2022年二次函数知识点梳理.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二次函数的基础一、考点、热点回忆二次函数学问点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地,形如yax2bxc （ a, , 是常数,a0）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0,而 b, 可以为零二次函数的定义域是全a体实数22. 二次函数 y ax bx c 的结构特点： 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2 a, , 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数,c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y2 ax 的性质：a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；名师归纳总结 a 的符号开口方向顶点坐标对称轴xx性质第 1 页,共 5 页向上0,0y 轴0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随 x 的a0增大而减小；x0时, y 有最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 0 2. yax2c 的性质：上加下减；对称轴x性质a 的符号开口方向顶点坐标0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随 x 的a0向上0,cy 轴增大而减小；x0时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：左加右减；对称轴性质a 的符号开口方向顶点坐标a0向上h,0X=h h 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh时,y有最小值0a0向下h,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh时,y有最大值0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. ya xh2k 的性质：名师总结优秀学问点a 的符号开口方向顶点坐标对称轴x性质a0向上h,kX=h h 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 k a0向下h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh时,y有最大值k三、二次函数图象的平移在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”概括成八个字“ 左加右减,上加下减”方法二：名师归纳总结 yax2bxc沿 y 轴平移 :向上 （下） 平移 m 个单位,yax2bxc变成第 2 页,共 5 页yax2bxcm（或yax2bxcm）yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m 个单位,yax2bxc变成ya xm2bxm c（或yaxm 2bxm c）四、二次函数ya xh2k 与yax2bxc 的比较从解析式上看,ya xh2k 与yax2bxc 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即yaxb24 acab2,其中hb,k4acb22a42a4 a五、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式ya xh2 k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与 x 轴的交点x ,0,x ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点 . 六、二次函数yax2bxc 的性质1. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为xb,顶点坐标为b,4acab22 a2 a4当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时, y 随 x 的增大而增大；当xb时, y2a2a2a有最小值4acb24 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 当a0名师总结b优秀学问点b,4 ac4 ab2当xb时,时,抛物线开口向下, 对称轴为x,顶点坐标为2a2a2 ay 随 x 的增大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时, y 有最大值4 acab22a2a4七、二次函数解析式的表示方法c （a, b ,c为常数,a0）；1. 一般式：yax2bxx 轴两交点的横坐标）. 2. 顶点式：ya xh2k （ a , h , k 为常数,a0）；3. 两根式：ya xx 1xx 2（a0,1x ,x 是抛物线与留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a2二次函数 y ax bx c 中, a 作为二次项系数,明显 a 0 当 a 0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大； 当 a 0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴,在 y 轴的右侧就ab0,概括的说 在a0的前提下,当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来,在a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定： 对称轴xb在 y 轴左边就ab02 a就是“ 左同右异”总结：3. 常数项 c名师归纳总结 当c0时,抛物线与y 轴的交点在x轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；第 3 页,共 5 页 当c0时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ； 当c0时,抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 总结起来, c 打算了抛物线与名师总结优秀学问点y 轴交点的位置总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需根 据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；3. 已知抛物线与 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称yax2bx2c 关于 x 轴对称后,得到的解析式是yyax2bxhc ；ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是a x2k ；2. 关于 y 轴对称yax2bx2c 关于 y 轴对称后,得到的解析式是yyax2bxhc ；ya xhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式是a x2k ；3. 关于原点对称yax2bxc 关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc ；22 nkya xh2k 关于原点对称后,得到的解析式是ya xh2k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180° ）yax2bxc 关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxc2 b；2 aya xh2k 关于顶点对称后,得到的解析式是ya xh2k 5. 关于点m,n对称ya xh2k 关于点m,n对称后,得到的解析式是ya xh2m依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：名师归纳总结 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与yx 轴交点情形）：y0时的特别情形 . 第 4 页,共 5 页一元二次方程ax2bxc0是二次函数ax2bxc 当函数值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点图象与 x 轴的交点个数： 当b24ac0时,图象与 x 轴交于两点A x 1,0,B x2,0x 1x2,其中的x 1,x 2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根这两点间的距离ABx 2x 1b24ac. a 当0时,图象与x轴只有一个交点；0； 当0时,图象与x轴没有交点 . 1'当a0时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有y2'当a0时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有y02. 抛物线yax2bxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 , c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a ,b , c 的符号,或由二次函数中a , b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质, 求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标 . 2 与二次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式 ax bx c a 0 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以 a 0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0 抛物线与 x 轴 有 两 二次三项式的值可正、可 一元二次方程有两个不相等实根个交点 零、可负0 抛物线与 x 轴 只 有 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根一个交点0抛物线与x 轴 无 交二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 点十一、函数的应用刹车距离二次函数应用 何时获得最大利润最大面积是多少名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页