2022年七年级数学一元一次方程人教实验版知识精讲.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -七年级数学一元一次方程（二）人教试验版【本讲训练信息 】一. 教学内容：一元一次方程（二）列方程解应用题,是中学数学的重要内容之一；很多实际问题都归结为解一种方程或 方程组,所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际,解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题,可以培育我们分析问题,解决问题的才能；因此我们要努力学 好这部分学问；列方程解应用题的主要步骤：1. 仔细审题,懂得题意,弄清题目中的数量关系,找出其中的等量关系；2. 用字母表示题目中的未知数,并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数 式；3. 利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（留意所使用的单位肯定要统一）；4. 求出所列方程的解；5. 检验所求的解是否使方程成立,又能使应用题有意义,并写出答案；【学习提示】一. 数字问题 ：（1）要搞清晰数的表示方法：一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为 c（其中 a、b、 c 均为整数,且 100a10b c；1a9, 0 b9, 0 c 9）就这个三位数表示为：（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大 1；偶数用2N表示,连续的偶数用 2N2 或 2N2 表示；奇数用 2N1 或 2N1 表示；例 1. 一个三位数,三个数位上的数字之和是 17,百位上的数比十位上的数大 7,个位上的数是十位上的数的 3 倍,求这个三位数 分析 由已知条件给出了百位和个位上的数的关系,如设十位上的数为 x,就百位上的数为 X 7,个位上的数是 3X,等量关系为三个数位上的数字和为 17；解： 设这个三位数十位上的数为 X,就百位上的数为 X7,个位上的数是 3X XX73X17 解得 X2 X79,3X6 答：这个三位数是 926 例 2. 一个两位数,个位上的数是十位上的数的2 倍,假如把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大 36,求原先的两位数等量关系：原两位数36对调后新两位数解： 设十位上的数字 X,就个位上的数是 2X,10× 2XX（ 10X2X） 36 解得 X4,2X8,答：原先的两位数是 48；二. 工程问题 ：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量工作效率× 工作时间细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -常常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位 1；例 3. 一件工作,甲独作 10 天完成,乙独作 8 天完成,两人合作几天完成？ 分析 甲独作 10 天完成,说明的他的工作效率是 1/10 ,乙的工作效率是 1/8 等量关系是：甲乙合作的效率× 合作的时间1 解： 设合作 X 天完成（1/10 1/8 ）X1 解得 X40/9 答：两人合作 40/9 天完成例 4. 一件工程,甲独做需 15 天完成,乙独做需 12 天完成,现先由甲、乙合作 3 天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙仍要几天才能完成全部工程？ 分析 设工程总量为单位1,等量关系为：甲完成工作量乙完成工作量工作总量；解：设乙仍需 x 天完成全部工程, 设工作总量为单位 1,由题意得, × 31,解这个方程,1 12155x60 5x 33 x 6答：乙仍需 6 天才能完成全部工程；例 5. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8 小时可注满水池,单独开丙管 9 小时可将满池水排空,如先将甲、乙管同时开放 2 小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池？ 分析 等量关系为：甲注水量乙注水量丙排水量1；解：设打开丙管后 x 小时可注满水池,由题意得, x 2 1 解这个方程,x 2 1 21x 428x72 13x 30 x 22小时可注满水池；答：打开丙管后三. 行程问题： 解题指导 （1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程速度× 时间；（2）基本类型有 1 ）相遇问题； 2 ）追及问题；常见的仍有：相背而行；行船问题；环形跑道问题；（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,一般情形下问题就能迎刃而解；并且仍常常借助画草图来分析,懂得行程问题；例 6. 甲、乙两站相距480 公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90 公里,一列快车从乙 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - 站开出,每小时行140 公里；（1）慢车先开出1 小时,快车再开； 两车相向而行； 问快车开出多少小时后两车相遇？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距 600 公里？（3）两车同时开出, 慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600 公里？（4）两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出 1 小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要懂得清晰相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程；故可结合图形分析；（1）分析： 相遇问题,画图表示为：甲 乙等量关系是：慢车走的路程快车走的路程480 公里；解： 设快车开出 x 小时后两车相遇,由题意得,140x90x 1 480 解这个方程, 230x390 x 1答：快车开出1小时两车相遇分析： 相背而行,画图表示为：600 甲 乙等量关系是：两车所走的路程和480 公里 600 公里；解： 设 x 小时后两车相距 600 公里,由题意得, 140 90x 480600 解这个方程, 230x 120 x 答：小时后两车相距600 公里；（3）分析： 等量关系为：快车所走路程慢车所走路程480 公里 600 公里；解： 设 x 小时后两车相距600 公里,由题意得,140 90x 480600 50x120 x 2.4 答： 2.4 小时后两车相距 600 公里；分析： 追及问题,画图表示为：甲 乙等量关系为：快车的路程慢车走的路程480 公里；解： 设 x 小时后快车追上慢车；由题意得, 140x 90x480 解这个方程, 50x480 x 9.6 答： 9.6 小时后快车追上慢车；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -分析： 追及问题,等量关系为：快车的路程慢车走的路程480 公里；解： 设快车开出 x 小时后追上慢车；由题意得,140x90x 1 480 50x570 x 11.4 答：快车开出 11.4 小时后追上慢车；例 7. 甲乙两人在同一道路上从相距 5 千米的 A、B两地同向而行,甲的速度为 5 千米 /小时, 乙的速度为 3 千米 / 小时, 甲带着一只狗, 当甲追乙时, 狗先追上乙, 再返回遇上甲,再返回追上乙,依次反复,直至甲追上乙为止,已知狗的速度为 中,狗跑的总路程是多少？15 千米 / 小时,求此过程 分析 追击问题,不能直接求出狗的总路程,但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题；狗跑的总路程它的速度× 时间,而它用的总时间就是甲追上乙的时间解： 设甲用 X 小时追上乙,依据题意列方程 5X 3X 5 解得 X2.5 ,狗的总路程：15× 2.5 37.5 答：狗的总路程是 37.5 千米；例 8. 某船从 A 地顺流而下到达 B 地,然后逆流返回,到达 A、B两地之间的 C地,一共航行了 7 小时,已知此船在静水中的速度为 8 千米 / 时,水流速度为 2 千米 / 时； A、C两地之间的路程为 10 千米,求 A、B两地之间的路程； 分析 这属于行船问题,这类问题中要弄清：（1）顺水速度船在静水中的速度水流速度；（2）逆水速度船在静水中的速度水流速度；相等关系为：顺流航行的时间逆流航行的时间 7 小时；解： 设 A、B 两码头之间的航程为x 千米,就B、C间的航程为 x 10 千米,由题意得, X/ （82） （ X10）/ （82） 7 解这个方程, X/10 （ X10）/6 7, x 32.5 答： A、 B 两地之间的路程为 32.5 千米；四. 利润赢亏问题1）销售问题中常显现的量有：进价、售价、标价、利润等2）有关关系式：商品利润商品售价商品进价商品标价× 折扣率商品进价商品利润率商品利润 / 商品进价商品售价商品标价× 折扣率例 9. 某商店开张,为了吸引顾客,全部商品一律按八折优惠出售,已知某种皮鞋进价 60元一双,八折出售后商家获利润率为40%,问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 分析 通过列表分析已知条件,找到等量关系式细心整理归纳 精选学习资料 进价折扣率标价优惠价利润率 第 4 页,共 10 页 60 元8 折x 元80%x 40% 等量关系：商品利润率商品利润/ 商品进价解： 设标价是x 元, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -80%x604060 100解之： x105 优惠价为 80%x8010584（元）8 折优惠卖出,结果每件仍获100例 10.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以利 15 元,这种服装每件的进价是多少？ 分析 探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为X 元利润进价折扣率标价优惠价X 元8 折（1 40%）X元80%（140%）X 15 元等量关系：（利润折扣后价格进价）折扣后价格进价15 解： 设进价为X元, 80%X（140%） X15,X125 答：进价是125 元；五. 储蓄问题1）顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率；利息的 20%付利息税2）利息本金× 利率× 期数本息和本金利息利息税利息× 税率（20%）例 11. 某同学把 250 元钱存入银行,整存整取,存期为半年；半年后共得本息和 252.7元,求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税） 分析 等量关系：本息和本金× （1利率）解： 设半年期的实际利率为 X,250（1X） 252.7 X0.0108 所以年利率为 0.0108 × 20.0216 答：银行的年利率是 2.16% 例 12. 为了预备 6 年后小明上高校的学费 下面有三种训练储蓄方式：1）直接存入一个 6 年期；20000 元,他的父亲现在就参与了训练储蓄,2）先存入一个三年期,3 年后将本息和自动转存一个三年期；3）先存入一个一年期的,后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种训练储蓄方式开头存入的本金比较少？ 分析 这种比较几种方案哪种合理的题目,我们可以分别运算出每种训练储蓄的本金是多少,再进行比较；细心整理归纳 精选学习资料 解： 1）设存入一个6 年的本金是X元 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -X（16× 2.88%） 20000,X17053 2）设存入两个三年期开头的本金为 Y元,Y（12.7%× 3）（ 12.7%× 3） 20000,X17115 3）设存入一年期本金为 Z 元 ,Z（12.25%）6 20000,Z17894 所以存入一个 6 年期的本金最少；六. 日历中的方程例 13. 1）在一份日历中, 任意框出一个竖列上相邻的四个数,假如框出的四个数的和为 58,这四天分别是几号？观看他们之间是什么关系？2）假如用一个正方形所圈出的4 个数的和为76,这四天分别是几号？ 分析 观看、分析四个数的关系,设法用一个未知数圈出的四个数解： 1）设竖列的四个数中最小的一个是X,其余三数分别为X7, X14,X21 XX7X 14X 2158,X4；所以这四个数是4 号, 11 号, 18 号, 25 号2）设四个数中最大的一个数Y,其余三个数是Y1,Y7,Y8 YY1Y 7Y876,Y23,所以这四个数是15、16、22、23 留意： 虽然我们分了几种类型对应用题进行了讨论,但实际生活中的问题是千变万化 的,远不止这几类问题；因此我们要想学好列方程解应用题,就要学会观看事物,关怀日 常生产生活中的各种问题,如市场经济问题等等,要会详细情形详细分析,敏捷运用所学 学问,仔细审题,适当设元,查找等量关系,从而列出方程,解出方程,使问题得解；【模拟试题】 （答题时间： 40 分钟）1. 一个三位数,它的个位上的数比百位上的数的3 倍大 1,它的十位上的数比百位上的数的 4 倍小 3,假如把这个三位数的十位上的数与百位上的数对换,得到的三位数比原先的三位数大 270,求原先的三位数；2. 一个四位数,左边第一位数字是 数少 864,求原先的数；7,如把这个数字调到末位,得到的新数比原先四位3. 一件工作,甲独作20 小时完成,乙独作12 小时完成,现在先由甲独作4 小时,剩下的部分由甲乙合作,剩下的部分需几小时完成？4. 一轮船从重庆到上海要5 昼夜,而从上海到重庆要7 个昼夜,那么有一竹排从重庆顺流漂到上海要多少天？5. 一个水池共有 A、B 两个进水管和一个排水管 C,单开 A 管 6 小时注满水池,单开 B管 10 小时注满全池,单开 C管 9 小时把水池中的水排完；如先同时打开 A、 B两管,向空池内注水, 2.5 小时后,打开 C管,就打开 C管几小时后可将水池中注满水？设 X 小时以后可以注满,6. 甲乙两站之间的路程为450 千米,一列慢车从甲站开出,每小时行驶65 千米,一列快车从乙站开出,每小时行驶85 千米（1）两车同时开出相向而行,几小时相遇？（2）快车先开出30 分钟后,两车相向而行,慢车行驶几小时两车相遇？B 地到 A 地,小李7. A、B两地的路程为100 千米,小王骑车从A 地到 B地,小李跑步从动身三个半小时后,小王才动身,已知小王骑车的速度为 为 8 千米 / 小时,问两人各走几小时相遇？10 千米 / 小时,小李跑步的速度细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -8. 一队同学去校外郊游,以5 千米 / 小时的速度行进,走了18 分后学校将一重要通知传给队长,通讯员从学校动身,骑车以 队伍？14 千米 / 小时的速度按原路追上去,几小时可以追上9. 一列快车长200 米,速度为 50 千米 / 小时, 一列慢车长250 米,速度为 30 千米 / 小时,两车从相遇到分开共需几秒？10. 某商店开张,为了吸引顾客,全部商品一律按8 折优惠出售,已知某种皮鞋进价是60 元, 8 折以后商家仍获利利润率为 40%,这双皮鞋的标价是多少？优惠价是多少？11. 某商店先在甲地以每件 15 元的价格购进商品 10 件,后来又以每件 12.5 元的价格在乙地购进同样的商品 40 件,假如商店销售这些商品时,获得 12%利润率,商品售价应定为多少元？12. 商品的进价为200 元,标价为300 元,折价销售时的利润率为5%,商品打了几折？13. 一年定期的存款月利率是0.945%,现存入 100 元,求明年的今日得到的本息和；14. 某文艺团体为“ 期望工程” 募捐组织了一场义演,共售出 1000 张票,募得票款 6950元,成人票每张 8 元,同学票每张 5 元,问成人票和同学票各卖了多少张？期望工程委员会打算把募捐款作为助学金发给山区的65 名同学, 其中每个中同学的助学金是 150 元,每个学校生的助学金为 80 元,问发给中同学和学校生各多少人？15. 将如干支铅笔分给几个同学,如每人 5 支仍剩 3 支；如每人 7 支仍差 5 支,问有多少同学,有多少铅笔？16. 有一些分别标有 3、6、9、12, 的卡片,后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大 3,小明拿到了相邻的 3 张卡片,且这些卡片上的数字之和是 342,（1）小明拿到了哪三张卡片？（2）小明拿到相邻的3 张卡片上的数字和能是95 吗？17. 在 3 点钟和 4 点钟之间,时钟上的分针和时针什么时候重合？18. 某厂第一月和其次月共生产化肥848 吨,已知增长率为12%,求一月的产量是多少吨？试题答案1. 设百位上的数字为x,就个位上的数字为3x1,十位上的数字为4x3；原三位数表示为： 100x104x 3 3x1；交换后的三位数表示为：100（4x3） 10x3x 1；依据题意得方程：100（4x3） 10x3x1100x 104x 3 3x 1270；化简得；270 x 540,解方程得； x2；所以,原三位数为 257；2. 设后三个数字组成的三位数 x,就原先的三位数表示为 7000x；新的三位数表示为10x7；依据题意得方程；7681；7000 x10x7864；解方程得； x681；所以原三位数是3. 设剩余部分需要 x 小时完成,甲每天完成 1 ,乙每天完成 1 ；依据题意得方程；20 124 x x1；解方程得； x6,所以,剩余部分需要 6 小时完成；20 20 124. 设竹排从重庆顺流漂到上海要用 x 天,就竹排每天漂流总路程的 1/x ,所以轮船在静水中每天航行总路程的比可表示为 解方程得； x35 天；1/5 1/x 或 1/7 1/x ；得方程； 1/5 1/x 1/7 1/x ；5. 设打开 C管 x 小时后可将水池中注满水,就 A 水管每小时住满全池的 1/6 ,B 水管每小时住满全池的 1/10 ,C水管每小时放掉满全池的 1/9 ；依据题意得方程；（2.5/6 ）（2.5/10 ）x/6 x/10 x/9 1 化简得； 6015x9x10x90,解得； x15/7 （小时）；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6. （1）设两车同时开出相向而行,x 小时相遇,依据题意得方程；65x 85x 450,解方程得； x 3（小时）；（2）设快车先开出30 分钟后,两车相向而行,慢车行驶x 小时两车相遇,依据题意得方程； 65x85× 0.5 85x450,解方程得； x 163/20 （小时）；7. 设小王动身x 小时后相遇,依据题意得方程；10x8（x 3.5 ） 100 解得； x 4（小时）；8. 设通讯员 x 小时可追上队伍,依据题意得方程；14x5×18 5x,解方程得； x1/6 60（小时）；9. 设两车从相遇到分开共需x 秒,快车速度为50 千米 / 小时 125/9 米/ 秒,慢车速度为30 千米 / 小时 25/3 米/ 秒,依据题意得得方程；12525x200250；解方程得； x9381/4 （秒）；10. 设标价为 x 元,就售价为0.8x 元,利润为（ 0.8x 60）元,依据题意得方程；0 . 8 x 6040 %；解方程得； x105（元）所以,标价为 105 元,优惠价为 84 元；6011. 设商品售价应定为 x 元,依据题意得方程；x（1040）（ 15× 1012.5 × 40）（ 112%）,解方程得；x14.56 （元）；12. 设商品打 x 折,依据题意得方程；打了 7 折；300x 200（1 5%）,解得； x0.7 ；所以,商品13. 明年的今日得到的本息和 100 100× 0.945%× 12111.34 元；14. 设成人票卖了 x 张,就同学票卖了（1000 x）张,依据题意得方程；8x5（1000x） 6950 解得； x650,所以卖了成人票 650 张,同学票 350 张；设发给中同学 x 人,就学校生（65x）人,依据题意得；150x80（ 65x） 6950,J 解得； x25；所以,中同学有 25 人,学校生有 40 人；15. 设有 x 名同学,依据题意得；5x37x5,解得； x4；所以,有同学 4 人,铅笔23 支；16. （1）设小明拿到的卡片分别是x3、x、x3；得方程； x3x x3342,解得；x114；所以,小明拿到了 111,114,117；（2）依据上题结论；x95/3 ,所以,小明不行能拿到这样的三张卡片；17. 分析： 这个问题可以看作是环形跑道问题,把一圈看作是 60 个单位长度,分针与时针相距 15 个单位长度,时针在前,分针在后,时针每分钟走一个单位长,两针同向而行,何时分针追上时针；解： 设在 3 点过 x 分钟后,两针重合,由题意得： xx15 解这个方程得：x 16答：两针在 3 点过 16 分时重合；18. 解： 设一月的产量是 x 吨,由题意得x1 12%x848 个单位长,分针每分钟走细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2.12x 848 x400 细心整理归纳 精选学习资料 答：一月的产量是400 吨； 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -