2022年小问题大用处高中数学小问题集中营之必修一函数性质专题三抽象函数的单调性与奇偶性.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 一、问题的提出抽象函数是指没有给出详细的函数解析式或图像, 但给出了函数满意的一部分性质或运算法就. 由于此类函数问题既能全面地考查同学对函数概念的懂得及性质的应用、推理和论证才能, 又能综合考查同学对数学符号语言的懂得和接受才能, 表达了函数与方程、数形结合、一般与特别等重要的数学思想, 所以倍受命题者的青睐 . 二、问题的探源由于抽象型函只是给出一些特别条件的函数问题, 比较抽象 , 同学难以懂得 , 接受困难；教材又没有讲解处理 , 因此 , 这类问题经常困惑着不少师生 . 但是这类问题对于进展同学的思维才能 , 进行数学思想方法的渗透 , 培育同学的创新思想 , 提高同学的数学素养 , 有着重要作用 . 为此 , 本文就这类问题的解题思路及方法谈点看法 . 1. 利用特别模型的解题思想在中学函数部分教材中可以找到一些抽象型函数的特别模型（列表如下）, 特别函数模型与抽象函数对比一览表特别函数模型 0抽象函数x y =fx x 、 y 正比例函数fx=kx kfx+y=fx + fy （x、yR）幂函数 fx=xfxy=fxfy x、 y R ;f fyR,y 0指数函数fx=ax a 0,a 0fx+y=fxfy, x、 y R ;fx-y=fx x 、 y fyR,fy 0名师归纳总结 - - - - - - -对 数 函 数fx=ax a fxy=fx+fy,f x y = fx fy x0,y 0 0,a 0如充分利用这些模型解题, 既可使同学把握解决数学问题的规律, 培育明白题才能, 又使同学体会到人们对事物的熟识 , 总是在感性熟识的基础上, 通过抽象概括上升为理性熟识, 最终揭示事物的本质, 这样一种熟识规律 . 对于抽象函数解答题, 虽然不行用特别模型代替求解, 但可借助特别模型懂得题意；同时, 对于有些对第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 应的特别模型不是同学熟识的基本初等函数的抽象函数解答题, 要启示同学通过适当变通去寻求特别模型,从而得到抽象函数问题的求解方法 . 2. 利用特别方法的解题思想对于用常规解法难以解决的数学问题, 如利用一些特别的数学思想方法求解, 有时会收到事半功倍的成效.,如抽象函数奇偶性的判定一般通过合理赋值, 抽象函数单调性的判定一般用定义, 解关于抽象函数的不等式一般利用用单调性脱去f. 三、问题的佐证 1. 以正比例函数为模型【例 1. 】已知 f（x）是定义在 R上的函数 , 对任意的 x、yR都有 f （x+y）= f （x）+ f（ y）, 且当 x>0 时, f（x）<0, f （ 1）=2. 问当 3 x 3 时, 函数 f （ x）是否存在最大值？如存在 , 恳求出最大值；如不存在 , 请说明理由 . 【分析】 我们知道 , 正比例函数f kx k0 满意 fxyf f . 依据题设 , 我们可推知本题是以函数f （x）= 2x 作为模型设计的问题. 于是 , 我们可以判定函数f （x）的奇偶性、单调性入手来求解. 【解析】令 x=y=0, 就 f （0+0）= f （0）+ f （0）, 解得 f （0） =0 又由于 f （x） + f （ x）= f （xx） = f （0）=0 所以 f （ x） = f （ x）即函数 f （x）为奇函数 . 设 x 1、x2R,x 1x 2, 就 x2xx10x2x10依题意 , 有 f x2x 101ffx2f x1f x2f所以 , f x2fx 1即函数 f （x）在 R上是减函数 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 因此 , 函数 f （ x）当3x3时有最大值f （ 3）, 且f （ 3）= f （3）= f （1）+ f （2） = 3 f （1）= （ 3）· （ 2）=6 2. 以一次函数为模型【例 2】 定义在 R上的函数 f （x）满意 fxy1f x f ,f10, 且 x1时, f （ x）<0. 22判定 f （x）的单调性 , 并证明 . 【分析】 对于一次函数f x kxb k0 有 f f fxyb成立 . 分析此题条件可知该题是以函数 f （x）=2x+1 为模型命制的 . 3. 以指数函数为模型【例 3】设函数 f（x）定义在 R上, 对于任意实数m、n, 恒有 f mn f m ·f n , 且当 x>0 时,0< f（x）<1. （1）求证： f （0）=1, 且当 x<0 时 , f （x） >1；（2）求证： f （x）在 R上单调递减；【分析】 分析此题条件和结论, 可推知此题是以函数f x ax0a1 为模型命制的 . 【解析】（1）令 m=1,n=0, 得 f （1）= f （1）·f （ 0）又当 x>0 时,0< f （x）<1, 所以 f （0） =1 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 x<0, 就 x>0 令 m=x,n= x, 就 f （0）= f （x）·f （ x）. 所以 f （x）·f （ x）=1 又 0< f （ x）<1, 所以 f x f1x1（2）设 x 1、x2R, 且 x 1x2, 就 x2x 10所以 0fx2x 11从而 f x2f x2x 1x 2fx 2x 1·f x 1又由已知条件及（1）的结论知f （x） >0 恒成立所以f fx2f x2x 1, 所以 0f x21x 1f x1所以 f （x2） < f （ x1）, 故 f （x）在 R上是单调递减的4. 以对数函数为模型【例 4】设函数 y= f （x）定义域为0, 且对任意的实数x、y, 有 f （ xy）= f （ x）+ f （y）, 已知 f（2）=1, 且当 x>1 时 f （x）>0. （1）求证：f11 ；x为模型命题的 . 2（2）试判定 y= f （x）在 0,上的单调性 , 并证明 . 【分析】 分析此题条件 , 可判定该题是以函数f x log 2证明：（1）令 x=y=1, 就 f （1）= f （1）+ f （1）解得： f （1）=0 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 令x2,y1, 就f2f1f10, 22解得： f 12f 10上是增函数 . （2）设 0x 1x , 就x 2x 11, 于是 fx 2x 1由于 f x2f x 1fx 2x 1所以 f x2f x 1fx 20x 1所以 f x2fx 1, 即函数 f （x）在 0,四、问题的解决1. 定义在 R上的函数 y=fx,f0 0, 当x>0 时,fx>1,且对任意的a、 bR,有 fa+b=fafb, （1）求证： f0=1 ；名师归纳总结 （2）求证：对任意的xR,恒有 fx>0 ；fx yR 有f xy0.f x g y2.g x f 且（3）证明： fx是 R上的增函数；（4）如 fx · f2x -x2>1, 求 x 的取值范畴 . 2. 已知 函数f x ,g x 在 R 上 有定义 , 对任意的f10x又f1 第 5 页,共 12 页（1）求证：f x 为奇函数y 且当 x0,f（2）如f1f2, 求g1g 1的值3. 已知函数f x 对任意实数x, 恒有fxy fx1 判定f x 的奇偶性；2 求fx在区间 3,3 上的最大值；3 解关于 x 的不等式fax22fxfax4 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 已知 f x 在 1,1 上有定义 , f 1 1, 且满意 x, y 1,1 有 f x f y f 2xy 1xy证明： f x 在 1,1 上为奇函数；5. 已知函数yfx,xN,fxN, 满意：对任意x 1,x2N,x 1x2,都有f（ b）成立 , 且 f 0 . x 1fx 1x2fx2x 1fx2x2fx 1；（1）试证明：fx为 N上的单调增函数；（2）nN , 且f01, 求证：f n n1；6. 已知函数f x 的定义域为0,1 , 且同时满意：1 对任意x0,1, 总有f x 2；2f133 如x 10,x 20且x 1x 21, 就有f x 1x 2f x 1f x 22. I 求f0的值；II求f x 的最大值 . 7. 定义在 R上的函数 f（ x）对任意实数a、b 都有 f （a+b）+ f （ab）=2 f（a）·（1）求 f （0）的值；（2）试判定 f （x）的奇偶性；（3）如存在常数c>0 使 fc0 , 试问 f（x）是否为周期函数？如是, 指出它的一个周期；如不是, 请说明2理由 . 8. 已知函数 f （x）的定义域关于原点对称, 且满意：（1） f x 1x2f x 1·f x21f x2f x 1（2）存在正常数a, 使 f （a）=1 求证：（1）f （x）是奇函数；名师归纳总结 （2）f （x）是周期函数 , 并且有一个周期为4a第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 函数fx的定义域为R,并满意以下条件：对任意xR, 有fx0；对任意 x 、yR, 有fxyfx y；f11.就fxqfqfx . 3（1）求f0的值；（2）求证：fx在 R上是单调增函数；（3）如abc0 且b2ac, 求证：fafc2fb.10. 定义在区间 （0,）上的函 fx满意：（1）fx不恒为零；（ 2）对任何实数x、q, 都有（1）求证：方程fx=0有且只有一个实根；2bf（2）如 a>b>c>1, 且 a、b、c 成等差数列 , 求证：fafc f2 b；a（3）如 fx 单调递增 , 且 m>n>0时, 有fm fn2fm2n, 求证： 3m2af b11. 已知 fx 是定义在 R上的不恒为零的函数, 且对于任意的a bR 都满意： fa b（）求f0 ,f1的值；x7x ,（）判定fx 的奇偶性 , 并证明你的结论；12（2005 年广东省高考试题）设函数f x 在 , 上满意f2xf2x ,f7且在闭区间 0,7 上 , 只有f1f30（）试判定函数yf x 的奇偶性；（）试求方程f x =0 在闭区间 -2005,2005 上的根的个数, 并证明你的结论答案1. 【解析】（1）令 a=b=0, 就 f0=f0 2f0 0 f0=1 （2）令 a=x,b=-x 就 f0=fxf-x f x 1f x 由已知 x>0 时,fx>1>0, 当 x<0 时 ,-x>0,f-x>0 f x f 1x 0 又 x=0 时,f0=1>0 对任意 xR,fx>0 名师归纳总结 3 任取 x2>x1, 就 fx2>0,fx1>0,x2-x 1>0 第 7 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx 2fx2fx 1fx 2x 11fx 1fx2>fx1 fx 在 R上是增函数f0 0（4）fx · f2x-x2=fx+2x-x2=f-x2+3x 又 1=f0, fx在 R上递增由 f3x-x2>f0得： 3x-x2>0 0<x<3 3. 【解析】（ 1）取xy0 ,就f00 2f 0 名师归纳总结 取yx ,就fxx fx fx 6 axf2第 8 页,共 12 页fxfx 对任意xR恒成立fx 为奇函数 . （2）任取x 1,x 2, 且x 1x2, 就x2x 10fx2fx 1fx 2x 10fx2fx 1,又fx 为奇函数fx1fx2fx 在（ ,+ ）上是减函数. 对任意x3 3, , 恒有fx f3 而f3 f21f2f1 3f1 236f3f 3 6fx 在 3,3 上的最大值为f（3）fx 为奇函数 , 整理原式得fax2f2x进一步可得fax22x fax2而fx 在（ ,+ ）上是减函数,ax22xax2ax2 x1 0.当a0时,x1, 当a2时,xx|x1 且xR 当a0时,xx|2x1a当0a2时, xx|x2或x1 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 a>2 时,xx|x2或x1 ag-1+g1=1 4. 【证明】令 xy0, 2f 0 f 0, f 0 0 令 y x, 就 f x f x f 0 0 f x f x 0 f x f x f x 为奇函数5. 【解析】（ 1）由知 , 对任意a bN*,ab, 都有abfafb0, 由于ab0, 从而fafb, 所以函数fx为* N 上的单调增函数. （2）由（ 1）可知nN 都有 fn+1>fn,就有 fn+1fn+1 fn+1-fn1,fn-fn-11 f2-f11f1-f01由此可得 fn-f0n fnn+1 命题得证7. 【解析】（ 1）令 a=b=0就 f （ 0）+ f （0）=2 f （0）·f （0）所以 2 f （0）· f （0） 1=0 又由于 f 0 , 所以 f （ 0）=1 （2）令 a=0, b=x, 就 f （x）+ f （ x）=2 f （0）·f （x）由 f （ 0）=1 可得 f （ x）= f （x）所以 f （x）是 R上的偶函数 . 名师归纳总结 （3）令 axc,bc, 就第 9 页,共 12 页22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fxccfxcc2fxc·fc222222由于 fc02所以 f （x+c） + f （x）=0 所以 f （x+c） = f （ x）所以 f （x+2c）= f （x+c）= f （x）= f （x）所以 f （x）是以 2c 为周期的周期函数 . 8. 【证明】（ 1）设 t x 1 x 2, 就f t f x 2 x 1 f x 2 ·f x 1 1f x 1 f x 2 f x 1 ·f x 2 1f x 2 f x 1 f x 1 x 2 f t 所以函数 f （x）是奇函数 . （2）令 x 12 ,x 2a, 就 f a f2a ·f a 1f a f2a即 1f2 a11f2a 解得： f （2a）=0 所以 f x2af x ·f2 a11f ·fa211f2 af fa 2f x f x 所以 f x4afx1f x2a1f x名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 因此 , 函数 f （ x）是周期函数 , 并且有一个周期为 4a. 10. 【解析】 1 取 x=1,q=2, 有名师归纳总结 f 1 2f2 即f1 01 是fx 0 的一个根,如存在另一个实根x01, 使得1.0第 11 页,共 12 页fx 10 对任意的x 1x 1 0 , 成立,且x 1x0qq0 ,有fx 1qfx00 ,fx00恒成立,f（x 10 ,与条件冲突,fx0有且只有一个实根x（2）abc1 ,不妨设abq 1 ,cbq2, x , 就 q 10,q20fafc fbq 1fbq 2q 1q2f2b, 又 a+c=2b, ac-b2 =a4c 20即 ac<b2bq 1q 2b2,0q 1q22,q q 1q 12q221fafc f2 b3f 1,0fx 在 ,0 单调递增,当x 0 1, 时fx ;0当x ,1 时,f又fm fn ,fm f n ,f m fn ,mn,0fm fn .令 m=b q ,n=bq2,b,1 且 q1q20- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就 fm+fn=q1q2fb=fmn=0mn10.n1m ,fm 2fm2n2,且m,1m2nmn,1fm 2fm2n,fm 0f4m2n222mm2n2即 4m= m22 mnn2,4mm22n2, 由 0<n<1 得mm,1m1, 3m2211. 【解析】（）取a=b=0 得 f0=0,取 a=b=1 得 f1=0, （）取 a=b=-1 得 f1=-2f-1,所以 f-1=0, 取 a=x,b=-1得 f-x=-fx+xf-1=-fx, 所以 fx 是奇函数； II由f2x f 2xfxf 4xf 4xf 14xf7x f 7xfxf 14x 名师归纳总结 fx fx100第 12 页,共 12 页II 又f3 f0 0,f11 f 13 f7f9 故 fx在0,10和-10,0上均有有两个解, 上有 400 个解 , 从而可知函数yf x在0,2005上有 402 个解 , 在 -2005.0所以函数yfx 在-2005,2005上有 802 个解 .- - - - - - -