2022年一元一次方程知识点及经典例题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一、学问要点梳理a 0 ；名师总结优秀学问点移把含有未知数的等式性质 1 1 移项要变号；项移到方程的一边, 不学问点一：一元一次方程及解的概念 2 一般把含有未知数的项移到方程项含有未知数的项移到1、 一元一次方程：左边,其余项移到右边另一边一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 其中 x 是未知数, a,b 是已知数,且合并把方程中的同类项要点诠释：同分 别 合 并 , 化 成合 并 同 类 项合并同类项时,把同类项的系数一元一次方程须满意以下三个条件：类“axb”的 形 式法就相加,字母与字母的指数不变（1） 只含有一个未知数；项（a0）（2） 未知数的次数是1 次；未知方程两边同除以等式性质 2 分子、分母不能颠倒（3） 整式方程数的未知数的系数a ,得系数2、方程的解：xb a化成判定一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边,看两边是否相等“ 1”学问点二：一元一次方程的解法要点诠释：1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等；懂得方程 ax=b 在不同条件下解的各种情形,并能进行简洁应用:假如,那么； c 为一个数或一个式子 ；a 0 时,方程有唯独解；m的值 . 等式的性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0 的数,结果仍相等；a=0, b=0 时,方程有很多个解；假如,那么；假如,那么a=0,b 0 时,方程无解；牛刀小试要点诠释：例 1、解方程分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0 的数,分数的值不变；即：（其中 m 0）（ 1）y-y212y52特殊须留意： 分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特殊是分母中的小数）化为整数, 如方程：例 2、由两个方程的解相同求方程中子母的值=1.6 ,将其化为：=1.6 ；方程的右边没有变化,这要与“ 去分母” 区分开；2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤变形具 体 方 法变 形 根 据注 意 事 项已知方程x104x 的解与方程 5x2 m2的解相同,求步骤去分方程两边都乘以等式性质 2 1 不能漏乘不含分母的项；各个分母的最小公倍 2 分数线起到括号作用,去掉分母母数后,假如分子是多项式,就要加括号例 3 、解方程学问与肯定值学问综合题型细心整理归纳 精选学习资料 去括先去小括号, 再去乘法安排律、 1 安排律应满意安排到每一项解方程：|2x1|7 第 1 页,共 13 页 号中括号, 最终去大括号去括号法就 2 留意符号,特殊是去掉括号3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点 变式 解方程：二、经典例题透析 4运用拆项法解方程：类型一：一元一次方程的相关概念1、已知以下各式：5、5巧去分母解方程：2x 5 1；8 71；x y；xyx2； 3xy6；5x 3y4z0；8；x 0；其6、中方程的个数是 A、5 B、6 C、 7 D、8举一反三：举一反三： 变式 1 判定以下方程是否是一元一次方程： 变式 （2022 山东滨州）依据以下解方程的过程,请在前面的括号内填写变形步骤,在（1） -2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4） 2x2-1=1-22x-x2后面的括号内填写变形依据； 变式 2 已知： a-32a+5x+a-3y+60 是一元一次方程,求a 的值；解：原方程可变形为 _ 变式 3 （2022 重庆江津）已知3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解 , 就 a 的值是 去分母,得3（3x+5）=22x-1. _去括号,得9x+15=4x-2. （_ ）A 5 B5 C7 D2_,得 9x-4x=-15-2. _类型二：一元一次方程的解法合并,得 5x=-17. 合并同类项 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；假如我们在坚固把握这（_ ）, 得 x=. （_ ）一常规解题思路的基础上,依据方程原形和特点,敏捷支配解题步骤,并且奇妙地运用学过的学问,就可以收到 化繁为简、事半功倍的成效；1巧凑整数解方程：6巧组合解方程：2、举一反三：2x57、 变式 解方程：思路点拨 ：按常规解法将方程两边同乘72 化去分母,但运算较复杂,留意到左边的第一项和右边的其次项中的分母有公约数3,左边的其次项和右边的第一项的分母有公约数4,移项局部通分化简,可简化解题过程；2巧去括号解方程：7巧解含有肯定值的方程：4、8、|x 2| 3 0思路点拨： 解含有肯定值的方程的基本思想是先去掉肯定值符号,转化为一般的一元一次方程；对于只含一举一反三：重肯定值符号的方程,依据肯定值的意义,直接去肯定值符号,化为两个一元一次方程分别解之,即如|x| m,就 x m或 x m；也可以依据肯定值的几何意义进行去括号,如解法二；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点举一反三：【变式 1】（ 2022 福建泉州）已知方程,那么方程的解是_.整理,得 8x182 15x 2x 5,2x5； 变式 2 5| x|-16 3| x|-4去括号,得8x18215x2x 5移项,得 8x15x2x 518 2合并同类项,得9x 21 变式 3系数化为 1,得 x；8利用整体思想解方程：例 4 解：去括号,得9、思路点拨： 由于含有的项均在“” 中,所以我们可以将作为一个整体,先求出整体的值,进去小括号,得3x21而再求的值；去分母,得 3x 5 88参考答案去括号、移项、合并同类项,得两边同除以3,得 x7原方程的解为x7例 1：解： 是方程的是,共六个,所以选B举一反三总结升华 ：依据定义逐个进行判定是解题的基本方法,判定时应留意两点：一是等式；二是含有未知数,体解：依次移项、去分母、去大括号,得现了对概念的懂得与应用才能；举一反三1. 解析 ：判定是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判定；答案：（ 1）（2）（3）不是,（4）是 依次移项、去分母、去中括号,得2. 解析 ：分两种情形：（1）只含字母y,就有 a-32a+50 且 a- 3 0 例 5依次移项、去分母、去小括号,得 第 3 页,共 13 页 （2）只含字母x,就有 a-3 0 且a- 32a+5 0 不行能综上, a 的值为；,x 483. 答案： B例 2.解：移项,得；解： 原方程逆用分数加减法法就,得合并同类项,得2x 1；移项、合并同类项,得；系数化为 1,得 x；系数化为 1,得；举一反三解：原方程可变形为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点2| x| 12例 6 解：原方程化为| x| 6 x± 6 3. 解： |3 x-1| 8 3x-1 ± 8去分母,得100x13 20x 7去括号、移项、合并同类项,得120x 203x1± 8两边同除以120,得 x3x9 或 3x-7x3 或原方程的解为总结升华 ：应用分数性质时要和等式性质相区分；可以化为同分母的,先化为同分母,再去分母较简便；举一反三例 9 解：移项通分,得：化简,得：【答案】解：原方程可变形为 _ 分式的基本性质_移项,系数化1 得：去分母,得3（3x+5）=22x-1. _等式性质 2_去括号,得9x+15=4x-2. （去括号法就或乘法安排律_）总结升华 ：解一元一次方程有一般程序化的步骤,我们在解一元一次方程时,既要学会按部就班 严格按步_ 移项 _, 得 9x-4x=-15-2. 等式性质 1_骤 地解方程,又要能随机应变 敏捷打乱步骤 解方程；对于一般解题步骤与解题技巧来说,前者是基础,后者合并,得 5x=-17. 合并同类项 是机灵,只有真正把握了一般步骤,才能熟能生巧；三、课堂练习（_ _系数化为 1_）, 得 x=. （等式性质2）一、挑选题例 7 解：移项通分,得1、已知以下方程： （1） x-2=3;2 0.3x=1;3 x 2=5x-1;4 x2 -4x=3;5 x=0;6 x+2y=0. 其中一元一次方程的个数x化简,得是（）4 D 5 A 2 B 3 C 去分母,得8x1449x99；2、以下四组变形中,正确选项（）移项、合并,得x 45；例 8 解法一： 移项,得 |x 2| 3当 x20 时,原方程可化为x23,解得 x5A 由 5x+7=0, 得 5x= -7 B 由 2x-3=0, 得 2x-3+3=0 3 小时可把空池灌满, 第 4 页,共 13 页 当 x20 时,原方程可化为x 2 3,解得 x 1；C 由x=2,得 x=1D 由 5x=7,得 x=35 所以方程 |x 2| 30 的解有两个： x5 或 x 1；解法二： 移项,得 |x 2| 3；63由于肯定值等于3 的数有两个： 3 和 3,所以 x23 或 x2 3；3、一个水池有甲、乙两个水龙头,单独开甲水龙头2 小时可把空池灌满；单独开乙水龙头分别解这两个一元一次方程,得解为x5 或 x 1；举一反三如同时开放两个水龙头,灌满空池需（）1. 【答案】A 5 6 小时B5 小时 6C2 小时D3 小时2. 解： 5| x|-3| x| 16-4细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4、以下方程中,是由方程7x-8=x+3 变形而得到的是（）名师总结优秀学问点不赔不赚 B 赚 160 元 C 赚 80 元 D 赔 80 元A A 7x=x+5 B 7x+5=x C 6x=11 D -8+3=-6x 12、笼中有鸡兔共12 只,共 40 条腿,设鸡有X 只,依据题意,可列方程为（）A212-X+4X=40 B412-X+2X=40 C 2X+4X=40 D40 -420-X=X 25、以下方程的变形中,是移项的是（）5 A 由 3= 25 x,得 2x=3 B 由 6x=3+5x ,得 6x=5x+3 12、已知以下方程：x22； 0.3 x1；x5x1；x24x3；C 由 2x=-1 ,得 x=-1D 由 2x-3=x+5 ,得 2x-x=5+3 2x2x6；x2y0其中一元一次方程的个数是（）6、方程 6x=3+5x 的解为（）A x=2 B x=3 C x=-2 D x=-3 A2 B3 C4 D513、已知关于 x 的方程ax52a1x 的解是x1,就 a 的值是（）7、方程 4a-x-4x+1=60 的解是 x=-1 ,就 a 为（）A-5 B-6 C-7 D8A -14 B 20 C 14 D -16 14、方程 3 x52x1移项后,正确选项（）A 3 x2 x5 1B 3x2 x158、动物园的门票售价：成人50 元张,儿童30 元张；某日动物园售出门票700 张,共得 29000 元；设儿童C 3 x2x15D 3x2 x1515、方程22 x43x21,去分母得（）票售出 x 张,依题意可列出以下哪个一元一次方程（）3A、30x+50700-x=29000 B、 50x+30700-x=29000 A 222x433x1B 1232x4183x1C、30x+50700+x=29000 D、 50x+30700+x=29000 C122x418x1D622x49x19、解方程x31-42x =1,去分母正确选项（）16、甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行, 2 小时相遇,如甲比乙每小时多骑25 km,就乙的时速是（）A125 km B15 kmC175 km D20 km17、某商店卖出两件衣服,每件60 元,其中一件赚 25,另一件赔 25,那么这两件衣服售出后 A 2X-1-34X-1=1 B 2X-1-12+X=1 商店是（）A不赚不赔B 赚 8 元C亏 8 元D 赚 15 元 C 2X-1-34-X=6 D 2X-2-12-3X=6 二、填空题：10、假如5x1-2 的倒数是 3,那么 x 的值是（）20,另一台亏本20,就这次 1 、圆的周长为4,半径为 x, 列出方程为； 第 5 页,共 13 页 6A、 -3 B、 -1 C 、 1 D 、 3 2、已知方程（ m-2）xm1+5=9 是关于 x 的一元一次方程,就m = . 11、超市同时卖出两台电子琴,每台均卖960 元,以成本运算,其中一台盈利3、已知代数式x+2y 的值是 3,就代数式2x+4y+1 的值是出售中商场（）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4、3a2m3b4 与 2a6mb4 是同类项,就m = . 名师总结优秀学问点_5、如xy+（y+1）2 =0, 就 x-y= . 8 折销售,结果每件商品仍获利10 元,那么三、解答题：x0 4.-x3=2 6、某商品的进价为250 元,为了削减库存,打算每件商品按标价打1、解方程原先标价为；5 本,就仍少18 本,那么该班有名（1）6x-35x-2=0 2 20-2x=x-1 7、当 x= 时,82 x 的值是 0. 15（ 3）2x1=2 x-2 4 38、7.1 班发作业本,如每人发4 本,就仍余12 本,如每人发同学；40 . 2.059、使 a1x60为关于 x的一元一次方程的a _（写出一个你喜爱的数即可） （5） x12x113x（6）x232 x1110、 当 m _ 时,式子2 m37的值是 -3 11、 如2x3 m12 y 与42 x y2n在某运算中可以合并,就m_,n_312、 设某数为 x ,依据以下条件列出方程：（1）某数的2 3比它的相反数大 5_；（7）2x12x（8）2y1y42（2）某数的1 3与1 2的差刚好等于这个数的2 倍 _313、 某次数学竞赛共出了15 道挑选题,选对一题得4 分,选错一题扣 2 分如某同学得 36 分,他选对了 _道题（不选算错）14、某商场对某种商品作调价, 按原价 8 折出售,此时商品的利润率为 10,此商品的进价是 1000元,就商品的原价是 _. 15、 某人将 1000 元存入银行,定期两年,如年利率为2.27 ,就两年后利息为 _元,如扣四、 家庭练习除 20的利息税, 就实际得到的利息为 _元,银行应对给该储户本息共 _元16、 依据你们班男、女生人数编一道应用题：_ 一、 填空题：x|a|-1=1 是一元一次方程,就a=_,x=_ 第 6 页,共 13 页 _.假设适当的未知数,列出方程1、已知方程（ a-2）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点4 张少2、以下说法：、等式是方程；、x=4 是方程 5x+20=0 的解； 、x=-4 和 x=6 都是方程 x-1C、去分母时,分子部分没有加括号D、去分母时,各项所乘的数不同 =5 的解其中说法正确选项_ _（填序号）6、初一（一）班举办了一次集邮展览,展出的邮票比平均每人3 张多 24 张,比平均每人3、已知代数式8x7与62x的值互为相反数,那么x的值等于 _ 26 张,这个班共展出邮票的张数是（） A.164 B.178 C.168 D.174 4、假如方程_7、某商场卖出两个进价不同的手机,都卖了1200 元,其中一个盈利50%,另一个亏本20%,在这次买卖中,这家商场（）5、三个连续奇数的和是75,就这三个数分别是 _；A.不赔不赚B.赔 100 元C.赚 100 元D.赚 360 元8、某牧场放养的鸵鸟和奶牛一共70 只, 已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为196 条, 就鸵鸟的头数比奶6、我校球类联赛期间买回排球和足球共16 个,花去 900 元钱,已知排球每个42 元,足球每个 80牛多 元,设排球买了 x 个；就可列程为,7、小慧在一张日历的一横列上圈了连续的四个数,它们的和为22,这四个数为A、20 只 B、14 只C、15 只 D、13 只8、数学竞赛共有 10 道题,每答对一道题得5 分,不答或答错一道题倒扣3 分,要得到 34 分必需三、运算题：答对的题数是,1、2x32x1 16x1 2、x21x4 2x39、自来水公司为勉励节省用水,对水费按以下方式收取：用水不超过10 吨,每吨按 0.8 元收费,2超过 10 吨的部分按每吨 1.5 元收费,王老师三月份平均水费为每吨1.0 元,就王老师家三月份用水_吨. 二、挑选题： 1 、如 ab,就以下式子正确的有（）5a15b13、x234x11 4、2x110x12x11a2b2 1 3a1 2b3 4a3 4b5364（D）4 个（A）1 个（B）2 个（C）3 个2、以下变形中,正确选项A、如 ac=bc,那么 a=b；B、如a cb c,那么 a=b 5.2x3 2x1 16x1 6.x234x11C、 a b ,那么a=b；2 =b2 那么 a=b D、如 a53、给出下面四个方程及其变形： 4x80 变形为x20； x753 x 变形为4x2；）四当 x 为何值时,代数式12x 与1x31的值大 2. 第 7 页,共 13 页 2 5x3 变形为2x15； 4x2变形为x2；其中变形正确选项（）ABCD4、假如方程6x+3a=22 与方程 3x+5=11 的解相同,那么a=（）A. 3B. 10C. -3D.- 101031035、将方程2x1x311去分母,得到6x32x26,错在（2A、最简公分母找错B、去分母时,漏乘3 项细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -细心整理归纳 精选学习资料 名师总结优秀学问点 第 8 页,共 13 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点三、 一元一次方程应用题（找出等量关系）一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤（ 3）设出未知数,列出方程：3、等积变形问题7.8g ,应（1）审题：弄清题意 （2）找出等量关系 ：找出能够表示此题含义的相等关系常用等量关系为：外形面积变了,周长没变；原料体积成品体积；例 1、用直径为 4cm的圆钢,锻造一个重0.62kg 的零件毛坯,假如这种钢每立方厘米重设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,.然后利用已找出的等量关系列出方程（4）解方程：解所列的方截圆钢多长？程,求出未知数的值 （5）检验,写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解,.是否符合实际,检验后写出答案1、数字问题例 2. 用直径为 90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125 125 mm 内高为 81mm的 2要搞清晰数的表示方法：一个三位数的百位数字为a,十位数字是 b,个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数,且 1a9, 0 b9, 0 c9）就这个三位数表示为：100a+10b+c；长方体铁盒倒水时,玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数314）例 1、 如三个连续的偶数和为18,求这三个数；4、 和、差、倍、分问题：例 2、 一个两位数,个位上的数是十位上的数的 2 倍,假如把十位与个位上的数对调,那么所 倍数关系：通过关键词语“ 是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率 ” 来得的两位数比原两位数大 36,求原先的两位数等量关系：原两位数 +36=对调后新两位数 表达；多少关系：通过关键词语“ 多、少、和、差、不足、剩余 ” 来表达；（ 1）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化 . 例 1. 某厂一车间有 64 人,二车间有 56 人；现因工作需要,要求第一车间人数是其次车间人数的一半；问需从第一车间调多少人到其次车间？例3、有一个三位数,个位数字为百位数字的 2倍,十位数字比百位数字大 1,如将此数个位与百位次序对调（个位变百位）所得的新数比原数的 2倍少 49,求原数；分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程2、日历中的规律：横行相邻两数相差_竖行相邻两数相差 _；例2甲、乙两车间各有工人如干,假如从乙车间调100人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的 6倍；假如从甲车间调 100人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原先甲乙车间的人数；例 1、假如今日是星期三,那么一年（365 天）以后的今日是星期 _ 例 2、在日历表中,用一个正方形任意圈出 2x2 个数,就它们的和肯定能被 _整除；A 3 B 4 C 5 D 6 例 3、假如某一年的 5 月份中,有 5 个星期五,且它们的日期之和为 80,那么这个月的 4 号是星期几？（ 2）配套问题：例1、某车间有 28名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓 12个或螺母 18个,应如何分 配生产螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 2. 机械厂加工车间有85 名工人,平均每人每天加工大齿轮名师总结优秀学问点16 个或小齿轮 10 个,已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套, 问需分别支配多少名工人加工大、小齿轮, 才能使每天加工的大小齿5、工程问题=工作效率× 工作时间轮刚好配套？分析： 列表法；工程问题中的三个量及其关系为：工作总量每人每天 人数 数量大齿轮 16 个 x 人 16x 小齿轮 10 个 85 x 人 10 85 x等量关系：小齿轮数量的 2 倍大齿轮数量的 3 倍解： 设分别支配 x 名、85 x 名工人加工大、小齿轮3 16 x 2 10 85 x 48 x 1700 20 x68 x 1700常常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位 1；例 1. 一件工程,甲独做需 15 天完成,乙独做需 12 天完成,现先由甲、乙合作 3 天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙仍要几天才能完成全部工程？分析 设工程总量为单位 1,等量关系为：甲完成工作量 +乙完成工作量 =工作总量；解：设乙仍需 x 天完成全部工程,设工作总量为单位 1,由题意得, 1 15+ 1 12 × 3+ x 12=1, . x258人,仍少 12个床位,假如每室住 9人,就空出两个房间；求房例 2、在西部大开发中,基础建设优先进展,甲、乙两队共同承包了一段长6500 米的高速大路工程,两队分别从两端施工相向前进,甲队平均每天可完成480 米,乙队平均每天比甲队多完成22085 x答： 略. 60 人米,乙队比甲队晚一天开工,乙队开工几天后两队完成全部任务？（3）安排问题：例1. 学校安排同学住宿,假如每室住间的个数和同学的人数；6、 打折销售问题（1）销售问题中常显现的量有：进价、售价、标价、利润等例2. 三个正整数的比为 1：2：4,它们的和是 84,那么这三个数中最大的数是几？（比例安排问题（2）基本关系式：；常用等量关系：各部分之和总量； ）利润售价进价；售价=标价× 折数；利润率利润/ 进价由可得出利润标价× 折数进价；由可得出利润率 市场经济问题（1）商品利润商品售价商品成本价（2）商品利润率商品利润× 100% 商品成本价（4）年龄问题：例 1、甲比乙大 15 岁, 5 年前甲的年龄是乙的年龄的两倍,乙现在的年龄是多少岁？（3）商品销售额商品销售价× 商品销售量（4）商品的销售利润（销售价成本价）× 销售量（5）商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8 折出售,即按原标价的80%例 2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25 岁,8 年后小华爸爸的年龄是小华的3 倍多 5 岁,求小华出售 第 10 页,共 13 页 例 1、一件衣服标价是200 元,现打 7 折销售；问：买这件衣服需要多少钱？如已知这件衣服的成现在的年龄；本（进价）是 115 元,那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润是多少？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -