2022年中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学重难点专题讲座第八讲 动态几何与函数问题【前言】在第三讲中我们已经争论了动态几何问题的一般思路,但是那时候没有对其中夹杂的函数问题绽开来分析；整体说来, 代几综合题大致有两个侧重,第一个是侧重几何方面,利用几何图形的性质结合代数学问来考察；而另一个就是侧重代数方面,几何性质只是一个引入点,更多的考察了考生的运算功夫；但是这两种侧重也没有很严格的分野,许多题型都很类似；所以相比昨天第七讲的问题,这一讲将重点放在了对函数,方程的应用上；其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象；不过从近年北京中考的趋势上看,要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小,大多是一个较为简洁的函数式,表达了中考数学的考试说明当中“ 削减复杂性”“ 增大敏捷性” 的主体思想；但是这也不能放松,所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂运算题仅供参考；【例1】如图 所示,直角梯形OABC 的顶点 A 、C 分别在 y 轴正半轴与x 轴负半轴上 .过点 B、C 作直线 l .将直线 l 平移,平移后的直线l 与x轴交于点 D,与y轴交于点 E. （ 1）将直线 l 向右平移,设平移距离 CD 为 t （t 0）,直角梯形 OABC 被直线 l 扫过的面积（图中阴影部份）为 s , s 关于 t 的函数图象如图 所示, OM 为线段, MN 为抛物线的一部分, NQ 为射线,且 NQ 平行于 x 轴, N 点横坐标为 4,求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积 . （ 2）当 2t4时,求 S 关于 t 的函数解析式 . 【思路分析】此题虽然不难,但是特别考查考生对于函数图像的懂得；许多考生看到图名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二的函数图像没有数学感觉,反应不上来那个M 点是何含义,于是无从下手；其实M 点就表示当平移距离为 2 的时候整个阴影部分面积为 8,相对的, N 点表示移动距离超过 4 之后阴影部分面积就不动了；脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当 D 移动过了 0 点的时候.所以依据这么几种情形去作答就可以了；其次问建立函数式就需要看出当 2 t 4 时,阴影部分面积就是整个梯形面积减去ODE 的面积,于是依据这个构造函数式即可；动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系,然后利用对应关系去分段求解；【解】（ 1）由图（ 2）知, M 点的坐标是（ 2,8）由此判定：AB2,OA4；412. 3 分 N 点的横坐标是4, NQ 是平行于x轴的射线,CO4直角梯形 OABC 的面积为：1ABOCOA1 2 242（ 2）当 2t4时,基本上实际考试中遇到这阴影部分的面积=直角梯形 OABC 的面积ODE 的面积种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特别图形有割补关系 S121OD OE2OD1,OD4tOE2OE2 4t. S1212 4t4t124t22St28 t4. 【例2】名师归纳总结 已知： 在矩形 AOBC 中,OB4,OA3分别以 OB,OA所在直线为 x 轴和 y 轴,第 2 页,共 18 页B,C重合）,过F 点建立如下列图的平面直角坐标系F 是边 BC 上的一个动点（不与的反比例函数ykk0的图象与 AC 边交于点 E x（ 1）求证：AOE与BOF的面积相等；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）记SSOEFSECF,求当 k 为何值时, S 有最大值,最大值为多少？（ 3）请探究： 是否存在这样的点 F ,使得将CEF 沿 EF 对折后, C 点恰好落在 OB上？如存在,求出点 F 的坐标；如不存在,请说明理由【思路分析】此题看似几何问题,但是实际上AOE 和 FOB 这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F 点的横坐标和纵坐标,而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K；所以直接设点即可轻松证出结果；其次问有些同学可能依旧纠结这个EOF 的面积该怎么算,事实上从第一问的结果就可以发觉这个矩形中的三个 RT 面积都是反常好求的；于是利用 矩形面积减去三个小 RT 面积即可,经过一系列化简即可求得表达式,利用对称轴求出最 大值； 第三问的思路就是假设这个点存在,看看能不能证明出来；由于是翻折问题,翻折之 后大量相等的角和边 ,所以自然去利用三角形相像去求解,于是变成一道比较典型的几何题 目,做垂线就 OK. 【解析】（ 1）证明：设E x 1,y 1,F x 2,y2,AOE与FOB的面积分别为S ,S ,由题意得y 1k,y2kx 1x2S 11x y 11k ,S 21x y21k 2222F4,k4, 想不到这样设点也可S 1S ,即AOE与FOB的面积相等（ 2）由题意知：E,F两点坐标分别为Ek, ,3以直接用 X 去代入 ,麻烦一点而已 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - SECF1EC CF141k31k,2234名师归纳总结 SEOFS 矩形AOBCSAOESBOFSECF121k1kSECF12kSECF第 4 页,共 18 页22SSOEFSECF12k2SECF12k2141k31k234S1k2k 12当k2116时, S 有最大值12S最大值413112（ 3）解：设存在这样的点F,将CEF沿 EF 对折后, C 点恰好落在 OB 边上的 M点,过点 E 作 ENOB ,垂足为 N 由题意得：ENAO3,EMEC41k ,MFCF31k ,34EMNFMBFMBMFB90,EMNMFB 又ENMMBF90,ENMMBF将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中 ENEM,341k4 11k,123 1MBMFMB3k3 11k412MB94MB2BF2MF2,92k231k2,解得k218444BFk21432存在符合条件的点F,它的坐标为4,2132- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 3】如图,在直角梯形 ABCD 中, AD BC, C90° , BC16,DC 12,AD 21；动点 P 从点 D 动身,沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动,动点 Q 从点 C 动身,在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点B 运动,点 P,Q 分别从点 D,C 同时动身,当点 Q 运动到点 B 时,点 P 随之停止运动；设运动的时间为 t（秒）；（ 1）设 BPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式；（ 2）当 t 为何值时,以B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（ 3）是否存在时刻 t,使得 PQBD ？如存在,求出 t 的值；如不存在,请说明理由；【思路分析】此题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题,大量时间都在运算上；第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化,哪些量没有变化；对于该题来说,当P,Q 运动时,BPQ 的高的长度始终不变,即为 CD 长,所以只需关注变化的底边BQ 即可,于是列出函数式；其次问就要分类争论,牢牢把握住高不变这个条件,通过勾股定理建立方程去求解；第三问许多同学画出图形以后就不知如何下手,此时不要遗忘这个题目中贯穿始终的不动量高,过 Q 做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明PEQ 和 BCD 是相像的,于是建立两个直角三角形直角边的比例关系,而这之中只有 PE 是未知的,于是得解；这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用,每一小问都和它休戚相关,利用这个不变的高区建立函数,建立方程组乃至比例关系才能拿到全分；【解析】名师归纳总结 解： （1）如图 1,过点 P 作 PM BC,垂足为 M ,就四边形PDCM 为矩形；D 第 5 页,共 18 页 PMDC 12 A P QB16 t, S1 2× 12× 16t96 t （ 2）由图可知： CM PD 2t,CQt；热以 B、P、Q 三点B M 图 1 Q C 为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情形；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如 PQ BQ；在 Rt PMQ 中,PQ2t2122,由 PQ2BQ2 得t212216t2,解得 t7 2；t162 2122；由 BP2BQ2 得：如 BPBQ；在 Rt PMB 中,BP2162 212216t2即3 t2321440；由于 7040 3 t232t1440无解, PB BQ 162 2122如 PBPQ；由 PB2PQ2,得t2122整理,得3 t264t2560；解得t116,t216（舍） （想想看为什么要舍？函数3自变量的取值范畴是多少？）综合上面的争论可知：当t7 2秒或t16秒时,以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等3腰三角形；（ 3）设存在时刻 t,使得 PQBD ；如图 2,过点 Q 作 QEADS ,垂足为 E；由 RtBDC Rt QPE,得DCPE,即12 16t；解得 t9 A P E D BCEQO Q C 12所以,当 t9 秒时, PQBD；B 【例 4】图 2 在 Rt ABC 中,C=90° ,AC = 3 ,AB = 5 点 P 从点 C 动身沿 CA 以每秒 1 个单位长名师归纳总结 的速度向点A 匀速运动,到达点A 后马上以原先的速度沿AC 返回；点Q 从点 A 动身沿第 6 页,共 18 页AB 以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动 相伴着 P、Q 的运动, DE 保持垂直平分PQ,且交 PQ 于点 D,交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时动身,当点Q 到达点 B 时停止运动,点P也随之停止设点P、Q 运动的时间是t 秒（ t0）B （ 1）当 t = 2 时, AP = ,点 Q 到 AC 的距离是；（ 2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中,求 APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范畴）E （ 3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中,四边形QBED 能否成Q 为直角梯形？如能,求t 的值如不能,请说明理由；A D P C - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 4）当 DE 经过点 C 时,请直接写出 t 的值【思路分析】 依旧是一道放在几何图形当中的函数题；但是此题略有不同的是动点有一个折返的动作, 所以加大了摸索的难度 ,但是这个条件基本不影响做题 ,不需要太专心于其上；第一应当留意到的是在运动过程中 DE 保持垂直平分 PQ 这一条件,然后判定 t 可能的范畴 .由于给出了 AC 和 CB 的长度 ,据此估量出运动可能出现的状态 .第一问简洁不用多说 ,其次问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问特别留意直角梯形在此题中有两种出现方式 .DE/QB 和 PQ/BC 都要分情形争论.最终一问就可以直接利用勾股定理或者B AQ,BQ 的等量关系去求解. B 解：（ 1） 1,8 5；（ 2）作 QFAC 于点 F,如图 3, AQ = CP= t ,AP3t E 由 AQF ABC ,BC522 34,A Q D 得QFt 5QF4 5t C 4F P 图 3 S13t4t ,25即S2t26t 55E （ 3）能当 DE QB 时,如图 4A Q D C DEPQ, PQQB ,四边形 QBED 是直角梯形P 图 4 此时 AQP=90° 名师归纳总结 由 APQ ABC ,得AQ ACAP,Q B B 第 7 页,共 18 页AB即t35t 解得t938E 如图 5,当 PQ BC 时, DEBC,四边形 QBED 是直角梯形此时 APQ =90° A D P 图 5 C 由 AQP ABC ,得AQAP AC,AB即t33t 解得t1558（ 4）t5或t45214Q G 【注： 点 P 由 C 向 A 运动, DE 经过点 CA P D CE 图 6 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方法一、连接 QC,作 QG BC 于点 G,如图 6PCt ,QC2QG2CG235t2445t2A P Q B 55由PC2QC ,得t235t2445t2 ,解得t52G 55方法二、由 CQCPAQ ,得QACQCA ,进而可得BBCQ ,得 CQBQ , AQBQ5t5D CE 22 点 P 由 A 向 C 运动, DE 经过点 C,如图 7图 7 6t235t2445t2,t451455【例 5】如图,在 RtABC中,A90,AB6,AC8, D,E分别是边 AB,AC的BC 于 Q ,过点 Q 作 QRBA交中点,点 P 从点 D 动身沿 DE 方向运动, 过点 P 作PQAC 于R,当点 Q 与点C重合时,点P停止运动设BQx , QRy （ 1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；（ 2）求y关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范畴）；（ 3）是否存在点 P,使PQR 为等腰三角形？如存在,恳求出全部满意要求的 x 的值；如不存在,请说明理由A R D P E B C H Q 【思路分析】此题也是一道较为典型的题；第一问其实就是重要示意,算 DH 的长度实名师归纳总结 际上就是后面PQ 的长度,在构建等腰三角形中发挥重要作用；算DH 的方法许多,不用累第 8 页,共 18 页述；其次问列函数式, 最重要的是找到yQR 和 xBQ 要通过哪些量练联系在一起.我们发觉RQ 和 QC 所在的QRC 和 BAC 是相像的 ,于是建立起比例关系得出结果.第三问依旧是要分类争论 ,但凡看到构成特别图形的情形都要去争论一下.不同类之间的解法也有所不同,需- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要留意一下 . 解：（ 1）ARt,AB6,AC8,BC10点 D 为 AB 中点,BD1AB3122DHBA90,BBBHDBAC,DHBD,DHBDAC38ACBCBC105（ 2）QRAB,QRCA90CC ,RQCABC,RQQC,y10x,ABBC610即y关于x的函数关系式为：y3x65（ 3）存在,分三种情形： 当 PQPR 时,过点 P 作 PMQR 于 M ,就 QMRM A 名师归纳总结 1290,C290,B D P R E R C 第 9 页,共 18 页1C 1 M 2 cos 1cosC84,QM4,H Q QP5B A P E R C 10513 5x64,x182D 12555 当PQRQ 时,3x612,H Q 55B A E P C x6D 当 PRQR 时,就 R为 PQ 中垂线上的点,于是点 R为 EC 的中点,H Q CR1CE1AC224tanCQRBA,CRCA- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3x66,x155228综上所述,当x 为18 5或 6 或15 2时,PQR为等腰三角形【总结】通过以上的例题,大家心里大致都有了底；整体来说这类函数型动态几何题是偏难的,不光对几何图形的分析有肯定要求,而且仍很考查考生的方程、函数的运算才能；解决这类问题需要留意这么几个点：第一和纯动态几何题一样,始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系,特别是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相像三角形组来构造比例关系；其次要留意特别图形如等腰三角形,直角梯形等的分类讨论；第三要留意函数自变量的取值范畴,合理挑选出可能的情形；最终就是在运算环节认真细心,做好每一步；其次部分 发散摸索【摸索1】如下列图,菱形 ABCD 的边长为 6 厘米,B 60° 从初始时刻开头,点 P、 Q 同时从 A 点动身, 点 P 以 1 厘米 /秒的速度沿 A C B 的方向运动, 点Q以2厘米/秒的速度沿 A B C D的方向运动, 当点 Q 运动到D点时,P、Q 两点同时停止运动,设P 、Q运动的时间为 x 秒时,APQ 与ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米 （这里规定：点和线段是面积为 O的三角形）,解答以下问题：（ 1）点 P 、Q从动身到相遇所用时间是 秒；（ 2）点 P 、 Q 从开头运动到停止的过程中,当APQ 是等边三角形时 x 的值是秒；名师归纳总结 （ 3）求y与x之间的函数关系式D C 第 10 页,共 18 页P B A Q 【思路分析】此题一二问不用多说,第三问是比较少见的分段函数；需要将x 运动分成- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三个阶段 ,第一个阶段是0X3,到 3 时刚好 Q 到 B.其次阶段是3X6,Q 从 B 返回来 .第三阶段就是再折回去.依据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可. 【摸索 2】已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图, C,D 两点的坐标分别为4,0,0,3.现有两动点 P,Q 分别从 A,C 同时动身, 点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动,点 Q 沿折线 CBA 向终点 A运动,设运动时间为t 秒. 、面积是、 高 BE 的长是；1填空：菱形ABCD 的边长是2探究以下问题：如点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q 的速度为每秒 2 个单位 .当点 Q 在线段 BA 上时,求 APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式,以及 S 的最大值；如点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q 的速度变为每秒 k 个单位,在运动过程中 ,任何时刻都有相应的 k 值,使得APQ 沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形 .请探究当 t=4 秒时的情形,并求出 k 的值 . yDEAOCxB【思路分析】依旧是面积和时间的函数关系,依旧是先做垂线,然后利用三角形的比例关系去列函数式； 留意这里这个函数式的自变量取值范畴是要去求的,然后在范畴中去求得S 的最大值；最终一问翻折后如要构成菱形,就需三角形 续分情形去争论就行了；APQ 为等腰三角形即可,于是继名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【摸索 3】已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米,长为 1 厘米的线段 MN 在ABC的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米 /秒的速度向 B 点运动（运动开头时, 点 M 与点 A重合,点 N 到达点 B时运动终止）, 过点 M、N分别作 AB 边的垂线,与ABC的其它边交于P、Q两点, 线段 MN 运动的时间为 t 秒（ 1）线段 MN 在运动的过程中,t 为何值时,四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（ 2）线段 MN 在运动的过程中,四边形MNQP 的面积为 S ,运动的时间为 t 求四边形 MNQP 的面积 S随运动时间 t 变化的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范畴C Q P A M N B 【思路分析】第一问就是看运动到特别图形那一瞬时的静止状态,当成正常的几何题去求解； 由于要成为矩形只有一种情形就是PM=QN ,所以此时 MN 刚好被三角形的高线垂直平分, 不难； 其次问也是较为明显的分段函数问题；第一是 N 过 AB 中点之前, 其次是 N过中点之后同时 M 没有过中点, 最终是 M,N 都过了中点, 依据这三种情形去分解题目争论；需要留意的就是四边形始终是个梯形,求面积S中变化的部分；且高 MN 是不变的, 所以 PM 和 QN 的长度就成为了这一类题目运算繁琐,思路多样,所以期望大家认真琢磨这 8 个经典题型就可以了,中考中总逃不出这些题型的；只要争论透了, 面对它们的时候思路上来的就快,做题自然不在话下了；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三部分 摸索题解析【摸索 1 解析】解：（ 1） 6（ 2）8（ 3）当 0x3时,P2 O C P3 Q2 B D Q3 P1 E Q1 A ySAPQ 131AP AQ·1sin 601· ·x22x33x2222当 3x 6 时,y SAPQ 1 2 = 1 AP P Q 221 AP CQ 2 2·sin6021 3x 12- 2 2 2= 3x 23 3 .2当 6x9 时,设 P Q 与 AC 交于点 O 解法一 名师归纳总结 过Q 作Q ECB,就CQ E为等边三角形第 13 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Q ECECQ 32 x12.Q E 3CB .sin 60°3COP 3EOQ 3OCCP 32x61 , 2OEEQ3x12OC1CE1 2 3x12,3ySAQP 3SACP 3- SCOP 31CP ACsin 60°1OC CP 3·221x663112x12x6222323x27 3x15 362（解法二）名师归纳总结 如右图,过点O作OFCP 于点 F ,OGCQ ,于点G,C H B 第 14 页,共 18 页过点P 作3PHDC 交 DC 延长线于点 H Q3 G ACBACD,OFOG.又CP 3x6,CQ3,2x122x6,SCQP 31SCOQ 3D 2O F SCOP 31SCP Q 3 3,3P3 11·2CQ·3P HA 3112 2x12x63323 6x2 6 .又SACP31CP ACsin 60°2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1x663223 3 2x6.3x62ySAOP 3SACP 3SOCP 33 3x6263x27 3x15 3.62【摸索 2 解析】解：（ 1） 5 , 24, 24AGEQPOy 图 1 Cx5（ 2）由题意,得AP=t ,AQ=10-2t. 如图 1,过点 Q 作 QGAD ,垂足为 G,由 QG BE 得 AQG ABE, QGQA, DBEBA QG=4848 t, 1 分525S1APQG24t224t5 t5. 22255B 1 分S24 t5265 t 5.（这个自变量的范畴很重 2252要）名师归纳总结 当 t=5 时, S 最大值为 6. 2AEMFPOy 要使 APQ 沿它的一边翻折,翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形, 依据轴对称的性质, 只需 APQ 为等腰三角形即可. D当 t=4 秒时,点P 的速度为每秒1 个单位, AP= 4 . Cx以下分两种情形争论: 第一种情形：当点Q 在 CB 上时 , PQBE>PA ,只存在点Q1,使BQ 1Q1A=Q1P. 图2第 15 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如图 2,过点 Q1 作 Q1M AP,垂足为点 M ,Q1M 交 AC 于点F,就 AM=1 2AP2.由 AMF AOD CQ1F,得APOyCxFMQ 1FOD3, FM3, AMCQ 1AO42Q 1FMQ1FM33. 10 CQ1=4QF=22 5.就1tAP, kCQ 111. 3ktCQ 1DAP10其次种情形：当点Q 在 BA 上时 ,存在两点 Q2,Q3, 分别使 A P= A Q2,PA=PQ3. 如 AP=AQ2 ,如图 3,CB+BQ2=10-4=6. 就1tCBAP,kCBBQ 23. Q 2B 图3ktBQ 2AP2 如 PA=PQ3,如图 4,过点 P 作 PNAB ,垂足为 N,由 ANP AEB, 得ANAP. 194AEQ 3POyCxAEAB AE=AB2BE27, AN28 25. 5D AQ3=2AN=56 25, BC+BQ3=10-562525就1tCBAP.kCBBQ 397 50. NktBQ 3APB综上所述,当t= 4 秒,以所得的等腰三角形APQ 97. 图 4沿底边翻折,翻折后得到菱形的k 值为11或 103 或 250【摸索 3 解析】名师归纳总结 过点 A 作 A NAB 垂足为 N 点,A N P H HD 第 16 页,共 18 页在 RtH CD中,C 如HDH不小于 60° ,就H Csin 603M BH D2B A- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即H C3H D4 32名师归纳总结 B MH C 4 3A C B 第 17 页,共 18 页RtA NPRtB MPA NA PB MB PA NA P B M64 32 33.5cmB P12踏板 AB 离地面的高度至少等于