2022年《空间向量在立体几何中的应用》教学设计.docx
名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一. 教学目标学习必备欢迎下载空间向量在立体几何中的应用教学设计（一）学问与技能 1. 懂得并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；2. 懂得并会用空间向量解决平行与垂直问题 . （二）过程与方法 1. 体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；2. 体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程（三）情感态度与价值观 1. 通过懂得并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值,用空间向量 解决平行与垂直问题的过程, 让同学体会几何问题代数化, 领会解析几何的思想；2. 培育同学向量的代数运算推理才能；3. 培育同学懂得、运用学问的才能二. 教学重、难点 重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问 题难点：用空间向量求二面角的余弦值三. 教学方法：情形教学法、启示式教学法、练习法和讲授法四. 教学用具：电脑、投影仪五. 教学设计（一）新课导入 1. 提问同学：（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？（2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？（二）新课学习1. 用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值. 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - （1）设 1,l 是两条异面直线,A B是1l 上的任意两点,C D是直线2l 上的任意两点,就l l 所成的角的余弦值为ABCD. ABCD（2）设 AB 是平面的斜线,且B,BC 是斜线 AB 在平面内的射影,就斜线 AB 与平面所成的角的余弦值为ABBC. 设 n 是平面的法向量, ABABBC是平面的一条斜线,就AB 与平面所成的角的余弦值为ABn. ABn细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）设n n 是二面角 1 2l学习必备,欢迎下载n 1n 2就是二面角的的面的法向量,就n1n2平面角或补角的余弦值 . 例 1：在棱长为 a 的正方体ABCD' ' ' 'A B C D 中, EF 分别是' 'BC A D 的中点,D'y （1）求直线'AC与DE所成角的余弦值 . 'Az F （2）求直线 AD 与平面B EDF 所成的角的余弦值 . 'B'C'D （3）求平面' B EDF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值 . A G x B E C 分析：启示同学找出三条两两垂直的直线AB,AD,AA ,建立空间直角坐标系A-xyz ,依据已知找出相关点的坐标,然后写出相关向量的坐标,并进行运算就 可以得到所求的结果 . 解：（1）如图建立坐标系,就A '0,0, , a C a a , ,0,D0, ,0,E a ,a,0. 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 2' AC , ,a,DE ,a,0. 2cos' AC DE' ACDE15. ' ACDE15故'AC与DE所成的角的余弦值为15 . 15（2）ADEADF 所以 AD 在平面' B EDF 内的射影在EDF 的平分线上,又' B EDF 为菱形,' DB 为EDF 的平分线,故直线 AD 与平面'B EDF 所成的 角 为' A D B, 建 立 如 图 所 示 坐 标 系 , 就A0,0,0,' B a ,0,a,D0, ,0,DA0,a ,0,DB' ,a a ,cosDA DB'DADB''3. DADB3故 AD 与平面' B EDF 所成角的余弦值为3 . 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）由A 0,0,0,' A学习必备欢迎下载E a ,a,0, 所以平面 ABCD 的'0,0, , a B a ,0, , a D0, ,0,2法向量为m' AA0,0, a , 下面求平面' B EDF 的法向量,设n1, , y z ,由1,2,1. EDa,a, 0, EB'0,aa ,nED0y2,nnEB '0z122cosn mmn6. mn6所以,平面' B EDF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为6 . 6课堂练习：A1. 如图, PA平面ABC,ACBC PAAC1,BC2,求二面角P PBC 的余弦值 . z E x A D C B y 参考答案：解：建立如下列图空间直角坐标系Cxyz ,取 PB的中点 D ,连DC 可证 第 3 页,共 6 页 DCPB ,作 AEPB 于 E ,就向量 DC与EA的夹角的大小为二面角APBC的大小；A1,0,0,B0,2,0,C0,0,0,P1,0,1, D 为 PB的中点,1,2 1 ,2 2,在 Rt PAB 中,PEAP21. 2EBAB23E 分PB 的比为1,E3,2 3 ,4 4EA1,2,334444DC1,2,1,EADC1,EA3,22222细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -DC1,cosEA DC11学习必备欢迎下载3 3. 232二面角 APCC 的余弦值为3 . 3引导同学归纳：用空间向量求二面角的余弦值时, 是将求二面角的余弦值问题转化为求两平面的法向量的夹角的余弦值问题,这里要明确：（1）当法向量 n 1 与 n 2 的方向分别指向二面角内侧与外侧时,二面角的大小等于法向量 n 1 与 n 2 的夹角的大小；（2）当法向量 n 1 与 n 2 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角的大小等于法向量 n 1 与 n 2 的夹角的补角 n n 2 . 2. 利用向量向量解决平行与垂直问题 . 例 2：如图 , 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AC3,BC4,AA14,AB 5 , 点 D是 AB的中点,（I ）求证： ACBC1；（II ）求证： A1C/ 平面 CDB分析：启示同学找出三条两两垂直的直线CA,CB,CC 1,建立空间直角坐标系C-xyz ,依据已知找出相关点的坐标,然后写出相关向量的坐标,并进行运算就可以得到两条直线垂直或平行. 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - 解：直三棱柱ABCA1B1C1 底面三边长AC3,BC4,AB5, AC、BC、C1C两两垂直,如图,以C为坐标原点,直线CA、CB、C1C分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,就C（0,0 ,0）,A（3,0 ,0）,C1（0,0 ,4）,B（0,4 ,0）,B1（0,4 ,4）,D（3 ,2,0 ）2（1） AC （ 3,0 ,0）,BC （0,4,0 ）, AC .BC 0,ACBC1. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（2）设 CB1与 C1B的交战为 E,就 E（0,2 ,2）. DE （3 ,0,2 ）,AC 2（ 3,0 ,4）,DE 1 AC ,DE AC1. DE 平面 CDB 1,AC1 平面 CDB 1.2 AC1/ 平面 CDB 1. 引导同学归纳：（1）垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零；（2）平行问题转化为：面面平行线面平行线线平行 . 课堂练习：2. 在直三棱柱ABCA B C 中,AC3,BC4,AB5,AA 14, B 1（1）求证ACBC （2）在 AB 上是否存在点 D 使得AC 1CD.（3）在 AB上是否存在点 D 使得A C/平面CDB1. C 1Z A 1C x A D B y 参考答案：解：直三棱柱 ABC A B C ,AC 3, BC 4, AB 5, AC BC CC 两两垂直,以 C为坐标原点,直线 CA CB CC 分别为 x 轴 y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,就 C 0,0, 4, A 3,0,0, C 1 0,0, 4,B 0,4,0, B 1 0, 4,4 . （1）AC 3,0,0, BC 1 0, 4,4,AC BC 1 0, AC BC 1AC BC . （2）假设在 AB 上存在点 D ,使得 AC 1 CD ,就 AD AB 3 , 4 ,0其中 0 1,就 D 3 3 ,4 ,0,于是 CD 3 3 ,4 ,0 由于 AC 1 3,0,4,且 AC 1 CD . 所以 9 9 0 得 1 ,所以在 AB 上存在点 D 使得 AC 1 CD ,且这时点 D 与点 B 重合. 细心整理归纳 精选学习资料 （3）假设在 AB 上存在点 D 使得AC1/平面CDB1,就ADAB3,4,0 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -其中 01就D33 ,4,0,学习必备3欢迎下载4, 4又B C 10, 4, 4.B D 13 ,4由于AC 13 ,0,AC 1 /平面CDB1,1所以存在实数m n , ,使AC 1mB D 1nBC 1成立,m33 3,m 444n0, 4m4n4,所以1 2,所以在 AB 上存在点 D 使得AC1/平面CDB,且 D 使 AB 的中点 . 引导同学感悟：空间向量有一套良好的运算性质,它可以把几何图形的性质转化为向量运算,实现了数与形的结合, 在解决立体几何的夹角、 平行与垂直等问题中表达出庞大的优越性 . （二）课外作业1. 如图 , 在直三棱柱 ABCA1B1C1中, ACB=90° , CB=1,CA= 3 , AA 1= 6 ,M为侧棱 CC1上一点 , AMBA ACB（1）求证 : AM平面A BC ；（2）求二面角 BAMC的大小；MC A B 2. 如图,直三棱柱ABCA1B1C1中, D,E 分别是 AB,BB1的中点, AA1ACCB2 AB . 21 证明： BC1 平面 A1CD；2 求二面角 DA1CE 的正弦值细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -
