2022年九年级数学相似三角形的性质及应用知识点+典型例题+详细答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - . 相像三角形的性质及应用【学习目标】1、探究相像三角形的性质,能运用性质进行有关运算；2、通过典型实例熟悉现实生活中物体的相像,能运用图形相像的学问解决一 些简洁的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相像三角形的性质 1相像三角形的对应角相等,对应边的比相等 . 2. 相像三角形中的重要线段的比等于相像比 . 相像三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相像比 . 3. 相像三角形周长的比等于相像比,就由比例性质可得：4. 相像三角形面积的比等于相像比的平方,就分别作出与的高和,就SABC1 BC AD 21 B C A D21k B Ck A D=k22SA BC1 2B CA D. 要点诠释：相像三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的要点二、相像三角形的应用1. 测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度,等” 的原懂得决 . 通常使用“ 在同一时刻物高与影长的比例相要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：. 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2. 测量距离测量不能直接到达的两点间的距离,常构造如下两种相像三角形求解；1如甲图所示,通常可先测量图中的线段 据相像三角形的性质,求出 AB的长 . DC、BD、CE的距离（长度）,根 2 如乙图所示,可先测 AC、DC及 DE的长,再依据相像三角形的性质运算 AB的长 . 要点诠释：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度,比例尺= 图上距离 / 实际距离 ; 2太阳离我们特别遥远,因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一 时刻,两物体影子之比等于其对应高的比 ; 3视点：观看事物的着眼点（一般指观看者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观看者向上（下）看时,视线与水平方向的夹角【典型例题】类型一、相像三角形的性质1. ABC DEF,如 ABC的边长分别为 5cm、6cm、7cm,而 4cm是 DEF中一边的长度,你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 【答案】设另两边长是 xcm,ycm,且 xy. 1 当 DEF中长 4cm线段与 ABC中长 5cm线段是对应边时,有,从而 x=cm,y=cm. 2 当 DEF中长 4cm线段与 ABC中长 6cm线段是对应边时,有,从而 x=cm,y=cm. 3 当 DEF中长 4cm线段与 ABC中长 7cm线段是对应边时,有2 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . ,或从而 x=cm,y=cm. cm,cm或cm,cm 综上所述, DEF的另外两边的长度应是cm,cm三种可能 . 2. 如下列图,已知ABC中, AD是高,矩形 EFGH内接于 ABC中,且长边 FG在 BC上,矩形相邻两边的比为 1：2,如 BC=30cm,AD=10cm. 求矩形 EFGH的面积 . 【答案】四边形 EFGH是矩形, EH BC, AEH ABC. ADBC, ADEH,MD=EF. 矩形两邻边之比为 1：2,设 EF=xcm,就 EH=2xcm. 由相像三角形对应高的比等于相像比,得,. EF=6cm,EH=12cm. 举一反三1、如图,在和中,的周长是 24,面积是 48,求的周长和面积 . 【答案】在和中,. 又名师归纳总结 . ,相像比为. 3 第 3 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - . 的周长为,的面积是. 2、有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为 甲地图与乙地图的相像比和面积比 . 1200 和 1500,求：【答案】设原地块为ABC,地块在甲图上为A1B1C1,在乙图上为A2B2C2. ABC A1B1C1 A2B2C2且,. 3、如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,按如图那样折叠,使点A 与点 B 重合,折痕为 DE,就 S BCE：S BDE等于（） D. 4:21 A. 2 ：5 B 14:25 C16:25 【答案】 B. 【解析】由已知可得 AB=10,AD=BD=5,设 AE=BE=x, 就 CE=8-x, 在 Rt BCE中, x 2-8-x 2=6 2,x= , 由 ADE ACB得,S BCE：S BDE=（64-25-25 ）：25=14:25,所以选 B. 4、在锐角 ABC中,AD,CE分别为 BC,AB边上的高,别等于 18 和 2,DE=2,求 AC边上的高 . 4 . ABC和 BDE的面积分名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 【答案】过点 B做 BFAC,垂足为点 F,AD,CE分别为 BC,AB边上的高, ADB=CEB=90° ,又 B=B,Rt ADBRt CEB, BDAB,即BDBE, BECBABCB且 B=B, EBD CBA, SSBED, DE221, BCAAC189DE1AC3又 DE=2,AC=6,SABC 1 2 AC BF 18, BF= .5、已知：如图,在ABC与 CAD中, DA BC,CD与 AB相交于 E 点,且 AEEB=12,EF BC交 AC于 F 点, ADE的面积为 1,求 BCE和 AEF 的面积【答案】 DA BC, ADE BCES ADE:S BCE=AE 2:BE 2AEBE=1:2, S ADE:S BCE=1:4 . S ADE=1,S BCE=45 S ABC:S BCE=AB:BE=3:2,S ABC=6EF BC, AEF ABC名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . AE:AB=1:3,S AEF:S ABC=AE 2:AB 2=1:9 S AEF=上,6、如图,已知中,点在 与点不重合 ,点在上. 1 当的面积与四边形的面积相等时,求的长 . 2 当的周长与四边形的周长相等时,求的长 . 【答案】 1,. 2 的周长与四边形的周长相等 . =6,. 6 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 类型二、相像三角形的应用3. 如图,我们想要测量河两岸相对应两点 你有什么方法？A、B 之间的距离 即河宽 ,【答案】如上图,先从 B 点动身与 AB成 90° 角方向走 50m到 O处立一标杆,然后方向不变,连续向前走10m到 C处,在 C处转 90° ,沿 CD方向再走17m到达 D处,使得 A、O、D在同一条直线上那么 A、B 之间的距离是多 少？ABBC,CDBC ABO=DCO=90°又 AOB=DOC AOB DOC. BO=50m,CO=10m,CD=17m AB=85m 即河宽为 85m4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔 18 m,已知小明的身高是 1.6 m ,他的影长是 2 m1 图中 ABC与 ADE是否相像 .为什么 . 2 求古塔的高度. 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 【答案】 1 ABC ADEBCAE,DEAE, ACB=AED=90° A=A, ABC ADE 2 由1 得 ABC ADE AC=2m,AE=2+18=20m,BC=1.6m,DE=16m 即古塔的高度为 16m；举一反三1、小明把一个排球打在离他2 米远的地上,排球反弹后遇到墙上,假如他跳起来击排球时的高度是1.8 米,排球落地点离墙的距离是7 米,假设排球始终沿直线运动,那么排球能遇到墙上离地多高的地方？【答案】如图, AB=1.8 米,AP=2米, PC=7米,作 PQAC, 依据物理学原理知 BPQ=QPD,就APB=CPD,BAP=DCP=90° , ABP CDP, AB DC即1.8 DCAP PC , 2 7, DC=6.3米. 名师归纳总结 即球能遇到墙上离地6.3 米高的地方 . 第 8 页,共 22 页8 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - . 2、在斜坡的顶部有一铁塔AB,B是 CD的中点, CD是水平的,在阳光的照耀下,塔影 DE留在坡面上； 已知铁塔底座宽 CD=12m,塔影长 DE=18m,小明和小华的身高都是 1.6m,同一时刻,小明站在点E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为2m和 1m,那么塔高 AB为（）A.24m B.22m C.20m D.18m 【答案】 A. 【解析】过点 D做 DNCD交光线 AE于点 N,就DN1.60.8,DN=14.4,DE2又 AM:MN=1.6:1, AM=1.6MN=1.6BD=1.6× 6=9.6 塔高 AB=AM+DN=14.4+9.6=24,所以选 A. 3、已知：如图,阳光通过窗口照耀到室内,在地面上留下1.5m 宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙脚距离 CE=1.2m,窗口高 AB=1.8m,求窗口底边离地面的高度 BC. 【答案】作 EFDC交 AD于 F. 名师归纳总结 . 9 第 9 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - . AD BE,又,. ,AB EF, AD BE,四边形 ABEF是平行四边形,EF=AB=1.8m. m. 【巩固练习一】一、挑选题1如图 1 所示, ABC中 DE BC,如 ADDB12,就以下结论中正确选项 A BCD（图 1）（图 2）2. 如图 2, 在 ABC中, D、E两点分别在 AB、AC边上 , DE BC. 如 AD:DB = 2:1, 就 S ADE: S ABC为 C. 1:4 D. 3:2 A. 9:4 B. 4:9 3某校有两块相像的多边形草坪,其面积比为 是 36 米,就另一块草坪的周长是（）94,其中一块草坪的周长名师归纳总结 A24 米 B54 米C24 米或 54 米D36 米或 54 米第 10 页,共 22 页4. 图为 ABC与 DEC重叠的情形,其中E在 BC上,AC交 DE于 F 点,且AB/ DE. 如 ABC与 DEC的面积相等,且 EF=9,AB=12,就 DF= A3 B7 C12 D15 10 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - . 5如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点 的平面镜,光线从点 A动身经平面镜反射后刚好射到古城墙P处放一水平 CD的顶端 C处,已知 ABBD,CDBD,且测得 AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米, 那么该古城墙的高度是（） C18 米D24 米 A6 米 B8 米6. 要把一个三角形的面积扩大到原先面积的的边长要增大到原先的（）倍 . D.64 A.2 B.4 C.2二、填空题8 倍,而它的外形不变,那么它7. 如下列图,为了测量一棵树 AB的高度,测量者在 D点立一高 CD2m的标杆,现测量者从 E处可以看到杆顶 C与树顶 A在同一条直线上,假如测得 BD20m,FD4m,EF1.8m,就树 AB的高度为 _m8. 已知两个相像三角形的相像比为,面积之差为 25,就较大三角形的面积为 _ . 9如图,小明为了测量一座楼MN的高,在离点 N为 20m的 A处放了一个平面镜,小明沿 NA后退到点 C,正好从镜中看到楼顶 M,如 AC1.5m,小明的眼睛离地面的高度为 1.6m,请你帮忙小明运算一下楼房的高度是 _.（精确到 0.1m）10. 梯形 ABCD中,AD BC,AC,BD交于点 O , 如SAOD=4,S B OC=9,S梯形 ABCD=_. 11. 如图,在平行四边形 ABCD中,点 E为 CD上一点,DE:CE=2:3,连接 AE,BE,BD,且 AE,BD交于点 F,就SDEF:S B EF:SBAF_. 11 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 12. 把一个三角形改做成和它相像的三角形,假如面积缩小到原先的 边长应缩小到原先的 _倍. 1 倍,那么 2三、解答题13. 一位同学想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为 1m的竹竿影长0.9m,但当他立刻测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上, 如图,他先测得留在墙上的影高 的影长 2.7m,他求得树高是多少？14. 如下列图,一段街道的两边沿所在直线分别为1.2m,又测得地面部分AB,PQ,并且 AB PQ,建筑物的一端 DE所在的直线 MNAB于点 M,交 PQ于点 N,小亮从成功街的 A处,沿着 AB方向前进,小明始终站在点P的位置等待小亮（1）请你画出小亮恰好能观察小明的视线,以及此时小亮所在的位置（用点 C标出）（2）已知： MN=30m,MD=12m,PN=36m求（ 1）中的点 C到成功街口的距离15. 在正方形中,是上一动点, 与不重合 ,使为直角,交正方形一边所在直线于点. ,就的周长1 找出与相像的三角形 . 相像的三角形周长为2 当位于的中点时, 与为多少？12 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 【答案与解析】一挑选题 1【答案】 D【解析】提示：相像比为 1:3 2【答案】 B【解析】提示：面积比等于相像比的平方3【答案】 C. 4【答案】 B. 5【答案】 B. 【解析】提示：入射角等于反射角,所以6【答案】 CABP CDP【解析】提示：面积比等于相像比的平方二填空题 7【答案】 3. 8【答案】 45cm 2. 9【答案】 21.3m10【答案】 25. 【解析】 AD BC, AOD COB,AO2SAOD4, AO:COCOSBOC92:3 ,又SSAODAO92 3,SCOD6,又SCODSAOB,DOCOCS梯形ABCD4262511. 【答案】 4:10:25 【解析】平行四边形 ABCD, DEF BAF,SDEFDE2,13 SAEBABDE:EC=2:3,DE:DC=2:5,即 DE:AB=2:5,SDEF DEF与 BEF是同高SBAF的三角形,SDEF24 . 10SBEF5. 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 12【答案】2. 2三. 综合题 13【解析】作 CE DA交 AB于 E,设树高是 xm,长为 1m的竹竿影长 0.9m 1 x 1.20.9 2.7 即 x 4.2m 14【解析】 1 如图 1 所示, CP为视线,点 C为所求位置 2 AB PQ,MNAB于 M,CMD PND90° 又CDM PDN, CDM PDN,CM DMPN DN MN30m,MD12m, ND18mCM12CM为 24m3618 CM24m点 C到成功街口的距离15【解析】 1 与 BPC相像的图形可以是图 1 ,2 两种情形： PDE BCP, PCE BCP, BPE BCP 2如图 1 ,当点 P位于 CD的中点时,如另始终角边与AD交于点 E,名师归纳总结 . 就PD1第 14 页,共 22 页BC2 PDE BCP PDE与 BCP的周长比是 1:2 BCP的周长是 2a14 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - . 如图 2 ,当点 P位于 CD的中点时,如另始终角边与就PC1,BC2 PCE BCP PCE与 BCP的周长比是 1:2 BCP的周长是 2a如图 2 ,当点 P位于 CD的中点时,如另始终角边与BP55 :2 ,BC2 BPE BCP BPE与 BCP的周长比是 BCP的周长是2 5 5a 【巩固练习二】一、挑选题BC延长线交于点 E时,BC延长线交于点 E时,1假如一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相像的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x,那么 x 的值（）A只有 1 个 B 可以有 2 个 C有 2 个以上,但有限 D有很多个2. 如平行四边形 ABCD中, AB10,AD6,E 是 AD的中点,在 AB上取一点 F,使 CBF CDE,就 BF的长为（）且15 A1.8 B5 C6 或 4 D8 或 2 3. 如图,已知 D、E分别是的 AB、 AC 边上的点,那么等于（）A1：9 B1：3 C1：8 D1：2 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 4如图 G是 ABC的重心,直线 过 A点与 BC平行. 如直线 CG分别与 AB、 交于 D、E 两点,直线 BG与 AC交于 F 点,就 AED的面积 ：四边形 ADGF的面积= A1：2 B2：1 C2：3 D3：2 5. 如图,将 ABC的高 AD四等分,过每一个分点作底边的平行线,把三角形的面积分成四部分 S1、S2、S3、S4,就 S1S2S3S4 等于（） A.1 234 B.2345 C.1 357 D.3 579 6. 如图,在 ABCD中,E 为 CD上一点, DE：CE=2：3,连结 AE、BE、BD,且AE、BD交于点 F,就S DEF：S EBF：S ABF等于 A.4：10：25 B.4 ：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25 二、填空题7. 如图,梯形 ABCD中, AB CD,AC、BD相交于点 E,16 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . SDEC1 , 2SDECS AEB=_. S CEB8. 如图, ABC中,点 D在边 AB上,满意 ADC=ACB,如 AC=2,AD=1,就DB=_. 9. 如图,在 PAB中,M、N是 AB上两点,且 PMN是等边三角形, BPM PAN,就 APB的度数是_. 10. 如图, ABC中,DE BC,BE,CD交于点 F,且 S EFC=3S EFD,就 S ADE：S ABC=_. 11. 如图,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯 BD,当他走到点 P时,发觉身后他影子的顶部刚好接触到路灯 AC的底部,当他向前再步行 20m到达 Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD的底部,已知丁轩同学的身高是 1.5m,两个路灯的高度都是 9m,就两路灯之间的距离是 _ . 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 12. 如图,锐角ABC中, AD,CE分别为 BC,AB边上的高,ABC和 BDE的面积分别等于 18 和 2,DE=2,就 AC边上的高为 _. 三、解答题 13. 为了测量图（ 1）和图（ 2）中的树高,在同一时刻某人进行了如下操 作：图（ 1）：测得竹竿 CD的长为 0.8 米,其影 CE长 1 米,树影 AE长 2.4 米图（ 2）：测得落在地面的树影长2.8 米,落在墙上的树影高1.2 米,请问图（ 1）和图（ 2）中的树高各是多少？14. （1）阅读以下材料,补全证明过程：已知：如图,矩形ABCD中,AC、BD相交于点 O,OEBC于 E,连结 DE交OC于点 F,作 FGBC于 G求证：点 G是线段 BC的一个三等分点证明：在矩形 ABCD中, OEBC,DCBC,名师归纳总结 18 . 第 18 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - . OE DC, （2）请你仿照（ 1）的画法,在原图上画出 痕迹,可不写画法及证明过程） BC的一个四等分点（要求保留画图15. 已知如图,在矩形 ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点 E 自 A 点动身,以每秒 1cm的速度向 D点前进,同时点 F 从 D点以每秒 2cm的速度向 C点前进,如移 动的时间为 t ,且 0t 6（1）当 t 为多少时, DE=2DF；（2）四边形 DEBF的面积是否为定值？如是定值,恳求出定值；如不是定值,请说明理由（3）以点 D、E、F 为顶点的三角形能否与的 t 的值；如不能,请说明理由【答案与解析】一挑选题1. 【答案】 B. BCD相像？如能,恳求出全部可能【解析】 x 可能是斜边,也可能是直角边 . 2. 【答案】 A. 3. 【答案】 B. 4. 【答案】 D. 5. 【答案】 C. 【解析】此题要求运用相像三角形的面积比等于相像比的平方；由,所以,又由,可得,下略6. 【答案】 A. 【解析】 ABCD中, AB DC, DEF ABF,19 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . DEF与 EBF等高,面积比等于对应底边的比 ,所以答案选 A. 二、填空题7. 【答案】1 . 4【解析】SSDECECB 1 ,2 且 DEC与 CEB是同高不同底的两个三角形,即DE 1. 由于 AB CD, EB 2所以 DEC BEA,所以 SSDECAEB = DEEB 212 2148. 【答案】 3. 【解析】 ADC=ACB,DAC=BAC, ACD ABC,AC AD AC 22 2AB AC AB= AD 1 4,BD=AB-AD=4-1=3. 9. 【答案】 120° . 【解析】 BPM PAN,BPM A, PMN是等边三角形,A+APN60° ,即 APN+BPM60° ,APB BPM+MPN+APN60° +60° =120° 10. 【答案】 1:9 【解析】SEFC=3SEFD,FC:DF=3:1,又DE BC, BFC EFD,即 BC：DE=FC:FD=3:1,由 ADE ABC,即SADE：SABC=1:9. 11. 【答案】 30m. 12. 【答案】 6. 【解析】 AD,CE分别为 BC,AB边上的高 , ADB=BEC=90° , ABD=EBC Rt ABDRt CBE AB BCBD,BE ABC DBE 相像三角形面积比为相像比的平方,名师归纳总结 20 . 第 20 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - . AC218= 9, AC DE=3 , DE2AC=3DE=3× 2=6h=2S ABC/AC=2× 18/6=6即 AC边上的高是 6 . 三、解答题13. 【解析】（1） CDE ABE,CE CD,AE AB又竹竿 CD的长为 0.8 米,其影 CE长 1 米,树影 AE长 2.4 米, AB=1.92 米即图 1 的树高为 1.92 米（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为 x,树高为 h,竹竿 CD的长为 0.8 米,其影 CE长 1 米,1 = x0.8 1.2解得 x=1.5 （m）,树的影长为： 1.5+2.8=4.3 （m）,1 0.8=4.3h解得 h=3.44（m）14. 【解析】（1）补全证明过程 : FGBC,DCBC,FG DCABDC,又 FG AB,点 G是 BC的一个三等分点（2）如图,连结 DG交 AC于点 H,作 HIBC于 I ,就点 I 是线段BC的一个四等分点 . 15. 【解析】（1）由题意得： DE=AD-t=6-t ,DF=2t,. 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 6-t=2 × 2t ,解得 t= 6,5故当 t= 6 时,DE=2DF；5（2）矩形 ABCD的面积为： 12× 6=72,S ABE= 1× 12× t=6t ,2S BCF= 1× 6× （12-2t ）=36-6t ,2四边形 DEBF的面积 =矩形的面积 -S ABE-S BCF=72-6t-36+6t=36 ,故四边形 DEBF的面积为定值 . （3）设以点 D、E、F 为顶点的三角形能与BCD相像,BCD相像就ED BCDF或ED DCDF,DCBC由 ED=6-t,DF=2t,FC=12-2t,BC=6,代入解得： t=12 （舍去）或 t=6 （舍去）或 t= 3 2故当 t= 3 2时,以点 D、E、F 为顶点的三角形与22 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 22 页