2022年中考数学专题探究-----面积问题4.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中考数学专题 -面积问题 （2）面积倍分问题面积问题在中考中占有很重要的位置,一般情形下, 运算一些基本图形的面积,可以直接运用图形的面积公式,对于一些不规章的图形面积的运算,可以对图形进行转化, 这类问题虽然解题方法比较敏捷多样,但难度一般不太大； 但是,在中考压轴题中, 有关面积的问题常常以动态的方式显现,常常与函数学问联系起来,有时仍需要分类争论；因此,对考生要求较高,在解题时,要留意分清其中的变量和不变量, 并把运动的过程转化成静止的状态,做到动静结合, 以静求动；中考数学面积问题的考点主要有： （1）面积的函数关系式问题； （2）面积的最值问题；（3）面积的倍分问题；前二个考点在上次的专题中已经讲过,今日我 们来探究面积的倍分问题；一、典型例题：1、（2007 江苏扬州） 如图,矩形 ABCD 中,AD点 M,N 同时从 B 点动身,分别沿 B A, B3 厘米, AB a 厘米（a 3）动C 运动,速度是 1厘米秒过 M 作直线垂直于 AB ,分别交 AN , CD 于 P,Q当点 N 到达终点 C 时,点 M 也随之停止运动设运动时间为 t 秒（1）如 a 4 厘米,t 1 秒,就 PM _厘米；（2）如 a 5 厘米,求时间 t ,使PNBPAD,并求出它们的相像比；（3）如在运动过程中, 存在某时刻使梯形 范畴；PMBN与梯形PQDA的面积相等, 求a的取值（ 4）是否存在这样的矩形：在运动过程中,存在某时刻使梯形 PMBN ,梯形 PQDA ,梯形 PQCN 的面积都相等？如存在,求a 的值；如不存在,请说明理由D Q C D Q C A P N A P N B B M M 分析：问题（ 1）比较简单解答,问题（ 2）利用三角形相像的性质也简单解决,问题（ 3）需要利用BM=BN=t, 利用面积相等求出t和 a 的关系式,利用t 的范畴求 a 的取值范畴,问题（ 4）只需要在问题（ 3）的基础上,让梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可；名师归纳总结 解（1）PM3,4PNBPAD,相像比为 3: 2,第 1 页,共 9 页（2）t2,使（3）PMAB,CBAB,AMPABC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载at,PMt a at,BN BMAMPABC,PMAM即PMaBNABtQM3t atMPa QPAD DQ当梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等,即223tat3attattt化简得t6 a,PQCN 的a2a26at 3,6 a3,就a ,3a6,6a（4）3a 6时,梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等梯形 PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可,就CNPMt a at3t,把t6a代入,解之得a2 3,所以a2 36a所以,存在 a ,当a2 3时梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积、梯形面积相等温馨提示： 此题考查与面积有关的问题, 解答的关键是将梯形的 面积相等转化后求解,另外,在解决这一类问题时,要善于运用数形结合的思想,把几何条件转化,建立合适的数学模型,用了方程的思想；此题就充分运二、名题精练：1、（20XX年浙江丽水）如图, 在平面直角坐标系中,已知点 A 坐标为（ 2,4）,直线xA 2与 x 轴相交于点 B ,连结 OA,抛物线yx2从点 O 沿 OA方y向平移,与直线x2交于点 P ,顶点 M 到 A 点时停止移动（ 1）求线段 OA所在直线的函数解析式；P M O xB x2（第 24 题）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（ 2）设抛物线顶点M 的横坐标为 m , 用 m 的代数式表示点P 的坐标；当 m 为何值时,线段 PB 最短；（3）当线段 PB最短时, 相应的抛物线上是否存在点Q ,使 QMA的面积与PMA的面积相等,如存在,恳求出点Q 的坐标；如不存在,请说明理由2、（20XX年江苏宿迁）（此题满分12 分）已知抛物y0 、B3 ,0,交 y线yx2bxc交 x 轴于A ,1轴于点 C ,其顶点为 D （ 1）求 b 、 c 的值并写出抛物线的对称轴；COABxD（第 28 题）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）连接 BC ,过点 O作直线OE学习必备欢迎下载E 求证：四边形 ODBEBC交抛物线的对称轴于点是等腰梯形；yCEOAMBxD（第 28 题 2）（ 3）问 Q 抛物线上是否存在点Q ,使得OBQ 的面积等于四边形ODBE的面积的1 ？3如存在,求出点Q 的坐标；如不存在,请说明理由它与 x 轴、 y 轴分相交于A、3、（2022 湖南邵阳） 如图、直线l 的解析式为y x+4,B 两点,平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 动身,沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,它与 x 轴、 y 轴分别相交于 M 、N 两点,运动时间为 t 秒（ 0<t4）（1）求 A、 B 两点的坐标；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）用含 t 的代数式表示学习必备欢迎下载MON 的面积 S1；（3）以 MN 为对角线作矩形OMPN, 记 MPN 和 OAB 重合部分的面积为S2；当 2<t4 时,摸索究S2 与之间的函数关系；5 ？16在直线 m 的运动过程中,当t 为何值时, S2 为 OAB 的面积的名师归纳总结 m y B A x y B E P A x 第 5 页,共 9 页l l m N N P O M F O M - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答案部分 ：1、解：（1）设 OA所在直线的函数解析式为ykx, A （2, 4）,2k 4 , k 2 , OA所在直线的函数解析式为 y 2 x .（2）顶点 M 的横坐标为 m ,且在线段 OA上移动,y 2 m（0m 2）. 顶点 M 的坐标为 m ,2m .抛物线函数解析式为yxm 22m . （ 1 分）当x2时,y2m22 mm 22 m4（0 m 2）.点 P 的坐标是（ 2,m22m4）. PB =m22m4=m2 13, 又 0 m 2,当m1时, PB最短 . （3）当线段 PB 最短时,此时抛物线的解析式为yx122假设在抛物线上存在点Q ,使SQMASPM A. 设点 Q 的坐标为（ x ,x22x3）. 当点 Q 落在直线 OA的下方时,过PB3,AB4,P 作直线 PC / AO ,交 y 轴于点 C ,AP1,OC1, C 点的坐标是（ 0,1）. .E yM A D x点 P 的坐标是（ 2,3）,直线 PC 的函数解析式为y2x1SQM ASPMA,点 Q 落在直线y2x1上. P x22x3= 2x1. 解得x 12,x22,即点 Q （2,3）. 点 Q 与点 P 重合 . O C xB 2此时抛物线上不存在点Q ,使QMA 与 APM 的面积相等 . 当点 Q 落在直线 OA的上方时,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载作点 P 关于点 A 的对称称点 D ,过 D 作直线 DE /AO ,交 y 轴于点 E ,AP1,EODA1, E 、 D 的坐标分别是（0,1）,（2,5）,直线 DE 函数解析式为y2x1 .25,22SQM ASPMA,点 Q 落在直线y2x1上. x22x3= 2x1. 解得：x 122,x 222. 代入y2x1,得y 152 2,y 2522.此时抛物线上存在点Q 122,522,Q22使 QMA 与 PMA 的面积相等 . 综上所述,抛物线上存在点Q 122,522,Q222,522使 QMA 与 PMA 的面积相等 .2、解 ：（1）求出：by4,c43,抛物线的对称轴为：x=2 x23,易得 C 点坐标为 （0,3）,D 点坐标为 （ 2,-1）2 抛物线的解析式为x设抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 F,易得 F 点坐标为（ 2,0）,连接 OD ,DB,BE OBC 是等腰直角三角形,DFB 也是等腰直角三角形,E 点坐标为（ 2,2）, BOE= OBD= 45OE BD 四边形 ODBE 是梯形在RtODF和Rt2EBF中,2 15,BE=EF2FB22 22 15OD=OF2DF22OD= BE 四边形 ODBE 是等腰梯形3 存在,名师归纳总结 由题意得：S 四边形ODBE1 2OBDE31=339 2193第 7 页,共 9 页2设点 Q 坐标为（ x,y）,1 2OByy1S四边形ODBE由题意得：S 三角形OBQ23322y1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 y=1 时,即x24x31学习必备欢迎下载2,x222,1x2Q 点坐标为（ 2+2 , 1）或 2-2 ,1 当 y=-1 时,即x24x31,x=2,Q 点坐标为（ 2,-1）综上所述,抛物线上存在三点Q 1（ 2+2 ,1）,Q 22-2 ,1 ,Q 3（ 2,-1）使得S三角形OBQ=1S四边形ODBE3E Q2F Q1Q33、解：（1）当x0时,y4；当y0时,x4A4 0,（0 4,）；名师归纳总结 （2）MNAB,OMOA1,OMONt,S 11OM ON1t2第 8 页,共 9 页ONOB22（3）当 2t 4时,易知点 P 在OAB的外面,就点P 的坐标为 t,t, F 点的坐标满意xt,即 4,F t 4t,yt8；同理E4t,t,就PFPEt4- 2 t4,所以S 2SMPNSPEFSOMNSPEF1t21PE PF1t21 22 t4 2 t4 3t28 t2222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 0t 2时,S 21t2 1,2t2学习必备欢迎下载,514 45 22162名师归纳总结 解得t 150,t252,两个都不合题意,舍去；t47,第 9 页,共 9 页当 2t 4时,S 23t28 t85,解得t33,223综上得,当t7或t3时,S 为OAB的面积的5316- - - - - - -