2022年人教版八年级数学下册第十六章二次根式导学案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第十六章 二次根式导学案二次根式 1 一、学习目标1、明白二次根式的概念,能判定一个式子是不是二次根式；2、把握二次根式有意义的条件；3、把握二次根式的基本性质：a0 a0 和a2a a0 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质难点：综合运用性质a0 a0 和a2a a0 ；三、学习过程（一）复习回忆：2（1）已知 x a,那么 a 是 x的_; x 是 a 的_, 记为 _, a 肯定是 _数；（2）4 的算术平方根为 2,用式子表示为 =_；正数 a 的算术平方根为 _,0的算术平方根为 _；式子 a 0 a 0 的意义是；（二）自主学习116 的平方根是；h 单位：米 ；2 一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t 单位：秒 与开头下落时的高度满意关系式h5t2；假如用含 h 的式子表示 t ,就 t = ；3 圆的面积为 S,就圆的半径是；4 正方形的面积为b3,就边长为；摸索：16 ,h,s ,b3等式子的实际意义 . 说一说他们的共同特点 . 5定义 : 一般地我们把形如a（a0）叫做二次根式, a 叫做_；1、试一试：判定以下各式,哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3 ,16 ,3 4 ,5 ,aa0,x21,只有非32、当 a为正数时a 指 a的,而 0 的算术平方根是,负数负数 a 才有算术平方根；所以,在二次根式a 中,字母 a必需满意 , a 才有意义；名师归纳总结 第 1 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、依据算术平方根意义运算：1 4 2 2 3 2（3） .0 5 2（4） 13 22依据运算结果,你能得出结论： a _,其中 a 0 , 4、由公式 a 2a a 0 ,我们可以得到公式 a = a 2 , 利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式；如5 2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=5 2. 练习： 1 把以下非负数写成一个数的平方的形式：6 0.35 2 在实数范畴内因式分解x27 4a2 -11 （三）合作探究例：当 x 是怎样的实数时,2x2在实数范畴内有意义？解：由x20,得在实数范畴内有意义；x2当x2时,x练习： 1、 x 取何值时,以下各二次根式有意义？3x422x21x第 2 页,共 24 页32、（1）如a33a 有意义,就 a 的值为 _（ 2）如x在实数范畴内有意义,就x 为（）；A. 正数 B.负数 C.非负数D.非正数3、1 在式子12x中, x 的取值范畴是 _. 1x2 已知x24+2xy0,就xy_. 3 已知y3xx32, 就x y = _；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （四）达标测试 一 填空题：1、321y10,那么 x = 5, y = ；52、如2 x3、当 x= 时,代数式4x有最小值,其最小值是4、在实数范畴内因式分解：（1）x29x2 2=（x+ ） y- （2）x23x2 2=（x+ ） y- （二）挑选题：1、一个数的算术平方根是a,比这个数大 3 的数为（）235 A 、a3 B 、a3 C、a3 D 、a23 2 、二次根式a1中,字母 a 的取值范畴是（） A 、 al B、a1 C、a1 D、a1 2、已知x30就 x 的值为A、 x>-3 B、x<-3 C、 x=-3 D 、 x 的值不能确定3、以下运算中,不正确选项（）；A、3= 32 B 、 0.5=0 5.2 C、.0620 6. D、 57课后记：二次根式 2 一、学习目标1、把握二次根式的基本性质：a2a 2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点名师归纳总结 重点：二次根式的性质a2a难点：综合运用性质a2a进行化简和运算；第 3 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、学习过程（一）复习引入：（1）什么是二次根式,它有哪些性质？（2）二次根式x25有意义,就 x6x2 ；） y- （3）在实数范畴内因式分解：x22=（x+ （二）自主学习1、运算：420 . 224242a20 2a225观看其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到：当0时,2、运算：420.22a205观看其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到：当0 时 ,a23、运算：02当a0 时,a2（三）合作沟通 1、归纳总结 将上面做题过程中得到的结论综合起来,得到二次根式的又一条特别重要的性质：a2aaaaa00002、化简以下各式：（1）、.02 3（2）、0.52a2（3）、62a2a（4）、2a2= （a0）0 与3、请大家摸索、争论二次根式的性质a a有什么区分与联系；（四）巩固练习 化简以下各式（1）4 x2 x0 2 x4（3）a32a3 （4）2x32（x-2 ）名师归纳总结 第 4 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注：利用a2a可将二次根式被开方数中的完全平方式“ 开方” 出来,达到化简的目的,进行化简的关键是精确确定“a” 的取值；（五）达标测试：A 组1、填空：（ 1）、 x1 2-2 x32 x2 =_. （2）、42= （ 3）a、b、c 为三角形的三条边,就abc2bac_. 2、已知 2x3,化简：x2 2x3B 组3 已知 0x1,化简：x124x124xx4 边长为 a 的正方形桌面,正中间有一个边长为a 的正方形方孔如沿图中虚线锯开,可以拼成 3一个新的正方形桌面你会拼吗？试求出新的正方形边长5、把2xx12的根号外的2x适当变形后移入根号内,得（）A、2xB、x2 C 、2x D 、x26、 如二次根式2x6有意义,化简x-4 - 7- x ；课后记：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二次根式的乘除法 二次根式的乘法 一、学习目标懂得a ·b ab （a0,b 0）,ab =a ·b （a0,b0）,并利用它们进行运算和化简 二、学习重点、难点 重点：把握和应用二次根式的乘法法就和积的算术平方根的性质；难点： 正确依据二次根式的乘法法就和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简；三、学习过程（一）复习引入 1填空：（1）4 ×9=_,4 9 =_；4 ×9 _4 9（2） 16 ×25 =_,1625 =_；16 ×25 _ 16 25（3）100×36 =_, 100 36 =_100 ×36 _ 100 36（二）、探究新知 1、 同学沟通活动总结规律ab =a ·b （a0,b0） 2、一般地,对二次根式的乘法规定为a ·b ab （a0,b0 反过来 : 例 1、运算（1）5 ×7（2）1×9（3）36 × 2 10 （4）5a ·1ay35例 2、化简（1）9 16（ 2）16 81（3）81 100（4）2 9x y2（5）54巩固练习（1）运算：16×855 × 2 1512a3·1 ay 32（2）化简 : 20 ; 18 ; 24 ; 54 ; 2 212a b名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - （三）、同学小组沟通解疑,老师点拨、拓展判定以下各式是否正确,不正确的请予以改正：（1） 4 9412925 =412×25 =4 12 =83（2）412 25×25 =4××2525（四）展现反馈展现学习成果后,请大家争论：对于9 ×27 的运算中不必把它变成243 后再进行计算,你有什么好方法？注：1、当二次根式前面有系数时,可类比单项式乘以单项式法就进行运算：即系数之积作为积的 系数,被开方数之积为被开方数；2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解；（五）达标测试：1、挑选题（2）分解后把能开尽方的开出来；A 组（1）等式 x 1 x 1 x 2 1 成立的条件是（） Ax1 Bx-1 C-1 x1 Dx1 或 x-1 （2）以下各等式成立的是（）A4 5 × 2 5 =8 5 B5 3 × 4 2 =20 5C4 3 × 3 2 =7 5 D5 3 × 4 2 =20 6（3）二次根式 2 2 6 的运算结果是（） A 2 6 B-2 6 C6 D12 2、化简：（1）360 ；（2）32x4；3、运算：（1）1830；（2）32；第 7 页,共 24 页75名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B 组1、挑选题（1）如a2b24 b4c2c10,就b2ac=（）162554 A4 B2 C-2 D1 2 3429（2）以下各式的运算中,不正确选项（） A 4 6 46=（-2 ）× （ -4 ）=8 B 4 a44a422a222a2 CD132122 131213121312131225163 ab ；2、运算：（ 1）6 8 × （ -26 ）；（2）8 ab3、不转变式子的值,把根号外的非负因式适当变形后移入根号内； 1 -32 2 32 a12 a课后记：二次根式的除法一、学习目标1、把握二次根式的除法法就和商的算术平方根的性质；2、能娴熟进行二次根式的除法运算及化简；二、学习重点、难点重点：把握和应用二次根式的除法法就和商的算术平方根的性质；难点： 正确依据二次根式的除法法就和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、学习过程（一）复习回忆 1、写出二次根式的乘法法就和积的算术平方根的性质2、运算：（1）38 × （-46 ）（2）12 ab6 ab33、填空：（1）9=_,9=_；规律：9_9；16161616（2）16 36=_,16 36=_；16_16；3636（3）4 16=_,4 16=_；4_4；1616（ 4）36 81=_36 81=_,36_368181一般地,对二次根式的除法规定：a=a（a0,b>0）反过来,a=a（a0,b>0）bbbb下面我们利用这个规定来运算和化简一些题目（二）、巩固练习1、运算：（ 1）12（2）31（3）11（4）642841638 2 、化简：名师归纳总结 （1）3（2）2 64 b（3）9x2（4）5 x2第 9 页,共 24 页649 a264y169y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注：1、当二次根式前面有系数时,类比单项式除以单项式法就进行运算：即系数之商作为商的系数,被开方数之商为被开方数；2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（三）拓展延长阅读以下运算过程：（2）分母中不含有二次根式；13333,2 52 552 5；3355数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“ 分母有理化”利用上述方法化简：12=_ （）1=_ 1=_ _ 10=_ _ 63 2122 5（四）达标测试：A 组1、挑选题（1）运算112112的结果是（）2335 A 2 75 B2 7 C2 D7（2）化简3 2 27的结果是（）-2-2 C-6 D A -2 B3332、运算：（1）2（2）2 x3（3）11（4）9 x第 10 页,共 24 页488x416642 y名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B 组用两种方法运算：（1）64（2）4683课后记：最简二次根式一、学习目标1、懂得最简二次根式的概念；2、把二次根式化成最简二次根式3、娴熟进行二次根式的乘除混合运算；二、学习重点、难点重点：最简二次根式的运用；难点：会判定二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算；三、学习过程（一）复习回忆1、化简（ 1）4 96x = （2）3 2 27= （5）8= （3）3 5= 4）3 2 27= 2a2、结合上题的运算结果,回忆前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - （二）自主学习观看上面运算题 1 的最终结果,可以发觉这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满意上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式2、化简 : 1 35 2 2 x y44 x y2 3 2 38x y 481220（三）合作沟通1、运算：1221123352、比较以下数的大小（1）.28与23（2）76 与674注： 1、化简二次根式的方法有多种,比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理 化；2、判定是否为最简二次根式的两条标准：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中全部因数或因式的幂的指数都小于 2（四）拓展延长 观看以下各式,通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1112112121,3121332232232,221 221323同理可得：213 =23, 从运算结果中找出规律,并利用这一规律运算（11312 +202212022）（20221）的值2（五）达标测试：1、挑选题（1）假如 x（y>0）是二次根式,化为最简二次根式是（）y Ax（y>0） B xy （y>0） Cxy（y>0） D 以上都不对y y（2）化简二次根式 a a2 2的结果是a A 、a 2 B、-a 2 C、a 2 D、-a 2 2 、填空：（1）化简xx42 2x y =_（x0）（2）已知12,就x1 的值等于 _. x5 3 、运算：（1）1371 2 331114151第 13 页,共 24 页44228742名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、运算：25 ab3a3b3b（ a>0, b>0）b2a5、如 x、y 为实数,且 y=x24x4x21,求xyxy的值；2课后记：二次根式的加减学案 1 学习内容：同类二次根式 二次根式的加减 学习目标：1、懂得同类二次根式,并能判定哪些是同类二次根式 2、懂得和把握二次根式加减的方法、先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的懂得再总结 3 体会,用它来指导根式的运算和化简学习重点、难点 1、重点：二次根式化简为最简根式2、难点：会判定是否是最简二次根式学习过程 一、自主学习（一）、复习引入名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 运算（1）2x3x；（2）2x23 x25x2；（3）x2x3y；（4）3 a22a2a2（二）、探究新知同学活动：运算以下各式（1）2 2 +3 2 = （2）2 8 -3 8 +5 8 = （3）7 +2 7 +3 9 7 = （4）3 3 -2 3 + 2 = 由此可见,二次根式的被开方数相同也是可以合并的,如 2 2 与 8 表面上看是不相同的,但它们可以合并吗？也可以 （与整数中同类项的意义相类似我们把 3 3 与 2 3,3 a、2 a与 4 a 这样的几个二次根式,称为同类二次根式） 3 2 + 8 =3 2 +2 2 =5 2 3 3 + 27 =3 3 +3 3 =6 3所以,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,. 再将同类二次根式进行合并例 1运算（1）8 + 18（2）16x +64x20 ）+（12 -5 ）例 2运算（ 1）348 -91+3 12（ 2 ）（48 +3归纳：第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；其次步,将相同的最简二次根式进行合并二、巩固练习1 121y1y 2 489201265x3273 x1 x4x1（4）2 3xx2 x1x2yx4名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、同学小组沟通解疑,老师点拨、拓展例 3已知 4x 2+y2-4x-6y+10=0 ,求（ 2 3x9x +y2x）- （x21-5xy）的值3 yxx四、课堂检测（一）、挑选题 1以下二次根式： 12 ； 2 ； 2 2； 27 中,与 3 是同类二次根式的是（）3 A和 B和 C和 D和2以下各式： 3 3 +3=6 3 ；1 7 =1； 2 + 6 = 8 =2 2 ； 24 =2 2 ,其中错误7 3的有（） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 3 在以下各组根式中,是同类二次根式的是 A 3 和 18 B 3 和 1 C a 2b 和 ab 2D a 1 和 a 134以下各式的运算中,成立的是 A 2 5 2 5 B 4 5 3 5 1 C x 2 y 2 x y D 45 20 55如 a 1, b 1就 ab a b 的值为 2 1 2 1 b aA2 B 2 C 2 D 2 2二、填空题 1在8 、1 375a 、2 39a 、125 、23a3、30.2 、-21中,与3a 是同类二次根式的8a有_名师归纳总结 2运算二次根式 5a -3b -7a +9b 的最终结果是 _第 16 页,共 24 页 3 如最简二次根式32x1与3x1是同类二次根式,就x_- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4如最简二次根式3 ab与ab2 b是同类二次根式,就a_,b_5运算：（1）1273 aa233 aaa108 a（2）32121750 . 53a3483三、综合提高题先化简,再求值 6xy3xy3 4xx36 xy,其中 x=3 2,y=27xyy课后记：二次根式的混合运算 一、学习目标 娴熟应用二次根式的加减乘除法法就及乘法公式进行二次根式的混合运算；二、学习重点、难点 重点：娴熟进行二次根式的混合运算；难点：混合运算的次序、乘法公式的综合运用；三、学习过程（一）复习回忆：1、填空名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）整式混合运算的次序是：；（2）二次根式的乘除法法就是：；（3）二次根式的加减法法就是：；（4）写出已经学过的乘法公式： 2、运算：（1）6 ·3 a·1b（2）11（3）238112150341625（二）合作沟通1、探究运算：（1）（83）×6（2）4236222、探究运算：（1）2325（2）2322（三）展现反馈运算： （1）12273243212（2） 235 210 -37 ）33（3） 322（4）（10 -7 ）（-名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 注：整式的运算法就和乘法公式中的字母意义特别广泛,可以是单项式、多项式,也可以代表二次根式,所以整式的运算法就和乘法公式适用于二次根式的运算；（四）拓展延长同学们,我们以前学过完全平方公式ab2 a22 ab2 b ,你肯定娴熟把握了吧 . 现在,我们又学习了二次根式,那么全部的正数（包括30）都可以看作是一个数的平方,如3=（3 ）2,5=（5 ）2,下面我们观看：2 2 22 1 222 122 122 21反之,32 222 2121232 222 1322=2 -1 仿上例,求：（1）；423（2）你会算412吗？（3）如a2bmn,就 m、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由（六）达标测试：A 组1、运算：名师归纳总结 （1）8090 5（2）243623第 19 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）a3b3 abab3ab（ a>0, b>0）（4） 2 6-5 2-2 6-5 22、已知a11,b11,求a22 b10的值；22B 组1、运算：（ 1）321 321 （2）31020223102022课后记：二次根式复习 一、学习目标 1、明白二次根式的定义,把握二次根式有意义的条件和性质；2、娴熟进行二次根式的乘除法运算；3、懂得同类二次根式的定义,娴熟进行二次根式的加减法运算；4、明白最简二次根式的定义,能运用相关性质进行化简二次根式；二、学习重点、难点名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 重点：二次根式的运算和化简；难点：二次根式的混合运算,正确依据相关性质化简二次根式；三、复习过程（一）自主复习1如 a0,a 的平方根可表示为 _ a 的算术平方根可表示 _ 2当 a_时,1 2a 有意义,当 a_时,3 a 5 没有意义；3 3 2_ 3 2 2_414 48 _; 72 18 _512 27 _; 125 20 _（二）合作沟通,展现反馈1、式子x42x4 5成立的条件是什么 . 125x3x5x2、运算： 1 121352 249y23运算： 1 25 33 75 2 3 22 32（三）精讲点拨在二次根式的运算、化简及求值等问题中,常运用以下几个式子：名师归纳总结 （1）a2a a0与aa2 a0第 21 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - aa0（2）a2aa0a00 与abab a0, b0（3）abaa0ab a0, b（ 4）aa0,b0 与aa a0,b0bbbb（ 5）b 2a22 abb2与 a2b2aab ab（四）达标测试：A 组1、挑选题：（ 1）化简52的结果是（）92x4 且x2A 5 B -5 C 士 5 D