2022年北师大版八年级下册数学第一章《证明》知识点及习题2.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 1 等腰三角形 学问点 1 等腰三角形的性 质定理 等腰三角形的性 质定理：等腰三角形的两个底角相等 简述为等 边对 等角 用符号 语言表示 为：如图 11 所示,在 ABC 中,ABAC,BC定理的 证明：取 BC 的中点 D,连接 ADABAC 中中,ABDACD SSSBDCD中中中ADAD中中 边中BC全等三角形的 对应 角相等 定理的作用： 证明同一个三角形中的两个内角相等拓展 等腰三角形 仍具有其他性 质 1等腰直角三角形的两个底角相等,都等于 45°2等腰三角形的底角只能是 锐角,不能是 钝角或直角,但 顶 角可以是 锐角、钝角或直角b 3等腰三角形的三 边关系：设腰长为 a,底边长为 b,就a2 4等腰三角形的三角关系： 设顶 角为A,底角为B,C,就A180° BC180°2B180° 2C学问点 2 等腰三角形的性 质定理的推 论 推论 1：等腰三角形 顶角的平分 线、底边上的中 线、底边上的高相互重合 简称“ 三线合一 ” 1用符号 语言表示 为：如图 13 所示, 在 ABC 中,AB AC,12,ADBCBDDC ； 在 ABC 中,AB AC,ADBC,1 2,BDDC ； 在 ABC 中,AB AC,BDDC,12,ADBC2推论 1 的证明 在 ABC 中,AB AC,12,ADAD,ABDACD SASBDDC ,ADB ADC 90°ADBC 在 ABC 中,ADBC,ADBADC 90°ABAC,BC又 ADAD,Rt ADBRt ADCAAS 12,BD CD1 / 10名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在 ABC 中,AB AC,ADAD,BD CD,ABDACD SSS12,ADBADC90°,ADBC.3推论 1 的作用：证明角相等、 线段相等或垂直 .推论 2：等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于 60°1用符号 语言表示 为：如图 14 所示,在 ABC 中,ABBCAC,ABC 60°2推论 2 的证明：ABAC,BCABBC,ACAB C又A+B+C180° ,即3A180°,A BC60°学问 点 3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 用符号 语言表示 为：如图 16 所示,在 ABC 中,BC,ABAC 判定定理的 证 明：如图 16 所示过 A 作 ADBC 于 D,就ADBADC90°BC,ADAD,ABDACDAAS ,ABAC边 相等判定定理的作用： 证明同一个三角形中的 拓展 如图 16 所示,在 ABC 中,1假如 ADBC,1 2,那么 ABAC；2假如 ADBC,BDDC,那么 ABAC；2 / 10简述为等角 对等 边名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3假如 12,BDDC,那么 ABAC学问 点 4 等腰三角形的判定定理的推 论 推论 11推论 1 的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边 三角形2用符号 语言表示 为：如图 18 所示,在 ABC 中,AB AC,A60° 或 B60°或C 60° ,ABACBC3推论 1 的证明：在 ABC 中,ABAC,BC又A60°,BC18002A60°ABAC BC或B 60°,A180°2B60°ABACBC或C 60°,A180°2C60°ABACBC推 论 21推论 2 的内容：三个角都相等的三角形是等 边三角形2用符号 语言表示 为：如图 18 所示,在 ABC 中,A BC,ABACBC3推论 2 的证明：在 ABC 中,AB,BCAC等角 对等边又BC,AB AC等角 对等边AB ACBC4推论 1 和推 论 2 的作用：证明一个三角形是等 边三角形拓展 判定一个三角形是等 边三角形主要有以下三种方法：1依据等 边三角形的定 义 ,证明三条 边相等；2依据推 论 1,证明两条 边相等,有一个角是 60°；3依据推 论 2,证明三个角都相等推 论 31推论 3 的内容：在直角三角形中,假如一个锐角等于 30；,那么它所 对 的直角 边等于斜 边的一半2用符号 语言表示 为：如图 19 所示,在 RtABC 中,C90°,A30°,BC1AB23推论 3 的作用：证明一条 线段是另一条 线段的一半或2 倍3 / 10名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问 点 5 反证法 先假 设命题的 结论 不成立,然后从假 设动身,推导出与定 义、公理、已证定理或已知条件相冲突的 结 果,从而否定假 设,证明命 题的结论 肯定成立, 这 种证明方法称 为 反证法拓展反证法是一种常用的间 接证明方法,用反 证法的一般步 骤是：1假设命题不成立；2从假 设动身推 导出冲突；3否定假 设,从而确定命 题的结论 规律方法小 结1转化思想：在等腰三角形的性质 定理和判定定理的证明过程中,都是通 过构造全等三角形, 转化为全等得以 证明的2类比思想：采纳 类比思想,把等腰三角形的性质和判定 对比着学 习3用反证 法进行证明时,留意推理的 规范性和 规律 的严密性,不能忽视任何一种可能的情形探究沟通想一想：仍有其他方法 证明等腰三角形的性 质定理 吗？解析 有,作等腰三角形 ABC 的顶角平分 线 AD,如图 12 所示 .AB AC 已知 ,1 2 角平分线定义 ,AD AD 公共边 ,ABDACD SAS.B C全等三角形的 对应 角相等 课堂 检测1、如图 110 所示,在 ABC 中,ABAC,AD2AC,AE2AB求证 BDCE332、如图 112 所示,已知点 D,E 在 ABC 的边 BC 上,ABAC,ADAE求证 BDCE4 / 10名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、如图 1 13 所示,已知 CAE 是 ABC 的一个外角, 12,ADBC,求证 ABC 是等腰三角形4、下面是数学 课堂的一个学 习片段,阅读 后,回答疑题 学习等腰三角形的有关内容后,于 30°,求其余两角张 老师请 同学 们沟通 争论这样 一个 问题 ：已知等腰三角形 ABC 的A 等同学 们经过 片刻的摸索与沟通后,李明同学举手说：“ 其余两角是30°和 120°” 王华同学 说：“其余两角是75°和 75°” 仍有一些同学也提出了不同的看法 假如你也在 课 堂上,你的意 见如何 .为什么 .5、已知等边三角形 ABC 和点 P,设点 P 到 ABC 三边 AB,AC,BC 的距离分 别是 h1,h2,h3, ABC 的高 为 h,如点 P 在边 BC 上,如图 1171所示,此时 h30,可得结论 ：h1+h2+h3h请直接 应用上述信息解决以下 问题 ：点 P 在 ABC 内,如图 1172所示点 P 在 ABC 外,如图 1173所示,这两种情形 时,上述结论 是否仍 成立 .如成立, 请给 出证明；如不成立,h1,h2,h3 与 h 之间又有怎 样的关系 .请写出你的猜想,不需 证明体验 中考1、已知等腰三角形ABC 的周 长为 10如设腰长为 x,就 x 的取 值范畴是2、如图 120 所示,在 ABC 和 DEF 中,ABDE,BECF,B1求证 ACDF 要求：写出证明 5 / 10名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 过程中的重要依据 2 直角三角形学问概览图勾股定理： a2+b2c2（a, b 为直角边长, c 为斜边长）勾股定理的逆定理：假如三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么直角三角形 这个三角形是直角三角形 互逆命题与互逆定理 直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（）学问点 1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角 边的平方和等于斜 边的平方,即 c2a2+b2c 为斜边长 勾股定理的作用1已知直角三角形的两 边求第三 边2已知直角三角形的一条 边,求另外两条边的数量关系3用于 证明平方关系的 问题 4利用勾股定理作出 长为n的线段勾股定理的各种表达形式在 Rt ABC 中,C90°,A,B,C 的对边长 分别为 a,b,c,就a2c2b2,b2c2a2,c2a2+b2,ca2b2,a2 cb2,bc2a2勾股定理的逆定理：假如三角形两 边的平方和等于第三 边的平方,那么这个三角形是直角三角形6 / 10名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形勾股定理是直角三角形的性 直角三角形的判定质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理1第一确定最大 边如 c2验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系如 c2a2+b2,就 ABC 是直角三角形；如 c2a2+b2,就 ABC 不是直角三角形勾股数1能够成为直角三角形三 边长的三个正整数称 为勾股数或勾股弦数2勾股数必 须是正整数如 3,4,5；5,12,13 等应用勾股定理 时,必需是在同始终角三角形中； 应用勾股定理的逆定理判定一个三 拓展 角形是直角三角形 时,肯定是最长边 所对的角是直角,其他两 边所对的角是 锐角学问点 2 互逆命 题与互逆定理 在两个命 题中,假如一个命题的条件和 结论分别是另一个命 题的结论 和条件,那么这两个 命题称为互逆命 题,其中一个命题称为另一个命 题的逆命 题拓展 每个命 题都有逆命 题原命题是真命 题,而它的逆命题不肯定是真命 题原命题和 逆命 题的真假性一般有四种情形：真、假；真、真；假、假；假、真假如一个定理的逆命 题经过证 明是真命 题那么它也是一个定理,这两个定理称 为互逆定 理,其中一个定理称 为另一个定理的逆定理拓展 每个命 题都有逆命 题但不是全部的定理都有逆定理 .学问点 3 直角三角形全等的判定定理7 / 10名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直角三角形全等的判定定理：斜 边和一条直角 边对应 相等的两个直角三角形全等 这肯定理可以 简洁 地用 “斜边、直角边”或“ HL”表示定理的作用：判定两个直角三角形全等定理的 证明：如图 130 所示,已知 Rt ABC,Rt ABC,CC90°,ABAB,ACAC,求证 Rt ABCRt ABC证明：在 ABC 和 ABC中,CC90°,BCAB2AC2,BCAB2AC2.ABAB,ACAC,BCBCRt ABCRt ABCSSS学问拓展“ HL”是直角三角形所独有的判定定理, 对于一般三角形不成立判定两个直角三角形全等 时,这两个直角三角形已 经有一 对直角相等的条件,只需找出另外两个条件即可,而这两个条件中必 须有一个是 边对应 相等与一般三角形全等一 样,只有三个角相等的两个直角三角形不肯定全等课堂检测1、写出命题“同位角相等,两直 线平行”的逆命 题,并判定真假2、如图 131 所示,在 Rt ABC 中,ACB90°,AB50,BC30,CDAB 于点 D,求CD 的长3、在正方形 ABCD 中,如图 132 所示,F 为 DC 的中点,E 为8 / 10名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - BC 上一点,且 EC1BC,求证EFA90°44、试判定三 边长分别为 2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1n0的三角形是否是直角三角形5、如图 1-38 所示,一艘货轮 向正北方向航行,在点 A 处测 得MAD30°,货轮以每小 时 20 海里的速度航行, 1 小时后到达 B 处,测得MBD=45°,该货轮 到达灯塔 M 的正 东方向的 D处时 ,货轮与灯塔 M 的距离是多少 .精确到 01 海里,31732体验中考1、如图 1-41 所示,在 ABC 中,AB=AC ,AD 是底边上的高,如 AB=5 cm,BC=6 cm,求 AD 的长度9 / 10名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、如图 145 所示,在直角梯形 ABCD 中ADBC,ABC90°,DEAC 于点 F,交BC于点 G,交AB 的延长线 于点 E,且AEAC（1）求证 BGFG；（2）如ADDC2,求AB 的长10 / 10名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页