2022年微积分下册主要知识点.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、第一换元积分法 凑微分法 第1.fg x xdxgu duFu CFx C. 换元公式x积分类型axb dx1faxb d axba0uaxba2.fxx1 dx1fx d x0 ux3 .flnx1dxflnx d lnxulnxxuex4.fexexdxfex dex一5 .faxaxdx1afax daxuax换ln元6.fsinxcosxdxfsinx dsinxusinx积7 .fcosxsinxdxfcosx dcosxucosx分8.ftanxsec2xdxftanx dtanxutanx法9.fcotxcsc2xdxfcotx dcotxucotx10 .farctanx11x2dxfarctanx d arctanxuarctan11 .farcsinx11x2dxfarcsinx d arcsinxuarcsinx二、常用凑微分公式三、 其次换元法fx dxft tdtFtCFxC, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下 : 当被积函数中含有名师归纳总结 a a2x2,可令xasin t;第 1 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b x2a2,可令x学习必备欢迎下载atant;c x2a2,可令xasect., 常采纳 倒代换x1 . t当有理分式函数中分母的阶较高时四、 积分表续4.3 分部积分法分部积分公式：udvuvvdu3.1 uvdxuvuvdx3.2 分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数或微分 的逆运算 . 一般地 , 以下类型的被积函数常考虑应用分部积分法 其中 m, n 都是 正整数 . xnsinmxxncosmxxnarctanmx 等.nx esinmxenxcosmxxnmx exnlnxxnarcsinmxxnarccosmx5.1 定积分的概念 5.2 定积分的性质名师归纳总结 bf两 点 补 充 规 定 ： a 当ab时 , bfxdx0 ;b 当ab时 , 第 2 页,共 25 页ax dxafxdx. ab性质 1b afxgx dxbfxdxbgxdx.aa性质 2bkfxdxkbfxdx,k 为常数 . aa性质 3bfxdxcfxdxbfx dx. aac性质 4b 1 adxb dx aba .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 性质 5 如在区间a,b学习必备g欢迎下载bfxdxbgx dx, ab .上有fx x,就aa推论 1 如在区间a,b上fx0 ,就bfxdxf0, ab.a,b上的最大a推论 2bfxdxb|fx|dx ab.aax在区间性质 6 估值定理 设 M 及 m 分别是函数值及最小值 ,就a ,m babfx dxMba.a ,b 上连续 ,就在a性质 7 定积分中值定理 假如函数fx在闭区间b 上至少存在一个点, 使ab.bfxdxf ba,a5.3 微积分的基本公式一、引例x二、积分上限的函数及其导数： x a f t dt定理 2 如函数 f x 在区间 a , b 上连续 ,就函数x x f t dta就是 f x 在 a , b 上的一个原函数 . 三、 牛顿莱布尼兹公式定理 3 如函数fFx是连续函数f x 在区间a,b上的一个原函数 ,就xdxFb Fa. b3.6 a公式3.4称为牛顿莱布尼茨公式 . 5.4 定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 1 设函数f x 学习必备,b欢迎下载xt满意条件：在闭区间a上连续 ,函数（1）a,b,且atb；4.1 t 在或上具有连续导数 ,就有（2）bfx dxf ttdt. a公式4.1称为定积分的 换元公式 . 定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似 . 但是,在应用定积分的换元公式时应留意以下两点：（1）用xt把变量 x 换成新变量 t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限 ,且上限对应于上限 ,下限对应于下限；（2） 求出 f t t 的一个原函数 t 后,不必象运算不定积分那样再把 t 变换成原变量 x 的函数 ,而只要把新变量 t 的上、下限分别代入 t 然后相减就行了 . 二、定积分的分部积分法b audvuvb ab vdu a或b u avdxuvb ab v u adx5.5 广义积分一、无穷限的广义积分afxdxFx| aFFabfxdxFx| bF bFfxdxFx|FF二、无界函数的广义积分名师归纳总结 bfx dxlim0bffxdx第 4 页,共 25 页aabfxdxlim0bxdx .aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5.6 定积分的几何应用一、微元法定积分的全部应用问题,一般总可按“ 分割、求和、取极限” 三个步骤把所求的量表示为定积分的形式 . 可以抽象出在应用学科中广泛采纳的将所求量U （总量 ）表示为定积分的方法 微元法 ,这个方法的主要步骤如下：1 由分割写出微元依据详细问题,选取一个积分变量,例如x为积分变量,并确定它的变化区间 a , b ,任取 a , b 的一个区间微元 x , x dx ,求出相应于这个区间微元上部重量 U 的近似值, 即求出所求总量 U 的微元2 由微元写出积分UdUfx dx；写出表示总量 U 的定积分依据dUfxdxbfxdxb adUa微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用,本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 应用微元法解决实际问题时,应留意如下两点：1 所求总量 U 关于区间a,b应具有可加性,即假如把区间a,b分成很多部分区间 , 就U 相应地分成很多部重量, 而 U 等于全部部分量U 之和. 这一要求是由定积分概念本身所打算的; 2 使用微元法的关键是正确给出部重量U 的近似表达式名师归纳总结 fxdx,即使得fxdxdUU. 在通常情形下, 要检验Ufxdx是第 5 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载dUfxdx否为 dx的高阶无穷小并非易事,因此,在实际应用要留意的合理性 . 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元dA1r2d.2所求曲边扇形的面积A2 d1 2三、 旋转体 ：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成 的立体称为 旋转体 . 这条直线称为 旋转轴 . 旋转体的体积微元dVffx2 dx ,所求旋转体的体积b aVx 2dx .四、 平行截面面积为已知的立体的体积：假如一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于肯定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来运算. dx .体积微元dVAxdx,x所求立体的体积VbAa5.7 积分在经济分析的应用6.1 空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中,我们建立了平面直角坐标系,并通过平面直角坐标系,把平面上的点与有序数组即点的坐标x,y对应起来 . 同样,为了把空间的任一点与有序数组对应起来,我们来建立 空间直角名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载坐标系 . 过空间肯定点 O, 作三条相互垂直的数轴,依次记为 x 轴（横轴 ）、y轴（纵轴 ）、 z 轴（竖轴）,统称为 坐标轴 . 它们构成一个空间直角 坐标系 Oxyz （图 6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种二、空间两点间的距离. 我们通常采纳右手系 . |M1M2|x2x 12y2y12z2z 12.三曲面及其方程定义 1 在空间直角坐标系中,假如曲面S上任一点坐标都满意方程Fx ,y,z ,0,而不在曲面 S上的任何点的坐标都不满意该方程,就0方程Fx,yz 0称为曲面 S 的方程 , 而曲面 S 就称为方程Fx,y,z 的图形空间曲面争论的两个基本问题是 : 1 已知曲面上的点所满意的几何条件,建立曲面的方程 ; 2 已知曲面方程,争论曲面的几何外形 . 平面平面是空间中最简洁而且最重要的曲面 面都可以用三元一次方程. 可以证明空间中任一平Ax By Cz D 0 1.3 来表示,反之亦然 . 其中 A、 B 、 C 、 D 是不全为零常数 . 方程 1.3称为平面的一般方程 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载柱面定义 2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线 L 所形成的轨迹称为柱面 . 这条定曲线 C 称为柱面的 准线, 动直线 L 称为柱面的 母线 . 二次曲面 在空间直角坐标系中,我们采纳一系列平行于坐标面的平面去截 割曲面,从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕）,通过综合分析这些截痕的外形和性质来熟悉曲面外形的全貌 方法称为平面截割法,简称为 截痕法 . . 这种争论曲面的椭球面x2x2y2z21a0 ,b0,c0c01.4 a2b2c2椭圆抛物面zx2y2（p 与 q 同号）0p22q双曲抛物面 p 与 q同号 x2y2z2p2q单叶双曲面x2y2z21a0,b0 ,ca2b2c2双叶双曲面x2y2z21a0,b0,a2b2c2二次锥面y2z20a0 ,b0,c0a2b2c26.2 多元函数的基本概念一、平面区域的概念 ：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念名师归纳总结 定义 1 设 D 是平面上的一个非空点集,假如对于D 内的任一点第 8 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x ,y,依据某种法就学习必备欢迎下载z 与之对应,就称f 是 Df ,都有唯独确定的实数上的二元函数, 它在x ,y处的函数值记为fx ,y,即zfx,y,其中 x,y 称为自变量 , z 称为因变量 . 点集 D 称为该函数的 定义域 ,数集z|zfx,y,x,yD称为该函数的 值域. . 当n2时, n 元函数统称为类似地,可定义三元及三元以上函数多元函数 . 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义 2 设函数zfx ,y在点P 0x 0,y0的某一去心邻域内有定义,假如当点P x ,y无限趋于点P 0x0,y0时,函数fx ,y无限趋于一个常数A,就称 A 为函数zfx ,y当x ,yx0y0时的极限 . 记为或x lim x 0y y 0fx ,y A. fx,yA（x,yx0y0）也记作lim P P 0fPA或fPAPP 0二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法就,在此不再详述 . 为了区分于一元函数的极限,我们称二元函数的极限 为二重极限 . 四、二元函数的连续性定义 3 设二元函数zfx,y在点x0y0的某一邻域内有定义,如果名师归纳总结 x lim x 0y y 0fx ,y fx 0,y 0,第 9 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就称zfx,y在点x0y0学习必备欢迎下载zfx ,y在点x0y 0处不处连续 . 假如函数连续,就称函数zfx ,y在x0y0处间断 . 与一元函数类似, 二元连续函数经过四就运算和复合运算后仍为 二元连续函数 . 由 x 和 y 的基本初等函数经过有限次的四就运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数 . 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的 . 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论,当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时,只要算出函数在该点的函数值即可 . 特殊地,在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满意的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理. 定理 1（最大值和最小值定理 ） 在有界闭区域 D 上的二元连续函数, 在 D 上至少取得它的最大值和最小值各一次 . 定理 2（有界性定理 ）在有界闭区域 D 上的二元连续函数在 D 上肯定有界 . 定理 3（介值定理 ）在有界闭区域D 上的二元连续函数 , 如在 D上取得两个不同的函数值, 就它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次 . 6.3 偏导数一、偏导数的定义及其运算法名师归纳总结 定义 1 设函数zfx,y在点x0y 0的某一邻域内有定义 , 当 y 固第 10 页,共 25 页定在0y 而 x 在0x 处有增量x 时, 相应地函数有增量fx 0x,y0fx 0,y0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假如lim x 0fx 0x ,y 0fx 0,y 0学习必备欢迎下载zfx,y在点存在 , 就称此极限为函数xx0y 0处对 x 的偏导数 , 记为x 0y 0,zxx yx 0y 0或fxx0,y0.zx yx 0y 0,fx yxx例如,有类似地,函数f xx 0y0lim x 0fx 0x ,y 0fx 0,y0. xzfx,y在点x 0y0处对 y 的偏导数 为lim y0fx 0,y0y fx0,y0, y记为zx yx 0y 0,fx yx 0y 0,z yx yx 0y 0或fyx0,y0., 只需把yy上述定义说明,在求多元函数对某个自变量的偏导数时其余自变量看作常数, 然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法就来运算之 . 二、 关于多元函数的偏导数,补充以下几点说明：（1）对一元函数而言,导数dy 可看作函数的微分 dxu 是一个整体 . xdy 与自变量的微分 dx的商. 但偏导数的记号（2）与一元函数类似,对于分段函数在分段点的偏导数要利用 偏导数的定义来求 . （3）在一元函数微分学中, 我们知道,假如函数在某点存在导数,就它在该点必定连续 . 但对多元函数而言,即使函数的各个偏导数存在,也不能保证函数在该点连续 . 例如,二元函数名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - fx ,y x2学习必备x ,欢迎下载,0 0 xy2,yy,0x ,y ,00 0 ,在点00,的偏导数为f,0 0 lim x 00fx 0 0, lim x 0f 0x , 0 xxfy0 ,0lim y 0f0 ,0yf0 ,0 lim x000 .yy但从上节例 5 已经知道这函数在点0 ,0 处不连续 . 三、偏导数的几何意义设曲面的方程为 z f x , y ,M 0 x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 是该曲面上一点,过点 M 作平面 y y 0,截此曲面得一条曲线,其方程为z f x , y 0y y 0就偏导数 fx x 0y 0 表示上述曲线在点 M 处的切线 M 0 T x 对 x 轴正向的斜率（图 6-3-1）. 同理,偏导数 f y x 0y 0 就是曲面被平面 x 0x 所截得的曲线在点 M 处的切线 M 0 T y 对 y 轴正向的斜率 . 四、 偏导数的经济意义设某产品的需求量QQp ,y,其中 p 为该产品的价格 , y 为消费者收入 . 记需求量 Q 对于价格 p、消费者收入 y 的偏转变量分别为名师归纳总结 和pQpQQpp ,yQp,y,y.的平均变化率 . 而第 12 页,共 25 页y QQp,yyQp易见,表示 Q 对价格 p 由 p 变到ppp- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Q学习必备欢迎下载lim p 0pQpp表示当价格为 p、消费者收入为 y 时, Q 对于 p 的变化率 . 称Eplim p0pQ/QQpp/ppQ为需求 Q对价格 p 的偏弹性 . 同理,yQ表示 Q 对收入 y 由 y 变到yyQy的平均变化率 . 而yQlim y0yy表示当价格 p、消费者收入为y 时, Q 对于 y 的变化率 . 称Eylim y0yQ/QQyy/yyQ为需求 Q对收入 y 的偏弹性 . 五、科布 -道格拉斯生产函数在商业与经济中常常考虑的一个生产模型是 科布 -道格拉斯生产函数px,y cxay1a,c0 且0a1,（资本其中 p 是由 x 个人力单位和 y个资本单位生产处的产品数量是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）；偏导数p和pxy分别称为 人力的边际生产力 和资本的边际生产力 ；六、高阶偏导数名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设函数zfx ,y学习必备欢迎下载在区域 D 内具有偏导数zfxx,y ,zfyx,y,xy就在 D 内f xx,y和f yx,y都是 x 、y 的函数 . 假如这两个函数的偏导数存在,就称它们是函数zfx,y的二阶偏导数 . 依据对变量求导次序的不同,共有以下四个二阶偏导数：2 2z z z z2 f xx x , y , f xy x , y ,x x x y x x y2 2z z f yx x , y , z z2 f yy x , y ,x y y x y y y其中其次、第三两个偏导称为混合偏导数 . 类似地,可以定义三阶、四阶、以及 n 阶偏导数 . 我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数 . 2 2定理 1 假如函数 z f x , y 的两个二阶混合偏导数 z 及 z 在区y x x y2 2域 D 内连续 , 就在该区域内有 z z . y x x y6.4 全微分一、微分的定义定义 1 假如函数zzfx,y 在点x ,y的全增量fxx,yyfx,y可以表示为名师归纳总结 zAxByo ,4.2 2x,y 2,就称函数第 14 页,共 25 页其中 A,B 不依靠于x,y而仅与 x, y 有关 ,xzfx ,y在点x,y可微分 , AxBy称为函数zfy在点x ,y 的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 全微分 , 记为dz,即学习必备欢迎下载dzAxBy. 4.3 如函数在区域 D 内各点处可微分,就称这函数二、函数可微的条件在 D内可微分 . 定理 1 必要条件 假如函数 z f x , y 在点 x , y 处可微分 , 就该函数在点 x , y 的偏导数 z , z 必存在 , 且 z f x , y 在点 x , y 处的全微分x ydz zx zy . 4.4 x y我们知道,一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件 . 但对于多元函数就不然 . 定理 1 的结论说明,二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件 . 由此可见,对于多元函数而言,偏导数存在并不肯定可微 .由于函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率,而全微分描述了函数沿各个方向的变化情形. 但假如对偏导数再加些条件,就可以保证函数的可微性 . 一般地,我们有：定理 2 充分条件 假如函数zfx,y的偏导数z , xz在点x ,y连y续, 就函数在该点处可微分 . 三、 微分的运算习惯上, 常将自变量的增量x 、 y 分别记为 dx、dy ,并分别称为名师归纳总结 自变量的微分 . 这样,函数zfx ,y的全微分就表为第 15 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dzzdx学习必备欢迎下载4.5 zdy.xy上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件,可以完全类似 地 推 广 到 三 元 及 三 元 以 上 的 多 元 函 数 中 去 . 例 如 , 三 元 函 数ufx ,y,z 的全微分可表为dyudz .4.6 duudxuxyz四、全微分在近似运算中的应用设二元函数zfx,y在点Px ,y的两个偏导数f xx ,y,f yx ,y连续, 且|x|,y|都较小时 , 就依据全微分定义,有即zdzzfxx,y xfyx,yy.由zfxx,yyfx ,y,即可得到二元函数的全微分近似运算公式fxx,yyfx,yfxx,yxfyx,yy4.7 6.5 复合函数微分法与隐函数微分法 一、多元复合函数微分法1复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数zfu,v,uut,vvt构成复合函数zfut,v t（5.1）dzzduzdv.公式5.1中的导数dt u dt v dtdz 称为全导数 . dt2、复合函数的中间变量为多元函数的情形名师归纳总结 设zfu,v,uux,y,vvx,y构成复合函数zfux,y,v x ,y,第 16 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - z学习必备z欢迎下载5.3 zuv x,xuxvzzuzv,5.4 yuyvy3