2022年【高一数学必修四三角函数公式推导】.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【高一数学必修四学习必备欢迎下载三角函数公式推导】.txt33学会宽容,意味着成长,秀木出木可吸纳更多的日月风华,伸展强壮而更具成熟的力气；耐力,是一种不显山石露水的执着；是一种不惧风不畏雨的坚忍；是一种不图名不图利的忠诚；所以a=2R*sinA b=2R*sinB c=2R*sinC 加起来 a+b+c=2R*sinA+sinB+sinC 带入a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R a+b+c/sinA+sinB+sinC=2R*sinA+sinB+sinC/sinA+sinB+sinC=2R 两角和公式 sinA+B=sinAcosB+cosAsinB sinA-B=sinAcosB-cosAsinB cosA+B=cosAcosB-sinAsinB cosA-B=cosAcosB+sinAsinB tanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanB tanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanB cotA+B=cotAcotB-1/cotB+cotA cotA-B=cotAcotB+1/cotB-cotA 倍角公式 Sin2A=2SinA.CosA 对数的性质及推导用表示乘方,用logab表示以 a 为底, b 的对数*表示乘号, / 表示除号细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载定义式：如 an=ba>0 且 a 1 就 n=logab 基本性质：1.alogab=b 2.logaMN=logaM+logaN; 3.logaM/N=logaM-logaN; 4.logaMn=nlogaM 推导1. 这个就不用推了吧,直接由定义式可得 把定义式中的 n=logab带入 an=b 2. MN=M*N 由基本性质 1 换掉 M和 N alogaMN=alogaM*alogaN 由指数的性质 alogaMN=alogaM+logaN 又由于指数函数是单调函数,所以logaMN=logaM+logaN 3. 与 2 类似处理 MN=M/N 由基本性质 1 换掉 M和 N alogaM/N=alogaM/alogaN 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载由指数的性质alogaM/N=alogaM-logaN 又由于指数函数是单调函数,所以logaM/N=logaM-logaN 4. 与 2 类似处理Mn=Mn 由基本性质 1 换掉 M alogaMn=alogaMn 由指数的性质alogaMn=alogaM*n 又由于指数函数是单调函数,所以logaMn=nlogaM 其他性质：性质一：换底公式logaN=logbN/logba 推导如下N=alogaN a=blogba 综合两式可得N=blogbalogaN=blogaN*logba 又由于 N=blogbN 所以细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载blogbN=blogaN*logba 所以logbN=logaN*logba这步不明白或有疑问看上面的 所以 logaN=logbN/logba 性质二：（不知道什么名字）loganbm=m/n*logab 推导如下由换底公式 lnx是 logex,e称作自然对数的底 loganbm=lnan/lnbn 由基本性质 4 可得loganbm=n*lna/m*lnb=m/n*lna/lnb 再由换底公式loganbm=m/n*logab -（性质及推导完）公式三 : logab=1/logba 证明如下 : 由换底公式logab=logbb/logba-取以 b 为底的对数 ,logbb=1 =1/logba 仍可变形得 : logab*logba=1 平方关系：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载sin2 +cos2 =1 tan2 +1=sec2 cot2 +1=csc2 · 商的关系：tan =sin /cos cot =cos /sin · 倒数关系：tan ·cot =1 sin ·csc =1 cos ·sec =1 万能公式：sin =2tan /2/1+tan2 /2 cos =1-tan2 /2/1+tan2 /2 tan =2tan /2/1-tan2 /2 常用的诱导公式有以下几组：公式一：设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k ） sin cos（2k ） cos tan （2k ） tan cot （2k ） cot 公式二：设 为任意角, + 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载sin （ ） sin cos（ ） cos tan （ ） tan cot （ ） cot 公式三：任意角 与- 的三角函数值之间的关系：sin （ ） sin cos（ ） cos tan （ ） tan cot （ ） cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到sin （ ） sin cos（ ） costan （ ） tan cot （ ） cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到sin （2 ） sin cos（2 ） costan （2 ） tan cot （2 ） cot - 与 的三角函数值之间的关系：2 - 与 的三角函数值之间的关系：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载公式六： /2 ± 及 3 /2 ± 与 的三角函数值之间的关系：sin （ /2 ） cos cos（ /2 ） sin tan （ /2 ） cot cot （ /2 ） tan sin （ /2 ） cos cos（ /2 ） sin tan （ /2 ） cot cot （ /2 ） tan sin （3 /2 ） cos cos（3 /2 ） sin tan （3 /2 ） cot cot （3 /2 ） tan sin （3 /2 ） cos cos（3 /2 ） sin tan （3 /2 ） cot cot （3 /2 ） tan 以上 kZ 一般的最常用公式有 : SinA+B=SinA*CosB+SinB*CosA SinA-B=SinA*CosB-SinB*CosA 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载CosA+B=CosA*CosB-SinA*SinB CosA-B=CosA*CosB+SinA*SinB TanA+B=TanA+TanB/1-TanA*TanB TanA-B=TanA-TanB/1+TanA*TanB 平方关系：sin2 +cos2 =1 tan2 +1=sec2 cot2 +1=csc2 · 积的关系：sin =tan *cos cos =cot *sin tan =sin *sec cot =cos *csc sec =tan *csc csc =sec *cot · 倒数关系：细心整理归纳 精选学习资料 tan ·cot =1 第 8 页,共 13 页 sin ·csc =1 cos ·sec =1 直角三角形ABC中 , 角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边 , 余弦等于角A 的邻边比斜边 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -正切等于对边比邻边, 学习必备欢迎下载三角函数恒等变形公式· 两角和与差的三角函数：cos + =cos · cos -sin ·sin cos - =cos · cos +sin ·sin sin ± =sin ·cos ± cos · sin tan + =tan +tan /1-tan ·tan tan - =tan -tan /1+tan ·tan · 帮助角公式：Asin +Bcos =A2+B21/2sin +t ,其中sint=B/A2+B21/2 cost=A/A2+B21/2 · 倍角公式：sin2 =2sin ·cos =2/tan +cot cos2 =cos2 -sin2 =2cos2 -1=1-2sin2 tan2 =2tan /1-tan2 · 三倍角公式：sin3 =3sin -4sin3 cos3 =4cos3 -3cos · 半角公式：sin /2= ± 1-cos /2 cos /2= ± 1+cos /2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -tan /2= ± 1-cos学习必备欢迎下载 /sin /1+cos =sin /1+cos =1-cos· 降幂公式sin2 =1-cos2 /2=versin2 /2 cos2 =1+cos2 /2=vercos2 /2 tan2 =1-cos2 /1+cos2 · 万能公式：sin =2tan /2/1+tan2 /2 cos =1-tan2 /2/1+tan2 /2 tan =2tan /2/1-tan2 /2 · 积化和差公式：sin ·cos =1/2sin + +sin - cos ·sin =1/2sin + -sin - cos ·cos =1/2cos + +cos - sin ·sin =-1/2cos + -cos - · 和差化积公式：sin +sin =2sin + /2cos - /2 sin -sin =2cos + /2sin - /2 cos +cos =2cos + /2cos - /2 cos -cos =-2sin + /2sin - /2 · 其他：sin +sin+2 /n+sin+2 *2/n+sin+2 *3/n+ +sin +2 *n-1/n=0 细心整理归纳 精选学习资料 cos +cos +2 /n+cos+2 *2/n+cos+2 *3/n+ +cos +2 第 10 页,共 13 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -*n-1/n=0以及学习必备欢迎下载sin2 +sin2 -2 /3+sin2 +2 /3=3/2 tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0 部分高等内容· 高等代数中三角函数的指数表示 由泰勒级数易得 ：sinx=eix-e-ix/2i cosx=eix+e-ix/2 tanx=eix-e-ix/ieix+ie-ix 泰勒绽开有无穷级数,ez=expz 1z/1 ！z2/2 ！z3/3 ！z4/4 ！ zn/n ！此时三角函数定义域已推广至整个复数集；· 三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y''y=y'''',有通解 Q,可证明Q=Asinx+Bcosx ,因此也可以从今动身定义三角函数；补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数,其拥有许多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣；特别三角函数值a030456090 sina01/2 2/2 3/21 cosa13/2 2/21/20 tana0 3/31 3None cotaNone 313/30 三角函数的运算细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载幂级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxnn=0. c0+c1x-a+c2x-a2+.+cnx-an+.=cnx-ann=0. 它们的各项都是正整数幂的幂函数 , 其中 c0,c1,c2,. 及 a 都是常数 , 这种级数称为幂级数 . 泰勒绽开式 幂级数绽开法 : fx=fa+f'a/1.*x-a+f''a/2.*x-a2+.fna/n.*x-an+. 有用幂级数：ex=1+x+x2/2.+x3/3.+.+xn/n.+. ln1+x=x-x2/3+x3/3-.-1k-1*xk/k+.|x|<1 sinx=x-x3/3.+x5/5.-.-1k-1*x2k-1/2k-1.+.- <x< cosx=1-x2/2.+x4/4.-.-1k*x2k/2k.+.-<x< arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/2*4*x5/5+.|x|<1 arccosx= -x+1/2*x3/3+1*3/2*4*x5/5+.|x|<1 arctanx=x-x3/3+x5/5-.x1 sinhx=x+x3/3.+x5/5.+.-1k-1*x2k-1/2k-1.+.-<x< coshx=1+x2/2.+x4/4.+.-1k*x2k/2k.+.-<x< arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/2*4*x5/5-.|x|<1 arctanhx=x+x3/3+x5/5+.|x|<1 - 傅立叶级数 三角级数 细心整理归纳 精选学习资料 fx=a0/2+n=0.ancosnx+bnsinnx 第 12 页,共 13 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a0=1/ .- fxdx 学习必备欢迎下载an=1/ .- fxcosnxdx bn=1/ .- fxsinnxdx 留意：正切也可以表示为“Tg” 如： TanA=TgA Sin2a=2SinaCosa Cos2a=Cosa2-Sina2 =1-2Sina2 =2Cosa2-1 Tan2a=2Tana/1-Tana2 细心整理归纳 精选学习资料 - 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