2022年北京四中-高中数学高考综合复习专题十二三角函数的图象与性质.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学高考综合复习学习必备欢迎下载三角函数的图象与性质专题十二一、学问网络二、高考考点（一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域,值域或最值问题；2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函 数的单调区间；比较大小的判定等 . 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及难度较高的含有肯定值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换；2、型三角函数的图象问题；重点是“ 五点法 ” 作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式；3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；4、利用函数图象解决应用问题 . （三）化归才能以及关于三角函数的认知变换水平 .三、学问要点（一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性（ 1）基本函数的奇偶性 奇函数： y sinx,ytanx；偶函数： y cosx. 名师归纳总结 （ 2）型三角函数的奇偶性第 1 页,共 22 页（xR）（） g（x）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载g（x）为偶函数由此得；同理,为奇函数. （）为偶函数；. 为奇函数3、周期性（ 1）基本公式（）基本三角函数的周期ysinx ,ycosx 的周期为；的周期为；ytanx,ycotx 的周期为. （）型三角函数的周期的周期为 . （ 2）认知（）型函数的周期的周期为；的周期为 . （）的周期的周期为；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的周期为 . 均同它们不加肯定值时的周期相同,即对 y的解析式施加肯定值后,该函数的周期不变 .留意这一点与（）的区分 . （）如函数为 型两位函数之和,就探求周期适于“最小公倍数法” .（）探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验 猜想 证明 . （ 3）特别情形争论（） ytanxcotx 的最小正周期为；（）的最小正周期为；（） ysin4xcos 4x 的最小正周期为. 由此领悟 “最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象. 4、单调性（ 1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲 ” ：选周期：在原点邻近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称的一个周期；写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；获通解： 在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 . 揭示：上述“三部曲 ”也适合于寻求简洁三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 . （ 2）y型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲 ” 为换元、分解：令 u,将所给函数分解为内、外两层：yf（u）, u；套用公式：依据对复合函数单调性的认知,确定出 f（u）的单调性,而后利用（1）中公式写出关于 u 的不等式；仍原、结论：将 u代入中 u 的不等式,解出 x 的取值范畴,并用集合或区间形成结论 . （二）三角函数的图象1、对称轴与对称中心（ 1）基本三角函数图象的对称性（）正弦曲线ysinx 的对称轴为,0）；. 正弦曲线ysinx 的对称中心为（）名师归纳总结 余弦曲线ycosx 的对称轴为；第 3 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 余弦曲线ycosx 的对称中心学习必备欢迎下载（）正切曲线ytanx 的对称中心为；正切曲线 ytanx 无对称轴 . 认知：两弦函数的共性：x为两弦函数f（x）的对称轴为最大值或最小值；0. （,0）为两弦函数f（x）的对称中心正切函数的个性：（,0）为正切函数 f（x）的对称中心0 或 不存在 . （ 2）型三角函数的对称性（听从上述认知）（）对于 g（x）或 g（x）的图象x为 g（x）的对称轴 为最值（最大值或最小值）；（,0）为两弦函数 g（x）的对称中心0. （）对于 g（x）的图象（,0）为两弦函数 g（x）的对称中心0 或 不存在 . 2、基本变换（ 1）对称变换（ 2）振幅变换（纵向伸缩）（ 3）周期变换（横向伸缩）（ 4）相位变换（左右平移）（ 5）上、下平移3、y的图象（ 1）五点作图法（ 2）对于 A ,T,的认知与寻求： A：图像上最高点（或最低点）到平稳位置的距离；2A ：图像上最高点与最低点在 y 轴上投影 间的距离 . ：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - ： 由 T 得出 . 学习必备欢迎下载：解法一：运用“代点法 ”求解,以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策,如以图象与 x 轴交点坐标代入函数式求,就须留意检验,以防所得 值为增根；解法二：逆用“五点作图法 ” 的过程（参见经典例题）. 四、经典例题例 1、 求以下函数的值域：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）分析： 对于形如（ 1）（2）（3）的函数求值域,基本策略是（）化归为 的值域； （）转化为 sinx（或 cosx）的二次函数；对于（4）（ 5）（ 6）之类含有肯定值的函数求值域,基本策略就是（）在适当的条件下考察y 2；（）转化为分段函数来处理；（）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化 . 解：（ 1）,即所求函数的值域为 . （ 2）由名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载留意到这里xR,所求函数的值域为 1,1. （ 3）这里令 sinx cosxt 就有且由于是有因此,所求函数的值域为 . （ 4）留意到这里 y>0,且即所求函数的值域为 . （ 5）留意到所给函数为偶函数,又当名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载此时同理,当亦有. . 所求函数的值域为（ 6）令就易见 f（x）为偶函数,且是 f（x）的一个正周期.只需求出 f（ x）在一个周期上的取值范畴 . 当 x 0,时,又留意到, x为 f（ x）图象的一条对称轴只需求出f （x）在 0, 上的最大值 . 而在 0 ,上,递增 .由得亦递增 上单调递增 . f （x）在 0,即 于是由、得所求函数的值域为 . 点评： 解（ 1）（ 2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于 sinx cosx 与 sinxcosx 的函数值域的特定方法；解（ 4）借助平方转化；解（5）（ 6）就是利用函数性质化繁为简,化暗为明 .这一点在解（6）时表现得淋漓尽致 . 例 2、 求以下函数的周期：名师归纳总结 （ 1）；第 7 页,共 22 页（ 2）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 3）；学习必备欢迎下载（ 4）（ 5）分析： 与求值域的情形相像,求三角函数的周期,首选是将所给函数化为k 的形式,而后运用已知公式 .对于含有肯定值的三角函数,在不能利用已有认知的情形下,设法转化为分段函数来处理 . 解：（ 1）所求最小正周期 . （ 2）所求周期 . （ 3）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 学习必备欢迎下载留意到的最小正周期为,故所求函数的周期为. （ 4）留意到 3sinx 及 -sinx 的周期为2,又 sinx 0（或 sinx<0 ）的解区间重复显现的最小正周期为2. 所求函数的周期为2. （ 5）留意到 sin2x 的最小正周期,又 sinx 0（或 sinx<0 ）的解区间重复显现的最小正周期,这里的最小公倍数为. . 所求函数的周期点评： 对于（ 5）,令就由知,是 f（x）的一个正周期.又不是 f（ x）的最小正周期. 于是由知,f（ x）的最小正周期为在一般情形下,探求上述一类分段函数的周期,仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的,仍要考虑各分支中的条件区间重复显现的最小正周期 .双方结合,方可能获得正确结果 . 请大家争论 的最小正周期, 并总结自己的有关感悟与体会 . 例 3、 已知函数 的部分图象,（ 1）求 的值；（ 2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标 . 解：名师归纳总结 （ 1）令,就由题意得f（0） 1第 9 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载留意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为得：由此解得所求,. （ 2）由（ 1）得,故逆用 “五点作图法 ”令,解得；,函数 f（x）图象的对称轴方程为令解得,函数 f（x）图象的对称中心坐标为 . 点评： 前事不忘,后事之师 .回忆运用 “ 五点作图法 ” 作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程,便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满意的等式：例 4、（ 1）函数的单调递增区间为；（ 2）如函数上为单调函数,就a 的最大值为；（ 3）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数学习必备欢迎下载；的图象的对称中心是函数的图象中相邻两条对称轴的距离为为（ 4）把函数；的图象向左平移m（m>0 ）个单位,所得的图象关于y 轴对称,就m 的最小正值（ 5）对于函数x对称；,给出四个论断：它的图象关于直线它的图象关于点（,0）对称；它的周期为；,写出你认为正确的命题,它是；它在区间,0上单调递增. 以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论分析：（ 1）这里 的递增区间的正号递减区间递增且应填（ 2）由 f（x）递增得易见,由 f（x）递减得名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 k 0 时,留意到 而不会属于其它减区间,故知这里a 的最大值为. （ 3）（）令所给函数图象的对称中心为（,0）；（）解法一（直接寻求）在中令就有 又在中令k0 得,令 k 1 得所求距离为解法二（借助转化）：留意到所求距离等于函数的最小周期的一半,又由得这一函数的最小正周期为T,故所求距离为. 将 这 一 函 数 图 象 向 左 平 移m （ m>0 ） 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为（ 4 ） 这 里令名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就由题设知f （x）为偶函数. 学习必备欢迎下载f（ x） f （x）所求 m 的最小值为（5）为使解题的眉目清楚,第一需要认定哪个论断必需作为条件,哪个论断只能作为结论,哪个论断既可作为条件,又可作为结论；一般地,独自打算图象外形的论断必需作为条件,既不能打算外形,也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里,必需作为条件,而只能作为结论 .于是这里只需考察、 、与、 、这两种情形 . （）考察、 、是否成立 . 由得,故；又由得留意到 . 在、之下,易知此时、成立. （）考察、是否成立. ；由得,故又由得留意到 . 在、之下,易知此时、成立. 于是综合（）（）得正确的命题为、与、 . ；点评： 对于（ 4）利用了如下认知：. 对于（ 5）,认定哪个论断必需作为条件,哪个论断必需作为结论是认知问题和简化解题过程的关键,请大家留意领悟和把握这一环节. 的最小正周期为2,当时, f（ x）取得最大值2. 例 5、 已知（ 1）求 f（x）的表达式；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 2）在闭区间 上是否存在 f（x）图象的对称轴？假如存在,求出其方程；假如不存在,说明理由 . 分析： 出于利用已知条件以及便于考察 f（ x）的图象的对称轴这两方面的考虑,先将 f （x）化为k 的形式,这是此类问题的解题的基础 . 解：（ 1）去令,即就有由题意得又由知,留意到这里A>0 且 B>0 ,取帮助角,就由得 （ 2）在中令解得 xk解不等式 留意到,故由得k5. . 于是可知,在闭区间上有且仅有一条对称轴,这一对称轴的方程为点评： 对于最值,对称轴和对称中心等问题,f （x）一经化为k 的形式,解题便胜券在握. 例 6、 已知点的图象上 .如定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（ 0, ）上是增函数,且g（2） 0.求当 gf （x）<0 且 x0 , 时,实数 a 的取值范畴 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 由点 A、B 都在函数学习必备欢迎下载的图象上得：, ba,c1a. 此时,由gf （x）<0 且 x0 ,解出 a 的范畴,一方面需要利用g（ x）的单调性脱去“ f ”,另一方面又要留意借助换元进行转化：化生为熟,化繁为简.因此,下一步的首要工作是考察并利用g（x）的单调性 . 解： 由分析得定义在非零实数集上的奇函数 g（x）在（ 0, ）上是增函数,且 g（2） 0, g（x）在（ ,0）上是增函数,且 g（ 2） 0 由知,当 x<-2 或 0<x<2 时, g（x）<0 又设 . 就 h（t） at（ 1a）,. gf （x）<0 且 x0 ,ght<0 ,且. 由得,当时, h（t）<2 或 0<ht<2留意到 h（t） at（ 1a）由 h（t）<2 得 h（ 1）<2a<0 或 h<-2a>0, . 由 0<ht<2 得,解得于是综上可知,所求a 的取值范畴为. .在下面的求解中,对0<ht<2亦点评： 在这里,由到的转化,是由“抽象 ”向“ 详细 ”的转化,此为解题关键环节可通过分类争论来完成. ,对于 h（t） at（ 1a）0<ht<2h（t）>0 且 h（t）<2 （ 1）ht>0 ,第 15 页,共 22 页当 a>0 时, ht在上递增,由得,h1>0 ,明显成立；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载；当 a<0 时, ht在上递减由得,h>0（1）a 1>0 当 a0 时, h（t）明显满意1<ht<2. 因此由 ht>0 ,得1<a0（ 2）ht<2 ,当 a>0 时, ht在上递增,；由得,h<2当 a<0 时, ht在上递减由得,h1<2, 明显满意条件；当 a0 时, h（t） 1,明显满意条件. 因此由得于是综合（ 1）（ 2）知,由0<ht<2 推出五、高考真题（一）挑选题1、（2005 湖北卷）如C. （）A. B. D. 分析：留意到我们对的熟识,故考虑从认知的范畴入手,去明白的范畴 . 由,应选 C. 2、 函数）B. 的部分图象第 16 页,共 22 页如图,就（A. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C. D. . 学习必备欢迎下载分析：由图象得,又 f1=1 ,留意到,应选 C. （二）、填空题1、（ 2005 湖北卷） 函数 的最小正周期与最大值的和为；分析：对于含有肯定值的三角函数的周期或值域,基本策略是化为分段函数,分段寻求周期或范畴,而后综合结论 . （ 1）留意到 sin2x 的最小正周期,而 sinx 0的解区间重复显现的最小正周期,而 的最小公倍数为,故所求函数的最小正周期为,. （ 2）由分段函数知,y 的最大值为于是由（ 1）（ 2）知应填 . 2、（2005 辽宁卷）是正实数, 设含 2 个元素,就的取值范畴是.如对每个实数a,a 使的元素不超过两个,且有；分析：名师归纳总结 留意到有a 使含有两个元素,第 17 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 相邻两值之差的元素不超过两个,学习必备欢迎下载留意到值之差相间的两个由、得 . 点评：对于（ 1）,在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后,仍要考察各分支中“不等式的解区间”重复显现的周期,二者结合才能得出正确结论 . 对于（ 2）,这里的 打算于 f（x）在一个周期图象的左端点横坐标,由此便于熟识相邻两个 值之差 的意义 . （三）解答题1、（ 2005 重庆卷） 如函数的最大值为2,试确定常数a 的值 . 分析：鉴于过去的体会,第一致力于将f （x）化为k 的形式,而后便会一路坦途. 解：由已知得 . 点评：此题看似简洁,但考察多种三角公式,亦能表达考生的基本才能 . 2、（ 2005 全国卷 I ）设函数 yf （x）图象的一条对称轴是直线 . （ 1）求；（ 2）求函数 yf （x）的单调增区间；（ 3）证明直线 5x2yc0 与函数 yf（x）的图象不相切 . 分析： 对于（3）,由于 f（x）为三角函数, 故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题 .其中,要证直线与（x）的图象不相切,只需证直线的斜率不属于 y f（x）图象上点的切线斜率的取值集合 . 解：（ 1）名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为函数学习必备欢迎下载图象的对称轴,即又 . （ 2）由（ 1）知,当 时, yf （x）递增,所求函数f （x）的增区间为. （ 3） yf （x）图象上点的切线的斜率范畴为 2,2. ,. 而直线 5x2yc0的图象不相切直线 5x2yc0 与函数点评：有导数及其几何意义奠基,便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题 .此题（3）的解题思路,值得大家认真领悟与品悟 . 3、（ 2003 江苏卷） 已知函数 是 R 上的偶函数,其图象关于点 M （）对称,且在区间 上是单调函数,求 的值 . 分析：在此类三角函数问题中,已知函数的周期可直接确定 的值；已知函数图象关于某直线（或某点）对称,就只能导出关于 的可能取值,此时要进一步确定 的值,仍需要其它条件的帮助；而已知函数在某区间上单调的条件,一般只在利用函数图象对称性寻出 的可能取值之后,用它来进行认定或挑选 . 解：由 f（x）为偶函数得 f（ x） f （x）（ xR）即名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载又故有由 f（x）图象关于点M （）对称得令 x 0 得而由此解得当 k 0 时,此时当 k 1 时,当 k2时,故此时因此,综合以上争论得或. 所求,而或. 名师归纳总结 点评：对于正弦函数yk 或余弦函数yk,在单调区间 “完整 ”的一个周期T ,第 20 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 恰是增减区间的长度各为学习必备欢迎下载.因此,如区间的；而在任何一个周期T 上,增区间（或减区间） 的长度均不超过长度大于,就函数在区间上不会是单调函数. 4、（ 2005 天津卷） 设函数 f（x） xsinx （xR）. （ 1）证明：,其中 k 为正整数 . （ 2）设（ 3）设 f（x）在（ 0, ）内的全部极值点按从小到大的次序排列为,证明：分析：留意到正弦函数为 f（x）的成员函数之一,试题中又指出 f（x）的极值点,故需应用导数争论极值的方法与结论 .可见,解（ 2）（ 3）,均需要从 f （ x）切入 . 证明：（ 1） f（ x） xsinx （ xR）（ 2）令x tanx明显 cosx0 不是的解,故由得,即有,于是（ 3）设是的一个正整数根,即,留意到,就由直线yx 与曲线y tanx 的位置关系知：,存在,使对每一个g（x） x tanx 在上是增函数,且名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 g（x）在又 cosx 在 内符号不变,（ xtanx）cosxsinx xcosx 在与在内异号,全部满意的都是 f（x）的极值点 . ,由题设为方程 x tanx 的全部正根 . 且再留意到而 1由得 于是由、得,名师归纳总结 点评：在这里应留意对（2）、（ 3）中极值点的区分.对于（ 2）,只需满意.即可；对于（3）中的不仅要满意左右两边异号,仍需认定在点 x第 22 页,共 22 页- - - - - - -