2022年完整word版,等差、等比数列性质总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 等差数列性质总结1. 等差数列的定义式：ana n1d（d 为常数）（n2）；ab2等差数列通项公式：a na 1n1 ddna 1d nN*,首项 :1a ,公差 :d ,末项 :an推广：anamnm d从而danam；nm3等差中项（1）假如 a , A ,b 成等差数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项即：Aaa2b或2An（2）等差中项：数列an是等差数列2 ana n-1a n1n2, n+ N 2nana214等差数列的前n 项和公式：S n n a 1 a n na 1 n n 1d d n 2 a 1 1d n An 2Bn2 2 2 2（其中 A、B是常数,所以当 d 0时, Sn 是关于 n的二次式且常数项为 0）特殊地,当项数为奇数2 n1时,an1是项数为 2n+1的等差数列的中间项S 2n12 n1a 1a2n12 n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间2项）5等差数列的判定方法（1） 定义法：如a nan1d或an 1and 常数nNan是等差数列2（2） 等差中项：数列an2 an1anan是等差数列2anan-1an1n2数列an是等差数列anknb（其中k, 是常数）；（4）数列an是等差数列S nAn2Bn , （其中 A、B是常数）；6等差数列的证明方法定义法：如 a n a n 1 d 或 a n 1 a n d 常数 n N a n 是等差数列等差中项性质法：2 a n a n-1 a n 1 n 2,n N 7. 提示：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中, 涉及到 5 个元素：1a 、d 、n 、a 及 S ,其中 1a 、d 称作为基本元素；只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；（2）设项技巧：一般可设通项 a n a 1 n 1 d奇数个数成等差,可设为 ,a 2 , d a d a a d a 2 d （公差为 d ）；偶数个数成等差,可设为 ,a 3 , d a d a d a 3 d , （留意；公差为 2d ）8. 等差数列的性质：（1）当公差 d 0 时,等差数列的通项公式 a n a 1 n 1 d dn a 1 d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ；前 n 和 S n na 1 n n 1d dn 2 a 1 d n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2（2）如公差 d 0,就为递增等差数列,如公差 d 0,就为递减等差数列,如公差 d 0,就为常数列；名师归纳总结 （3）当 mnpq时, 就有amanapaq,特殊地,当mn2p 时,就有ama n2a . 注：a 1ana2an1a 3a n2,（4）如a n、b n为等差数列,就a nb,1 a n2b n都为等差数列5 如a 是等差数列,就S S 2 nS S 3nS 2n, 也成等差数列（6）数列 a n为等差数列 ,每隔 kk* N 项取出一项 a m,a mk,a m2 k,am3k,仍为等差数列第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （7）设数列an是等差数列, d 为公差,S 奇是奇数项的和,S 偶是偶数项项的和,S 是前 n 项的和当项数为偶数2 时,1nn a12a2n1nan1n+1S偶nn1S 奇a 1a3a5a2nS偶a2a4a6a2nna2a2nnan2S偶S奇nan1nanan1annd1aS 偶nan1an1S奇nanan1an+1S 奇n当项数为奇数2n1 时,就S 2n1S 奇S 偶2nS 偶nan+1S 奇S 偶an+1S 奇（其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） （8） b n 的前 n 和分别为 A 、B ,且 A n f n ,B n就 a n 2 n 1 a n A 2 n 1f 2 n 1 . b n 2 n 1 b n B 2 n 1（9）等差数列 a n 的前 n 项和 S m n ,前 m 项和 S n m ,就前 m+n 项和 S m n m na n m a m n 就 a n m 010 求 S 的最值法一：因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要留意数列的特殊性 n N ；*法二：（ 1）“ 首正” 的递减等差数列中,前n 项和的最大值是全部非负项之和即当a 10,d0,由an100可得S 达到最大值时的 n 值an（2） “ 首负” 的递增等差数列中,前n 项和的最小值是全部非正项之和；即 当a10,d0,由an10可得S 达到最小值时的 n 值a0或求an中正负分界项n留意：解决等差数列问题时,通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 1a 和 d 的方程；奇妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,削减运算量名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 等比数列性质a n1q q0n2,且nN*,q称为公比1. 等比数列的定义：an2. 通项公式：a 1q0,A B0, 首项：a ；公比： qa na qn1a 1qnA Bnq推广：a na qn m,从而得qn mana m3. 等比中项（1）假如 a A b 成等比数列,那么 A叫做a与b的等差中项即：A 2ab 或 A ab留意：同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）2（2）数列 a n 是等比数列 a n a n 1 a n 14. 等比数列的前 n 项和 S 公式：1 当 q 1 时,S n na 1S n a 1 1 q na 1 a q2 当 q 1 时,1 q 1 qa 1 a 1 q nA A B nA B nA '1 q 1 q（A B A B 为常数）5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n, 都有a n1qan或an1q q 为常数,a n0an为等比数列a n（2） 等比中项：a n2a n1a n1（an1 an10）na为等比数列a n为等比数列（3） 通项公式：a nA BnA B0a n为等比数列S nAA Bn或 S nA BnA'A B A B'为常数（4） 前 n 项和公式：6. 等比数列的证明方法依据定义：如an1q q0n2,且nN*或an1qana n为等比数列a n7. 留意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5 个元素：a 、 q 、 n 、a 及S ,其中a 、 q称作为基本元素；只要已知这5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余2 个,即知 3 求 2；（2）为削减运算量,要留意设项的技巧,一般可设为通项；ana qn1如奇数个数成等差,可设为 ,a 2, qa a aq aq q2 （公比为q,中间项用a表示）；8. 等比数列的性质1 当q1时a nna qn1a 1qna 1A BnA B0是关于 n 的带有系数的类指数函数,底数等比数列通项公式 为公比qq前 n 项和S na 11qa 1n a q 11qa 1qnAA Bnn A BA',系数和常数项是互为相1q1q1q名师归纳总结 第 3 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 反数的类指数函数,底数为公比 qn m2 对任何 m,n N , 在等比数列 a n 中, 有 a n a q , 特殊的 , 当 m=1时, 便得到等比数列的通项公式 . 因此 , 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性；3 如 m+n=s+t m, n, s, t N , 就 * a n a m a s a . 特殊的 , 当 n+m=2k时, 得 a n a m a k 2注：a 1 a n a 2 a n 1 a a n 2 k k a n 4 列 a n , b n 为等比数列 , 就数列 a n , k a n , a n , k a n b n b n k 为非零常数 均为等比数列 . 5 数列an为等比数列 , 每隔 kk* N 项取出一项 am,am k,am2k,am3k,a2 n 仍为等比数列6 假如an是各项均为正数的等比数列, 就数列logaa n是等差数列12a3 n成等比数7 如an为等比数列 , 就数列S ,S 2nS ,S 3nS 2,成等比数列8 如an为等比数列 , 就数列a 1a2a , an1a n2a2n, a2n列9 当q1时,当0< q1时,第 4 页,共 4 页a 10,就 a n为递增数列a 10,就an为递减数列a 10,就 a n为递减数列, a 10,就a为递增数列n当 q=1 时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当 q<0 时, 该数列为摇摆数列 . S 奇110 在等比数列an中, 当项数为 2n n* N 时,S 偶q,. 11 如an是公比为 q 的等比数列 , 就S nmS nqnS m名师归纳总结 - - - - - - -