2022年完整word版,新北师大九年级数学下册知识点总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 新北师大版九年级数学下册学问点总结第一章 直角三角形边的关系一锐角三角函数1. 正切：定义：在 Rt ABC中,锐角A 的对边与邻边的比叫做A 的正切,记作 tanA ,即 tan A A 的对边 ; A 的邻边tanA 是一个完整的符号,它表示A 的正切,记号里习惯省去角的符号“ ” ；tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中A 的对边与邻边的比；tanA 不表示“tan ” 乘以“A” ；中学阶段,我们只学习直角三角形中,A 是锐角的正切；tanA 的值越大, 梯子越陡, A 越大； A 越大, 梯子越陡, tanA 的值越大；2. 正弦：的正弦, 记作 sinA ,即sinAA 的对边; 定义： 在 Rt ABC中,锐角A 的对边与斜边的比叫做A斜边3. 余弦：定义： 在 Rt ABC中,锐角A 的邻边与斜边的比叫做A的余弦, 记作 cosA,即cosAA 的邻边; 斜边锐角 A 的正弦、余弦和正切都是A的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化；二特别角的三角函数值sin 30 o45 o60 o图 1 B l i=h:l A 123h 222cos 3212C 22tan 31 3图 2 3三三角函数的运算1. 仰角 : 当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为 仰角2. 俯角： 当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为 俯角3. 规律： 利用特别角的三角函数值表,可以看出,1 当角度在 0° 90° 间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大 或减小 而增大 或减小 ；余弦值随着角度的增大 或减小 而减小 或增大 ；20sin 1,0cos 1；4. 坡度： 如图 2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度hi tan Al5. 方位角： 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角的方位角分别为 45° 、 135° 、 225° ； 或坡比 ；用字母 i 表示,即；如图 3, OA、OB、OC6.方向角： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90° 的水平角,叫做方向角；如图 4,OA 、OB 、OC、OD 的方向角分别是；北偏东 30° ,南偏东 45° 东南方向 、南偏西为 60° ,北偏西 60° ；第1页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 同角的三角函数间的关系：互余关系sinA=cos90° A、cosA=sin90 ° A 须图 3 图 4 平方关系：商数关系：8. 解直角三角形：在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角；由直角三角形中除直角外的已知元素,求出全部未知元素的过程,叫做解直角三角形（知一条边 ）；9. 直角三角形变焦关系：在 ABC中, C为直角, A、 B、 C所对的边分别为 a、b、c,就有1 三边之间的关系：a 2+b 2=c 2；2 两锐角的关系：A B=90° ；3 边与角之间的关系：sin A a , cos A b , tan A a , cot A b ;c c b ab a b asin B , cos B , tan B , cot B ;c c a b4 面积公式 : S 1 ab 1 ch c h c为 C边上的高 ; 2 25 直角三角形的内切圆半径 r a b c2 6 直角三角形的外接圆半径 R 1 c210. 三角函数的应用 教材第 18 页11. 利用三角函数测高 教材第 22 页其次章 二次函数1. 概念： 一般地, 如两个变量 x,y 之间对应关系可以表示成 y ax 2 bx c a 、b、c 是常数 , a 0 的形式,就称 y 是 x 的二次函数 ；自变量 x 的取值范畴是全体实数；在写二次函数的关系式时,肯定要查找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范畴 ；2. 图像性质：1 二次函数 yax 2 的图象： 是一条顶点在原点且关于 y 轴对称的 抛物线；y ax 2 a 0 是二次函数 y ax 2 bx c 的特例,此经常数 b=c=0. （2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y 随 x 的变化情形、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与 x 轴的交点；函数的取值范畴是全体实数；抛物线的顶点在0 ,0 ,对称轴是y 轴 或称直线x0 ；当 a0 时,抛物线开口向上,并且向上方无限舒展；当 无限舒展；函数的增减性：第2页a0 时,抛物线开口向下,并且向下方名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - A、当 a0 时x0时,y 随x 增大而减小;x0时,y 随x 增大而增大.B、当 a0 时x0 时,y随x 增大而增大;x0 时,y 随x 增大而减小.当 a越大,抛物线开口越小；当a越小,抛物线的开口越大；最大值或最小值：当 a0,且 x0 时函数有最小值,最小值是 0；当 a0,且 x0 时函数有最大值,最大值是 0；（3）二次函数 y ax 2 c 的图象： 是一条顶点在 y 轴上且与 y 轴对称的抛物线,二次函数y ax 2c 的图象中, a 的符号打算抛物线的开口方向,|a| 打算抛物线的开口程度大小,c 打算抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低；（4）二次函数yax2bxc的图象： 是以直线xb为对称轴, 顶点坐标为 （b,4acab2 ）2 aa 来打算）2a4的抛物线 ；（开口方向和大小由|a| 的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴 |a| 的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y 轴, y 随 x 增长（或下降）速度越快；y 轴, y 随 x 增长（或下降）速度越慢；（5）二次函数 y ax 2 bx c 的图象与 y ax 2 的图象的关系：y ax 2 bx c 的图象可以由 yax 2 的图象平移得到：（利用顶点坐标）2（6）二次函数 y a x h k 的图象： 是以直线 x=h 为对称轴,顶点坐标为（h,k）的 抛物线 ；（开口方向和大小由 a 来打算）2（7）二次函数 y ax bx c 的性质：2二次函数 y ax 2 bx c 配方成 y a x b 2 4 ac b 就抛物线的2 a 4 a对称轴： x= b2 a2顶点坐标：（b,4 ac b）2 a 4 a增减性：如 a>0,当 x< b 时, y 随 x 的增大而减小 ；当 x> b 时, y 随 x 的增大而增大；2 a 2 a如 a<0,就当 x< b 时, y 随 x 的增大而增大 ；当 x> b 时, y 随 x 的增大而减小；2 a 2 a2 2最值：如 a>0,就当 x= b 时,y 最小 4 ac b；如 a<0,就当 x= b 时,y 最大 4 ac b2 a 4 a 2 a 4 a3. 确定二次函数的表达式：（待定系数法）（1）一般式：yax2bxc第3页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）顶点式：ya xh 2k（2）交点式： y=ax-x 1x-x 24. 二次函数的应用：教材第 46 页 几何方面教材第 48 页 应用题5. 二次函数与一元二次方程2（1）二次函数 y ax bx c 的图象 抛物线 与 x 轴的两个交点的横坐标 x1,x2是对应一二次方程 ax 2bx c 0 的两个实数根（2）抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：b 2 4 ac >0 <=> 抛物线与 x 轴有 2 个交点；b 2 4 ac =0 <=> 抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 2 4 ac <0 <=> 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）；（3）当 b 2 4 ac >0 时,设抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,就这两个点之间的距离：2化简后即为：| AB | b 4 ac b 24 ac 0 这就是抛物线与 x 轴的两交点之间的距离公式；| a |第三章 圆1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内, 线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周, 另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆 ；固定的端点 O叫做圆心；线段 OA叫做半径；以点 O 为圆心的圆,记作O,读作“ 圆 O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合；其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径 ,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆；对圆的定义的懂得：圆是一条封闭曲线,不是圆面；圆由两个条件唯独确定：一是圆心（即定点）,二是半径（即定长）；2. 点与圆的位置关系及其数量特点：假如圆的半径为r ,点到圆心的距离为d,就点在圆上 <=> d=r; 点在圆内 <=> d<r; 点在圆外 <=> d>r. 其中点在圆上的数量特点是重点,它可用来证明如干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等；3. 圆的对称性 : （1 与圆相关的概念：弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦； 直径：经过圆心的弦叫做直径；弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ,简称弧,用符号“ ” 表示,以第4页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - CD 为端点的弧记为“” ,读作“ 圆弧CD” 或“ 弧CD” ；半圆：直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧； 为了区分优弧和劣弧,优弧用三个字母表示； 弓形： 弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 ；同心圆：圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆；等圆： 能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆；等弧： 在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧；圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距 : 从圆心到弦的距离叫做弦心距. （2）. 圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有很多条对称轴；圆是中心对称图形,对称中心为圆心；定理：在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等；推论 : 在同圆或等圆中 , 假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等 , 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 . 4. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧；推论： 平分一般弦（不是直径 ）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；说明： 依据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,假如具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧；上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论；5. 圆周角和圆心角的关系 : （1）圆周角： : 顶点在圆上 , 并且两边都与圆相交的角 , 叫做圆周角 . （2）圆周角定理 : 圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半 .推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；推论 2: 直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径；（3）圆内接四边形：如四边形的四个顶点都在同一个圆上 , 这个四边形叫做圆内接四边形 . 圆内接四边形的性质 : 圆内接四边形的对角互补 ; 6 确定圆的条件 : （1）懂得确定一个圆必备两个条件 : 圆心和半径 , 圆心打算圆的位置 , 半径打算圆的大小 . 经过一点可以作很多个圆 , 经过两点也可以作很多个圆 , 其圆心在这个两点线段的垂直平分线上 . 第5页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）经过三点作圆要分两种情形 : 经过同始终线上的三点不能作圆 . 经过不在同始终线上的三点 , 能且仅能作一个圆 . 定理 : 不在同始终线上的三个点确定一个圆 . 尺规作图教材第 85 页 7. 三角形的外接圆、三角形的外心；1 三角形的外接圆 : 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆 . 2 三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心 . 3 三角形的外心的性质 : 三角形外心到三顶点的距离相等 . 8. 直线与圆的位置关系1 相交 : 直线与圆有两个公共点时, 叫做直线和圆相交, 这时直线叫做圆的割线. 2 相切 : 直线和圆有惟一公共点时, 叫做直线和圆相切, 这时直线叫做圆的切线, 惟一的公共点做切点. 3 相离 : 直线和圆没有公共点时 , 叫做直线和圆相离 . 4 直线与圆的位置关系的数量特点 :设 O的半径为 r ,圆心 O到直线的距离为 d； d<r <=> 直线 L 和 O相交 . d=r <=> 直线 L 和 O 相切 . d>r <=> 直线 L 和 O 相离 . 5 ）切线的判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线 . 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径 . 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 . 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系 , 可得如下结论 : 假如一条直线具备以下三个条件中的任意两个 , 就可推出第三个 . 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 . 6 ）三角形的内切圆、内心 . 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 , 内切圆的圆心叫做三角形的内心 . 三角形内心的性质 : 三角形的内心到三边的距离相等 . 三角形的内切圆作法尺规作图教材第 92 页9 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等,圆外切四边形对边相等,直角三角形内切圆半径公式 . 10. 圆内接正多边形1 定义： 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆 . 2 中心角、边心距：11. 弧长及扇形的面积1 弧长公式 :弧长lnR R 表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数 1802 扇形定义 : 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 3 扇形的面积公式: 扇形的面积S扇形nR2 R 表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数360扇形的面积 S 扇形 =LR212. 与圆有关的帮助线1 如圆中有弦的条件 , 常作弦心距 , 或过弦的一端作半径为帮助线 . （圆心向弦作垂线）2 如圆中有直径的条件 , 可作出直径上的圆周角 . （直径添线成直角）第6页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 如条件交代了某点是切点时, 连结圆心和切点是最常用的帮助线. （切点圆心要相连）第7页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页