2022年不等式与不等式组知识点与练习.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一、学问结构图名师总结优秀学问点不等式与不等式组不等式不等式相关概念不等式的解 不等式的解集一元一次不等式不等式与不等式组不等式的性质性质1法性质2一元一次不等式组性质3不等式组一元一次不等式组的解一元一次不等式组与实际问题二、学问要点（一、） 不等式的概念 1 、不等式：一般地,用不等符号（“ ” “ ” “ ” “ ” ）表 示大小关系的式子,叫做不等式,用“ ” 表示不等关系的式子也是不等式；不等号主要包括： 、 、 、 、 ；2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值,叫做不等式 的解；3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的全部解,组成这个不 等式的解集（即未知数的取值范畴）；4、解不等式：求不等式的解集的过程,叫做解不等式；5、不等式的解集可以在数轴上表示,分三步进行： 画数轴 定界点定方向； 规律：用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律：大于向右画,小于向左画,等于用实心圆点,不等于用空心圆圈；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点（二、）不等式的基本性质不等式性质 1：不等式的两边 同时加上 或减去 同一个数 或式子 ,不等号的方向 不变 ；用字母表示为 ：假如 a b,那么 a c b c；假如 a b,那么 a c b c；不等式的 性质 2：不等式的两边 同时乘以 或除以 同一个 正数 ,不等号的方向 不变 ；用字母表示为 ： 假如 a b ,c 0,那么 ac bc 或 ac bc ；假如 a b , c 0,不等号那么 ac bc 或 ac bc ；不等式的 性质 3：不等式的两边 同时乘以 或除以 同一个 负数 ,的方向 转变 ；用字母表示为 ： 假如ab ,c0,那么acbc 或axb ；假如ab ,c0,cc那么acbc 或ab ；cca 或 xa 的形解不等式思想就是要将不等式逐步转化为式；（注：传递性： 如ab, bc, 就ac. 利用不等式的基本性质可以解简洁的不等式）（三、）一元一次不等式细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点1、一元一次不等式的概念：一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一 元一次不等式；2、任何一个一元一次不等式都可以化为最简形式：ax 或 ax （a 0）的形式；3、解一元一次不等式的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项； 系数化为 1（特殊要留意不等号方向转变的问题）；这与解一元一次方程类似, 在解时要依据一元一次不等式的详细情形敏捷挑选步骤；（四、）一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组；不等式组中含有 一个未知数 ,并且所含 未知数的项的次数都是 1；2、使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值 叫不等式组的解,一个不等式组的全部的解组成的集合,叫这个不等式组的解集解 简称不等式组的解 ；3、不等式组的解集可以 在数轴上 表示出来；求不等式组的解集的过程叫解不等式组 ；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集；5、一元一次不等式组的解法 : 解一元一次不等式组的一般步骤：分别求出这个不等式组中各个不等式的解集； 利用数轴表示出各个不等式的解集；找出公共部分；用不等式表示出这个不等式组的解集；假如这些不等式的解集的没有公共部分,就这个不等式组无解 此时也称这个不等式组的 解集为空集 ；6、求出各个不等式的解集后,确定不等式组的解的口诀：大大取大,小小取小,大小小大取中间,大大小小无处找；（五、）一元一次不等式（组）的应用一般方法步骤：（1）审：分析题意,找出不等关系；（2）设：设未知数；（3）列：列出不等式组；（4）解：解不等式组；（5）检验：从不等式组的解集中找出符合题意的答案；（6）答：写出问题答案；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点1、不等式与不等式组不等式：用符号, =,号连接的式子叫不等式；不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反；2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的全部解,组成这个不等式的解集；求不等式解集的过程叫做解不等式；3、一元一次不等式：左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 1 的不等式 叫一元一次不等式；4、一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不 等式组；一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不 等式组的解集；求不等式组解集的过程,叫做解不等式组；5、一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号,移项时候要变号,同类项合并好,再把系数来除掉,两边 除（以）负数时,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点不等号改向别忘了6、一元一次不等式组的解集：大大取较大,小小取较小,小大、大小取中间,小小、大大无处找7、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集通常有如下四种类型（其中 ab）不等式组 数轴表示 解集 顺口溜x>a xb 大大取较大x>b x<a xa 小小取较小x<b x>a 大小、小大axb x<b 无解中间找x<a 大大、小小x>b 解不了练习题一1已知不等式3x-a0 的正整数解恰是1,2,3,就 a 的取值范畴是； 第 6 页,共 19 页 2已知关于x 的不等式组xa01无解,就 a 的取值范畴是52 x2x40；3不等式组1x20的整数解为2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4假如关于名师总结优秀学问点a 的值为；x 的不等式（ a-1）x<a+5 和 2x<4 的解集相同,就x 4 x5已 知关于 x 的 不等 式组 3 2 1的 解 集为 x 2, 那么 a 的 取值 范畴x a 0是；6当 x 时,代数式 2x 5 的值不大于零7.如 x <,就 2x 2 （用“>” “=” 或“ ” 号填空）8.不等式 7 2 x >,的正整数解是9. 不等式 x > a 10 的解集为 x <,就 ax a10.如 a >b > c ,就不等式组 x b 的解集是x c11.如不等式组 2 x a 1 的解集是 < x <,就 a 1 b 1 的值为x 2 b 312.有解集 < x <的不等式组是（写出一个即可）13.一罐饮料净重约为 g,罐上注有“ 蛋白质含量 0 . 6” 其中蛋白质的含量为 _ g 14. 如不等式组 x a 的解集为 x >,就 a 的取值范畴是x 3练习题二一、 判定题（每题1 分,共 6 分）2（） 第 7 页,共 19 页 1、 ab,得 ambm 2、 由 a3,得 a3 2（）3、 x = 2是不等式 x34 的解（）4、 由1 1,得2a a 2（）5、 假如 ab,c 0,就 ac2 bc（）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6、 假如 ab0,就a 1 b名师总结优秀学问点（）二、 填空题（每题 2 分,共 34 分）1、如 ab,用“ ” 号或“ ” 号填空：a 5 b5；ab ； 12a 12b；6a 6b；2 22、x 与 3 的和不小于 6,用不等式表示为；3、当 x 时,代数式 2x 3 的值是正数；4、代数式 1 2x 的不大于 8x 的值,那么 x 的正整数解是；4 25、假如 x7 5,就 x ；假如x 0,那么 x ；26、不等式 axb 的解集是 xb ,就 a 的取值范畴是；a7、一个长方形的长为 x 米,宽为 50 米,假如它的周长不小于 280 米,那么 x 应满意的不等式为；练习题三一、挑选题1以下不等式组中,是一元一次不等式组的是（0,x）2,C 3 x20,30 第 8 页,共 19 页 A x2,B x1x3y20x2x3 x20,B的解集是 3<x<2 Dx11x2以下说法正确选项（）A不等式组x3,的解集是 5<x<3 x5x3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Cx2,的解集是 x=2 名师总结优秀学问点x3,的解集是 x 3Dx2x33不等式组x2 , 3的最小整数解为（）x482xA 1 B0 C1 D 4 4在平面直角坐标系中,点P（2x6,x5）在第四象限,就x 的取值范畴是（A 3<x<5 B 3<x<5 C 5<x<3 D 5<x<3 5不等式组x20,的解集是（）x30A x>2 Bx<3 C2<x<3 D无解二、填空题6如不等式组x2,有解,就 m 的取值范畴是 _xm7已知三角形三边的长分别为2,3 和 a,就 a 的取值范畴是 _8将一筐橘子分给如干个儿童,假如每人分 4 个橘子,就剩下 9 个橘子； .假如每人分6 个橘子,就最终一个儿童分得的橘子数将少于 3 个,由以上可推出,共有 _个儿童,分 _个橘子9如不等式组xax2,的解集是 1<x<1,就（ a+b）2006=_b20三、解答题10解不等式组细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2x2x4, 1名师总结优秀学问点2x31,（1）x3 12 x 0 2（2）x122 xx m 1,11如不等式组 无解,求 m 的取值范畴x 2 m 152x 1,12、如关于 x 的不等式组 无解,就 a 的取值范畴是 _x a 2xa0,13、已知关于 x 的不等式组 的整数解共有 5 个,就 a 的取值范畴是32x 1_易错点分析：易错点 1：误认为一元一次不等式组的“ 公共部分” 就是两个数之间的部分例 1 解不等式组x 10, x 202x1错解： 由,得 x1,由,得 x 2,所以不等式组的解集为错因剖析： 解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分此题错在对“ 公共部分” 的懂得上,误认为两个数之间的部分为“ 公共部分”（即解集） 实际上,这两部分没有“ 公共部分” ,也就是说此不等式组无解,而所谓“ 公共部分” 的解是指“ 两线重叠” 的 部分此外,有些同学可能会受到解题次序的影响,把解集表示成 1x 2 或 2x1 等,这些都是错误的正解： 由,得 x1由,得 x 2,所以此不等式组无解易错点 2：误认为“ 同向解集哪个表示范畴大就取哪个” 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点5x12 63x, 例 2 解不等式组 4x 35221 x 错解： 解不等式,得 x3 4解不等式,得 x5由于 x3 4的范畴较大,所以不 等式组的解集为 x3 4错因剖析： 本例错解中,由于对不等式组的解集懂得得不深刻,在依据两个解集的范畴确定不等式组的解集时,形成错误的熟识其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时,可归纳为以下四种基本类型（设ab）,x a,x b, xa,xb, xa,xb, xa,xb利用数可确定它们的解集分别为x b, xa, axb,空集也可以用下面的口诀来帮忙记忆,“ 同大取大,同小取小,大小小大中间取,大大小小取不 了（空集）” 正解： 解不等式,得 x3 4解不等式,得 x5所以不等式组的解集为 x5易错点 3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法例 3 解不等式组x 22x311,x 73x 22x33错解： 由,得2x14,即 x7,所以不等式组的解集为错因剖析： 本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆,误 将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中产生此类错误的根本缘由是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点,（1）解二 第 11 页,共 19 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点元一次方程组时,两个方程不是单独存在的；（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集,可归纳为“ 独立解,集中到” ,即独立地解不等式组中的每一个不等式 组中的每一个不等式,在解的过程中,各不等式彼此不发生关系,“ 组” 的作用在最 后,即每一个不等式的解集都要求出来后,再利用数轴从“ 公共部分” 的角度去求“ 组” 的解集正解： 由不等式,得3 2x 17,即 x34 3由不等式,得 7 2x 3,即 x6 7所以原不等式组的解集为34 3x 6 7易错点 4：在去分母时,漏乘常数项例 4 解不等式组2x31,x1 22 x错解： 由,得 x2在 x212 x 的两边同乘有 x1 3,所以原不等式组的解集为 2x1 32,得 x12 2x于是错因剖析： 解一元一次不等式组,需要先求出每一个不等式的解,最终找出它们 的公共部分对不等式进行变形时,肯定要使用同解变形,不然就简洁出错本例的 解答过程中没有把握不等式的运算性质,在去分母时漏乘了中间的一项此外,仍要 留意在表示“ 大小小大中间取” 这类不等式的解集时应按一般次序,把小的那个数放 在前面,大的那个数放在后面,用“ ” 连接正解： 由,得 x2在x1 22 x 的两边同乘 2,得 x1 4 2x于是有x 1,所以原不等式组的解集为1x2易错点 5：忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号,导致不等式方向出错细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点例 5 解关于 x 的不等式（1 2a）x12a错解： 去分母,得 12ax212a将不等式两边同时除以（12a）,得x2错因剖析： 在利用不等式的性质解不等式时,假如不等式两边同乘（或除以） 的数是含字母的式子,应留意争论含字母的式子的符号本例中不等式两边同乘 或除以 的12a,在不确定取值符号的情形下进行约分,所以出错正解： 将不等式变形,得 12ax212a（1）当 12a0 时,即 a1 2时, x2；（2）当 12a0 时,即 a1 2时,不等式无解；（3）当 12a0 时,即 a1 2时, x2例 6 假如关于 x 的不等式 2abxa5b0 的解集是 x10 7,就关于 x 的不等式ax b 的解集是 _错解： 由于不等式（ 2ab）xa5b0 的解集是 2ab7,5ba10,解得a5,从而知 axb 的解集是 x3 5b3x10 7,所以 5ba 2ab10 7,就有错因剖析： 此题错因有两个,一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号 方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有依据解集的情形确定字母系数的取值范畴,所以在解题时错误得出2ab7,解得a5,从而错误得到axb 的解集 第 13 页,共 19 页 5ba10,b3是 x3 5细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -正解： 由不等式（名师总结优秀学问点x10 7,得2ab 0,解得2ab）xa5b0 的解集是2ab 10 7,a0,a3 5所以 ax b 的解集是 x3 5易错点 6：查找待定字母的取值范畴时易漏特殊情形例7如 关 于x的 不 等 式 组52x 1,无 解 , 就a的 取 值 范 围 是xa2_错解： 由52x 1,得x 3,又由于不等式组无解,所以a 的取值范畴是axa0,x a3错因剖析： 由已知不等式的解集确定不等式组的解集时,可按“ 同大取大,同小 取小,大小小大中间取,大大小小取不了” 的基本规律求解,但当已知不等式组的解 集而求不等式的解集中待定字母取值范畴时就不能完全套用此规律,仍应考虑特例,即 a3,有 x3 及 x3,而此时不等式组也是无解的因此,此题错在没有考虑待 定字母的取值范畴的特殊情形正解： 由52x 1,得x 3,又由于不等式组无解,所以a 的取值范畴是axa0x a3例 8已知关于x 的不等式组xa0,的整数解共有5 个,就a 的取值范畴是32x 1_错解： 由xa0,解得x a,又由于原不等式组的整数解共有5 个,所以 ax32x 1x22,这 5 个整数解为 3, 2, 1,0,1,从而有 a 3或 a 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点错因剖析： 此题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解上述解法错在忽视ax2 中有 5 个整数解时, a 虽不唯独,但也有肯定的限制, a 的取值范畴在 3 与 4 之间,其中包括3,但不应包括 4,所以错解在确定 a 的取值范畴时扩大明白的范畴xa0,x a,正解： 由 解得 又由于原不等式组的整数解共有 5 个,所以 ax32x 1 x22又知这 5 个整数解为 3, 2, 1,0,1故 a 的取值范畴是 4a 3总之,对于解一元一次不等式（组）问题,我们要深刻领悟一元一次不等式（组）的基础学问,熟识这6 个易错点,坚固地把握一元一次不等式（组） 的解法和步骤,从而远离解一元一次不等式（组）的错误深潭模拟试卷一、挑选题（共8 小题,每道题4 分,满分 32 分）（）1（2002.昆明）将不等式组的解集在数轴上表示,正确选项ABCx 的不等式Da 的值等于2（ 2002.重庆）已知,关于2x a 3 的解集如下列图,就（）B1 C 1 D2 第 15 页,共 19 页 细心整理归纳 精选学习资料 A0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3（ 2004.日照）已知关于名师总结优秀学问点）x 的不等式组无解,就 a 的取值范畴是（Aa 1 B a2 C1a2 Da 1,或 a2 4不等式 axa 的解集为 x1,就 a 的取值范畴是（）Aa0 Ba0 Ca0 Da05假如 mn0,那么以下结论不正确选项（）Am 9n 9 B m n CD6关于 x 的方程 5x+12=4a 的解都是负数,就a 的取值范畴（）Aa3 Ba 3 ）Ca3 Da 3 7如 |3x 2|=2 3x,就（Ax=BxCxDx1200 元,后来由于该商品8（ 2022.菏泽）某种商品的进价为800 元,出售时标价为积压,商店预备打折销售,但要保证利润率不低于 5%,就至多可打（）A6 折 B7 折 C8 折 D9 折二、填空题（共 9 小题,每道题 3 分,满分 27 分）9已知关于x 的不等式组的整数解有5 个,就a 的取值范畴是_ 第 16 页,共 19 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -10某商品的售价是名师总结优秀学问点10%20%,设这种商品的进价为x150 元,这种商品可获利润元,就 x 的值范畴是_11满意 x 53x+1 的 x 的最小整数是12假如三个连续自然数的和不大于9,那么这样自然数共有_组13 已 知2x y=0 且x5 y, 就x , y 的 取 值 范 围 分 别 是_；_axb 的解集是_14如 a 0,就不等式15如不等式组 无解,就 m 的取值范畴是_的整数解为_16不等式组17当 a0 时,不等式组的解集是_三、解答题（共 7 小题,满分 61 分）18解不等式,并把解集在数轴上表示出来细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点19求不等式组 的整数解20代数式的值是否能同时大于代数式2x+3 和 1 x 的值？说明理由21如不等式5（x 2）+86（x 1）+7 的最小整数解是方程2x ax=3 的解,求的值22. （2001.陕西）某城市的一种出租车起步价为10 元（即行驶 5 千米以内都需付款10 元车费） ,达到或超过5 千米后,每增加1 千米加价 1.2 元（不足 1 千米按 1 千米计 第 18 页,共 19 页 - - - - - - - - - 算）,现某人乘这种出租车有甲地到乙地,支付车费17.2 元求甲、乙两地的路程细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -细心整理归纳 精选学习资料 名师总结优秀学问点 第 19 页,共 19 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -