, 所以当x2水池的材料造最小；B 1求以下函数的定义域名师归纳总结 y21zarcsinxy2arcsinlnln10x24y2214x2y21,第 13 页,共 29 页解：设定义域 D ；使xy2有意义的区域为：xy21,即1xy21, 使lnln10x224y2有 意 义 的 区 域 为 ：10xy1, 即x24y21；|y21xy2,1x24y21；如图 2 99故定义域Dx ,y99- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2精品资料欢迎下载xy210,且4x2y20,即2ux2xy2y1422解：设定义域为 D ；由根式性质可知,必需x242y2xy210或x2xy210解得：42y2042y20y Dx ,y|1x2y24；如图 3 y 1.5 3 x 0 x 图 2 21设fxy,y0 1 y2,求fx,y,fx2y,xy；0 xy. x2xxyu,就得x1uv解：设yvyxy2x4yuvx1v由此fu ,v1uv2uv2u21vv1v1从而fx ,yx21yy1fxy ,xyxy21xy1xy2设fx ,yx2y,求fxy ,fx,y解：fxy ,fx ,yxy2fx,yxy23求以下函数的极限名师归纳总结 1lim xy1x22y22x2y2第 14 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：原式x21lim xy1x2x22y2x 2精品资料e4欢迎下载y2422 lim x 0y 0ey2sine1y 21名师归纳总结 解：原式limx 0y 0sinex 2y21是否存在？第 15 页,共 29 页ex1y224设fx ,yx4xy,当x ,y 0 0,问lim x 0y 0fx,yy20,当x,y0 0,fx ,y不存在；解：取沿直线yx的途径,当Px, y0,0时,有lim y xx 0fx ,ylim y xx 0xxx2lim x 02 x