2022年一元二次不等式的解集.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载第十一讲 - 一元二次不等式的解集学问要点1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础；不等式的 基本性质 有：（1）对称性： a>b b<a；（2）传递性：如 a>b,b>c,就 a>c；（3）可加性： a>b a+c>b+c；（4）可乘性： a>b,当 c>0 时, ac>bc；当 c<0 时, ac<bc；不等式 运算性质 ：（1） 同向相加：如 a>b,c>d,就 a+c>b+d；（2）异向相减：ab,cdacbd. 1>1a>1,其中正确的有（）（3）正数同向相乘：如a>b>0,c>d>0,就 ac>bd；（4）乘方法就：如 a>b>0,nN+,就anbn；（5）开方法就：如 a>b>0,nN+,就nanb；（6）倒数法就：如 ab>0,a>b,就11；ab例 1、如 a<b<0,给出四个不等式：a2>b2a3>b3abbA 1 个B2 个C3 个D4 个2、一元二次不等式的解法：解不等式是查找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等；一元二次不等式（组）是解不等式的基础,一元二次不等式是解不等式的基此题型；求 一 般 的 一 元 二 次 不 等 式 a x 2bx c 0 或 ax 2bx c 0 a 0 的 解 集 , 要 结 合2 2a x b x c 0 的根及二次函数 y ax bx c 图象确定解集 对 于 一 元 二 次 方 程 ax 2bx c 0 a 0, 设 b 24 a c, 它 的 解 按 照20,0,0 可分为三种情形 相应地,二次函数 y ax bx c a 0 的图象与 x 轴的位置关系也分为三种情形因此,我们分三种情形争论对应的一元二次不等式 ax 2bx c 0 a 0 的解集,列表如下：细心整理归纳 精选学习资料 第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例2 x2x6有意义,就x学习必备欢迎下载的取值范畴是分析求算术根,被开方数必需是非负数,所以 x3 或 x 2解据题意有, x2 x60,即x3x 20,解在“ 两根之外”例 3 解以下不等式1x 13x52x 2xx 113x1232x 1x33x 22 43x23 x13x2ax2bxc0 0形式,然后依据“ 解公式” 给出答案过程2 x2x11x x1 3分析将不等式适当化简变为请同学们自己完成答1x|x 2 或 x4 2x|1 3234R 5R 说明： 不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例 4已知集合 Ax|x25x40 与 Bx|x22axa20,如BA,求 的范畴 第 2 页,共 11 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载分析 先确定 A 集合,然后依据一元二次不等式和二次函数图像关系,结合 B A,利用数形结合,建立关于 a 的不等式解 易得 A x|1 x4 设 yx22axa2* 1如B,就明显BA,由 0得4a24a20,解得 1a 22如B,就抛物线*的图像必需具有图116特点：应有x|x1 x 2x|1 4从而2 12a·1 a 20解得12 a18422a·4 a20712 a24综上所述得a 的范畴为1 187说明： 二次函数问题可以借助它的图像求解例 5、行驶中的汽车, 在刹车时由于惯性作用,要连续往前滑一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离,nx在某种路面上,某种型号的汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米 /小时）满意以下关系：y100x2（n 为常数,且nN）,我们做过两次试验,有关数据如下列图其中5y 12713y15100（1）求出 n 的值（2）要使刹车距离不超过18.4 米,就行驶的最大速度应为多少. 第 3 页,共 11 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -40n1600学习必备欢迎下载4900749270n5解：（1）由图像知y 11004005n 4,y210040010n4,依题意2n472n15552137n4915,即15n55,5<n<55, nN, n3104141421480 千米 /小时3xx2（2）由 y10040018.4,解得 0<x80,汽车行驶的最大速度为自主探究在解关于含参数的一元二次不等式时,往往都要对参数进行分类争论；分类争论的思想方法是中学数学的基本方法之一,是历年高考的重点；下面举例说明解题时如何做到分类“ 不重不漏” ；【题型一】对根的大小争论例 6 解关于 x 的不等式x2-2x+1-a2 0.x x 的大小来分类, 即分1x <2x ,1x =x ,分析： 如不等式对应方程的根x x 中含有参数, 就须按1x >2x 三种情形；【题型二】对首项系数a 的争论例 7 解关于 x 的不等式 x2ax20分析1°不等式的解及其结构与a 相关,所以必需分类争论解当 a0 时,原不等式化为x20 其解集为 x|x 2 ；2°当 时,由于22,原不等式化为x2x2 ,其解aa集为细心整理归纳 精选学习资料 x|2 2； 第 4 页,共 11 页 a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3°当 时,因22学习必备欢迎下载2x2 ,其解,原不等式化为xaa集为4°当 a1 时,原不等式化为x|x2或 2；ax22 0,其解集是 x|x 2 ；5°当 时,由于22,原不等式化为x2x2 ,其解aa集是x|x2或 2a从而可以写出不等式的解集为：a0 时, x|x 2；a 时,x|2 2；2 a；a0 时,x|x2或 a1 时, x|x 2 ；2a 时,x|x或 2a说明： 争论时分类要合理,不添不漏【题型三】与一元二次不等式解法有关的逆向问题例 8 如 ax2bx10 的解集为 x|1x2,就 a_,b_分析依据一元二次不等式的解公式可知,1 和 2 是方程 ax2bx10 的两个根,考虑韦达定理解 依据题意, 1,2 应为方程 ax2bx10 的两根,就由韦达定理知b 1 2 1a 得1 1 ×2 2a1 1a,b2 2例 9如不等式 ax2bxc0 的解集为 x| x 0 ,求 cx2bxa0 的解集分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的,这就使“ 解集” 通过“ 根” 实现了与“ 系数” 之间的联系考虑使用韦达定理：细心整理归纳 精选学习资料 解法一由解集的特点可知a0,依据韦达定理知： 第 5 页,共 11 页 b ,ac · a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即b ,0学习必备欢迎下载ac · 0aa0, b0,c0又b×ab,accb11c由c · ,a1·1ac对cx2bx 化为x2bxa ,cc由得1,1是x2bxa 两个根且 011 ,0ccx2bxa0即cx2bx 的解集为x|x1或 1cc解法二cx2bxa0 是 ax2bxa0 的倒数方程且 ax2bxc 0 解为 x ,cx2bx 的解集为x|x1或 1 说明：要在一题多解中锤炼自己的发散思维课堂精练一、挑选题1.不等式 x532x6 的解集是 A. x|x 1 或 x9 2 B. x|1x9 2 C. x|x9 2 或 x1 D. x|92x1 解析： 由于不等式 x532x6 可化为 2x 27x90,而 2x 27x9 0 的两根为 x19 2,x21,所以函数 fx2x 27x9 与 x 轴的交点为 9 2,0,1,0,又函数 fx2x 27x9 的图象开口向上,所以不等式 x5 ·32x6 的解集是 x|9 2x1. 答案： D 2.b 24ac0 是一元二次不等式ax2bxc0 的解集是 R 的 A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充要条件 解析： 如一元二次不等式细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -D.既不充分也不必要条件ax 2 bxc0 的解集为 R,就有 a0 且 b 24ac0；如 b 24ac 0, 第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ax2 bxc0 的解集可能是学习必备欢迎下载R当 a0 时,也可能是 .当 a0 时. 答案： B 3.设 A x|x 22x30 ,B x|x 2axb0 ,如 AB R,AB3,4,就 ab 等于A.7 B. 1 C.1 D.7 解析： A, 13, ,ABR,AB3,4 ,就 B1,4,a 14 3,b 1×4 4,ab 7. 答案： D 4.如 ax2xa0 的解集为 .,就实数 a 取值范畴 D.a2或 a1A.a1B.a1C.1 2a1 222解析： ax2 xa0 的解集为 .,a0,a1.02答案： A 5.在 R 上定义运算： x*yx1y.如不等式 xa* xa1 对任意实数 x 恒成立,就 A.1a1 B.0a2 C.2a 3 D.2a1解析：依题设 xax 2a 21 恒成立,即x1 2 2a3 4a 20 恒成立 . a 2 a3 40 恒成立 . 1 2a3 2. 答案： C 二、填空题6.如关于 x 的方程 x 2axa210 有一正根和一负根,就a 的取值范畴为. f00,即 a 21解析： 令 fx x 2 axa 21,二次函数开口向上,如方程有一正一负根,就只需0,1a1. 答案： 1a1 7.当 a>0 时不等式组0xa1的解集为. 第 7 页,共 11 页 0xa1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载. 解析： 由axa11画轴争论便得 . axa答案： 当 a>1 2时为 .；当 a1 2时为 1 2 ；当 0<a<1 2时为 a,1a 8.已知关于 x 的不等式ax10 的解集是 , 11 2, ,就 ax1解析：ax 10. ax1x10,依据解集的结构可知,x1答案： 2. 三、解答题9.解以下不等式：1x 22x2 30；29x 26x10. 解： 1两边都乘以 3,得 3x 26x20,由于 30,且方程 3x 26x 20 的解是3 3x113,x213,所以原不等式的解集是 x|13x 133 . 32法一 ：不等式 9x 26x10,其相应方程 9x 2 6x1 0, 6 24×90,a0 且1 a 1 2, a 2. 上述方程有两个相等实根 x1 x21 3,结合二次函数 y9x 26x1 的图象知,原不等式的解集为 R. 法二 ：9x 26x10. 3x1 20,xR,不等式的解集为 R. 10.某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车车速 x km/h 有如下关系： s20x1180x 1 2,在一次交通事故中, 测得这种车的刹车距离大于 39.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？精确到0.01 km/h 解： 设这辆汽车刹车前的车速为x km/h, 第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - 依据题意,有20x 1 180x239.5,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载移项整理,得 x 29x71100,明显 0,方程 x 29x71100 有两个实数根,既 x188.94,x2 79.94. 所以不等式的解集为 x|x 88.94 或 x79.94. 在这个实际问题中,x0,所以这辆汽车刹车前的速度至少为79.94 km/h. a2y1y2ay1y20. 11.已知二次函数fxax2bxc 的图象过 At1, y1、Bt2,y2两点,且满意1证明 y1 a 或 y2 a；2证明函数 fx的图象必与 x 轴有两个交点；3如关于 x 的不等式 fx0 的解集为 x|xm 或 xn,nm0 ,解关于 x 的不等式 cx 2bxa0. 解： 1证明： a 2y1y2ay1y2 0,ay1a y20,得 y1 a 或 y2 a. 2证明：当a0 时,二次函数fx的图象开口向上,图象上的点A、B 的纵坐标至少有一个为a 且小于零,图象与 x 轴有两个交点 . 当 a0 时,二次函数fx的图象开口向下,图象上的点A、B 的纵坐标至少有一个为a 且大于零,图象与 x 轴有两个交点 . 故二次函数 fx的图象与 x 轴有两个不同的交点 . 3ax 2bxc0 的解集为 x|xm 或 xn,nm0. 依据一元二次不等式大于 0 取两边,从而可判定 a0,并且可得 ax 2bxc0 的两根为 m,n,bm na , a 0cm n 0amnm· nbc ab c. a而 cx 2bxa0. x2b cxa c0. x2mn mn x mn0. x 1 mx1 n0, 第 9 页,共 11 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载又nm0, 1 n 1 m,x 1 m或 x 1 n.故不等式 cx 2bxa0 的解集为 x|x 1 m或 x 1 n.课后精练1. 如不等式 kx 2 kx 1 0 的解是全体实数 , 就实数 k 的取值范畴是解：必需满意 k<0 且 <0 即可,答案为 4,22.解关于 x 的不等式 ax 222x ax（aR）解：原不等式变形为 ax 2+（a2）x20. a=0 时, x 1；a 0 时,不等式即为（ax2）（x+1） 0,当 a0 时, x2 或 x 1；a由于 2 （ 1）= a 2 ,于是a a当 2a0 时,2 x 1；a当 a=2 时, x=1；当 a 2 时, 1x2 . a2 x 1；a综上,当 a=0 时, x 1；当 a0 时, x2 或 x 1；当 2a 0 时,a当 a=2 时, x=1；当 a 2 时, 1x2 . a3.设 fx=3axb2 bxc . 如abc0,f0 0,f1 0,求证： a0 且-2a -1；方程 fx=0 在（ 0,1）内有两个实根 b.证明：（）由于f0>0 , f10,得 c>0, 3a + 2b + c 0,由条件 a+b+c=0,消去 b,得 a>c>0 由条件 a+b+c=0,消去 c,得 a+b<0,2a+b>0 故-2a -1 bc 的顶点坐标为（b,3acb2, 第 10 页,共 11 页 （III ）抛物线f x 3 ax22bx3a3 a在-2a -1 的两边乘以 b1 ,得 31 < 3b<2 ,303a又由于 f0>0 , f10,而 fb 3 a=a2c2ac3 a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以方程f x 0在区间（0,b与（学习必备欢迎下载 第 11 页,共 11 页 b 3a1, 内分别有一实根；3a方程f 0在 0,1 内有两个实根细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -