2022年基本初等函数经典总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第十二讲 基本初等函数一：教学目标 1、把握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；2、懂得基本初等函数的性质；3、把握基本初等函数的应用,特殊是指数函数与对数函数 二：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的懂得及应用；教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：学问出现 1.指数与指数函数1.指数运算法就： （1）r a asars；（2）arsars；（3）abra b ；r rm1nanma n奇（6）（4）annam；（5）annam|a|,n偶2. 指数函数：形如yaxa0且aa>1 1指数函数0<a<1 图象表达式yax定义域R单调递增值域0,过定点0,1单调性单调递减2.对数函数 1）对数的运算：名师归纳总结 1、互化：b aNbclogaN第 1 页,共 8 页2、恒等：alogaNNblog3、换底：logabcloga- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 推论 1 logab1ba精品资料欢迎下载logbclogac推论 2 logablog4、推论 3 logambnnlogabm0 mlogaMNlogaMlogaNlogaMlogaMlogaNN5、logaMnnlogaM2）对数函数：对数函图数象0<a<1 a>1 表达式ylog ax定义域0,单调递增值域R过定点1,0 单调性单调递减3.幂函数一般地,形如ya x （ aR ）的函数叫做幂函数,其中a 是常数1性质：1 全部的幂函数在0,+都有定义,并且图象都通过点1, 1; 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2 假如 ,就幂函数图象通过（0,0）,并且在区间 0,+ 上是增函数；3 假如 ,就幂函数在区间 0,+上是减函数,在第一象限内,当 x 从右边趋向于原点时,图象在 y 轴右方无限地靠近 y 轴,当 x 趋于 +时,图象在 x 轴上方无限靠近 x 轴；四：典型例题考点一：指数函数例 1已知a22 a53 xa22a1 5x,就 x 的取值范畴是 _分析：利用指数函数的单调性求解,留意底数的取值范畴解：a22a5a2 1441,并判函数ya22 a5x在 , 上是增函数, 3x1x,解得x1 x 的取值范畴是1, 44评注： 利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,断底数与 1 的大小,对于含有参数的要留意对参数进行争论例 2函数ya2 x2 ax1 a0 且a1在区间 11, 上有最大值14,就 a 的值是 _t 的取值范畴分析：令tx a 可将问题转化成二次函数的最值问题,需留意换元后解：令tx a ,就t0,函数ya2x2 ax1可化为yt122,其对称轴为t1当a1时,x11, ,1 aaxa,即1 a a当 ta 时,ymaxa12214解得a3或a5（舍去）；当 0a1时,x11, ,aax1,即a 1,aat1 a时,ymax112214,a解得a1或a1（舍去）, a 的值是 3 或1 335等评注： 利用指数函数的单调性求最值时留意一些方法的运用,比如：换元法, 整体代入名师归纳总结 例 3求函数y16x2的定义域和值域,第 3 页,共 8 页解：由题意可得16x20,即6x2 ,x20,故x2函数f x 的定义域是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令t6x2,就y1t ,精品资料欢迎下载又x2,x20 06x21,即 0t 1 01t1,即 0y1函数的值域是0 1, 评注：利用指数函数的单调性求值域时,要留意定义域对它的影响x 2 3 x 2例 4 求函数 y1 的单调区间 . 3分析 这是复合函数求单调区间的问题u u可设 y1 ,u x 2-3x+2 ,其中 y1 为减函数3 3ux 2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间 即减减增 ux 2-3x+2 的增区间就是原函数的减区间 即减、增减 u解：设 y1 ,u x 2-3x+2,y 关于 u 递减,3当 x- ,3 时, u 为减函数,2y 关于 x 为增函数；当 x3 ,+ 时, u 为增函数, y 关于 x 为减函数 . 2考点二：对数函数例 5 求以下函数的定义域（1） y=log 2（x 2-4x-5）; （2） y=log x+1（16-4 x）（3） y= 解： （1）令 x2-4x-5 0,得（ x-5）（ x+1 ） 0,故定义域为xx-1,或 x5（2）令 得名师归纳总结 故所求定义域为x -1x0,或 0x2第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）令精品资料欢迎下载,得故所求定义域为x x-1- ,或 -1- x-3,或 x2说明 求与对数函数有关的定义域问题,第一要考虑,真数大于零底数大于零不等于1,如处在分母的位置,仍要考虑不能使分母为零例 6 比较大小：（1） log0713 和 log 0718（2）（ lg n）1 7 和（ lgn）2（n1）（3） log23 和 log53（4） log35 和 log64解： （1）对数函数y=log 07x 在（ 0, +）内是减函数由于1318,所以log0713log071 8（2）把 lgn 看作指数函数的底,此题归为比较两个指数函数的函数值的大小,故需对底数 lgn 争论如 1 lgn0,即 1n10 时, y=（lgn）x 在 R 上是减函数,所以（lgn）12（ lgn）2；如 lgn1,即 n 10 时, y= （lgn）2 在 R 上是增函数,所以（lgn）17（ lgn）2（3）函数 y=log 2x 和 y=log 5x 当 x1 时,y=log 2x 的图像在 y=log 5x 图像上方这里 x=3 ,所以 log23 log53（4） log35 和 log64 的底数和真数都不相同,须找出中间量 单调性即可求解“搭桥 ”,再利用对数函数的由于 log 35log33=1=log 66log64,所以 log35log 64评析要留意正确利用对数函数的性质,特殊是第（3）小题,可直接利用例2 中的说明得到结论例 7已知 f （x）=2+log 3x,x 1,9,求 y=f（ x）2+f（x2）的最大值,及y取最大值时, x 的值分析要求函数y=f（ x）2+f（x2）的最大值,要做两件事,一是要求其表达式；二是要求出它的定义域,然后求值域解： f（x）=2+log 3x,名师归纳总结 y=f （x）2+f（x2）=（2+log 3x）2+2+log 3x 2第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =（2+log 3x）2+2+2log 3x 精品资料欢迎下载2=log 3x+6log 3x+6 =（log 3x+3 ）2-3函数 f （x）的定义域为1,9,2要使函数 y=f（x）2+f（x 2）有定义,就须 1 x 9,1 x 91x30log3x16y=（log 3x+3 ）2-3 13当 x=3 时,函数 y= f（x）2+f（ x 2）取最大值 13说明 本例正确求解的关键是：函数 y=f（x）2+f（x 2）定义域的正确确定假如我们误认为 1,9是它的定义域就将求得错误的最大值 22其实我们仍能求出函数 y=f（x）2+f（x 2）的值域为 6,13例 8 求函数 y=log 05（ -x 2+2x+8 ）的单调区间分析 由于对函数的底是一个小于 1 的正数,故原函数与函数 u=-x 2+2x+8 （-2x4）的单调性相反解 -x 2+2x+8 0,-2x4,原函数的定义域为（-2,4）又函数 u=-x 2+2x+8=- （x-1）2+9 在（ -2,1上为增函数,在1, 4）上为减函数,函数 y=log 0 5（ -x 2+2x+8 ）在（ -2, 1上为减函数,在1,4）上为增函数评析 判定函数的单调性必需先求出函数的定义域,单调区间应是定义域的子集考点三：幂函数例 9比较大小：名师归纳总结 110.5,log30.5第 6 页,共 8 页（1）1.5 ,1.72（2）3 1.2 ,3 1.25 （3）5.251,5.261,5.262（4）3 0.5 ,3111解：（1）yx2在 0, 上是增函数, 1.51.7 ,1.521.72（2）y3 x 在 R上是增函数,1.21.25, 1.23 1.253（3）yx1在 0, 上是减函数, 5.255.26 ,5.2515.261；y5.26x是增函数,12 ,5.2615.262；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综上,5.2515.2615.262精品资料欢迎下载（4）00.531,0.5 321,log 0.50 ,log 0.50.530.5 3xm 2m3（ mZ ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点, 且关于原点对称,例 10已知幂函数y求 m 的值解： 幂函数ym x22m3（ mZ ）的图象与x 轴、 y 轴都无交点,23m22m30,1m3； mZ ,2 m2 m3Z ,又函数图象关于原点对称,m22m3是奇数,m0或m221例 11、求函数 yx5 2x54（ x 32）值域1解析： 设 tx5, x 32, t 2,就 y t 2 2t 4（ t1）当 t 1 时, ymin3函数 yx22x14（x 32）的值域为 3,）55点评： 这是复合函数求值域的问题,应用换元法五：课后练习1 、 如a 1 在 同 一 坐 标 系 中 , 函 数y=ax 和y=logax的 图 像 可 能 是 （）A B C D 2求值40.0625+61-（）0 - 333= ）yx2483.以下函数在,0 上为减函数的是（1x3yx2yyx3答案：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.已知 x=1,y=1,求xy-x精品资料的值欢迎下载yxyxy235如 a1a1,就 a 的取值范畴是（）D1a0 22A a1Ba0 C1 a0解析： 运用指数函数的性质,选C答案： C 名师归纳总结 6.以下式子中正确选项（）yB logax=logx a-logayax第 8 页,共 8 页A log axy=log ax -log alogayC logax=logaxx -log ay = logyyD log ayloga- - - - - - -