2022年实变函数论主要知识点.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载实变函数论主要学问点第一章集合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习：证明ABaCn1ABaC ；证明E fE f1；n2、 对等与基数的定义及性质；练习：证明 0,1；0,1 ；证明 0,13、 可数集的定义与常见的例；性质“ 有限个可数集合的直积是可数集合” 与应用；可数集合的基数；练习：证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； Q；0,1 中有理数集 E 的相关结论；4、 不行数集合、连续基数的定义及性质；名师归纳总结 练习： 0,1；第 1 页,共 5 页 P（ P为 Cantor 集）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次章 点 集1、度量空间, n 维欧氏空间中有关概念度量空间 Metric Space ,在 数学 中是指一个集合,并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的；n 维欧氏空间 : 设 V 是实数域 R 上的线性空间 （或称为向量空间） ,如 V 上定义着正定对称双线性型 g（ g 称为内积）,就 V 称为（对于 g 的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当 V 是有限维时,才称为欧几里德空间）如下关系：（1）gx,y=gy,x；（2）gx+y,z=gx,z+gy,z；（3）gkx,y=kgx,y；详细来说, g 是 V 上的二元实值函数,满意（4）gx,x>=0 ,而且 gx,x=0 当且仅当 x=0 时成立；这里 x,y,z 是 V 中任意向量, k 是任意实数；2、,聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）定（求法）；开核,导集,闭包的概念、性质及判聚点 :有点集 E,如在复平面上的一点z 的任意邻域都有E 的无穷多个点,就称 z 为 E 的聚点；内点 :假如存在点P 的某个邻域UP E,就称 P 为 E 的内点；3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor 集的构造和性质；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、练习： P, P学习必备欢迎下载；, P1,1,1,= ；2n第三章测 度 论1、 外测度的定义和基本性质（非负性,单调性,次可数可加性）2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并,可数交,差,余集,单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（留意条件）；3、 零测度集的例子和性质；4、 可测集的例子和性质；练习： mQ, mP；零测度集的任何子集仍为零测度集；有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；0,1 中有理数集 E 的相关结论；5、存在不行测集合；第四章 可 测 函 数1、可测函数的定义,不行测函数的例子；练习：第四章习题 3；2、可测函数与简洁函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简洁的证明；5、详细函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎到处收敛的关系,两者互不包含的例子；名师归纳总结 第五章积 分 论第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1、非负简洁函数L 积分的定义；学习必备欢迎下载练习：Direchlet 函数在1上的 L 积分；基本性质（§5.4 定理 1 和定理 2 诸条）；2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）3、Lebesgue 掌握收敛定理的内容和简洁应用；4、L 积分的肯定连续性和可数可加性（明白）；5、Riemann 可积的充要条件；练习： 0,1 上的 Direchlet 函数不是 R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件： 如 f 是可测集合 E 上的有界函数, 就 f 在 E 上 L-可积 f在 E 上可测；练习： 0,1 上的 Direchlet 函数是 L- 可积的；可积,是否 L可积,设f x x3,x为无理数,就f x 在 0,1 上是否 R10,x为有理数如可积,求出积分值；例 1、求由曲线22sin,2cos 2所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点2,6,2,5S26 0122641cos2dsin2d2626 0 1cos2 d+4cos2d6名师归纳总结 1sin261sin24631h 处, 而第 4 页,共 5 页20262例 2. 边长为 a 和 ba>b 的矩形薄片斜置欲液体中, 薄片长边 a 与液面平行位于深为薄片与液面成角 , 已知液体的密度为, 求薄片所受的压力- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载知道面积元素dSadx解: 取 x 为积分变量 , 变化区间为 h,h+bsin 从中取 x,x+dxsin压力元素dPxaxadx, 就sin a 1 sinPhbhbsinxdxab h1bsindxsinhsinh2名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
