2022年师高中数学圆锥曲线所有知识点总结、图表总结、圆锥曲.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学第八章- 圆锥曲线方程§08. 圆锥曲线方程 学问要点一、椭圆方程 . 1. 椭圆方程的第肯定义：PF1PF22 aF1 F2方程为椭圆,PF1PF22 aF1 F2无轨迹,PFPF2 aF以F1 ,F2 为端点的线段1 F122椭圆的标准方程：i. 中心在原点,焦点在 x 轴上：xa 22 b y 22 1 a b 0 . ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上：a y2 2b x 22 1 a b 0 . 一般方程：Ax 2 By 2 1 A ,0 B 0 .椭圆的标准参数方程：a x 22 b y 22 1 的参数方程为 xy ab cossin（一象限 应是属于 0）. 2顶点： a 0, 0 , b 或 0 , a b , 0 .轴：对称轴：x 轴, y 轴；长轴长 2 ,短轴长 2 .焦点： c 0, c , 0 或 0 , c ,0 c .焦距：F 1 F 2 2 c , c a 2b 2.准线：x ac 2或 y ac 2.离心率：ea c 0 e 1 .焦点半径：i. 设 P x 0y 0 为椭圆a x 22 b y2 21 a b 0 上的一点,F 1,F 2 为左、右焦点,就 a ex 0 , PF 2 a ex 0由椭圆方程的其次定义可以推出 . ii. 设 P x 0y 0 为椭圆 x 22 y2 21 a b 0 上的一点,F 1,F 2 为上、下焦点,就 PF 1 a ey 0 , PF 2 a ey 0b a由椭圆方程的其次定义可以推出 . 2 2由椭圆其次定义可知：pF 1 e x 0 a a ex 0 x 0 0 , pF 2 e ax 0 ex 0 a x 0 0 归结起来为 “左加右减 ”. c c留意：椭圆参数方程的推导：得 N a cos , b sin 方程的轨迹为椭圆 . 通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经 .坐标：d 2a b2 2 c , ba 2 和 c , ba 22 2 2 2共离心率的椭圆系的方程：椭圆a x2 b y2 1 a b 0 的离心率是 e ca c a 2 b 2,方程a x2 b y2 t t 是大于 0 的参数,a b 0 的离心率也是 e c我们称此方程为共离心率的椭圆系方程 . a如 P 是椭圆：a x 22 b y 22 1 上的点 . F 1, F 2 为焦点,如 F 1PF 2,就 PF 1F 2 的面积为 b 2tan2（用余弦定理与2PF 1 PF 2 2 a 可得） . 如是双曲线,就面积为 b cot . 2二、双曲线方程 . y1. 双曲线的第肯定义： bcos acos , , bsinasin PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 方程为双曲线 N xPF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 无轨迹PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 以 F 1 , F 2 的一个端点的一条射线 N的轨迹是椭圆 双曲线 标准方程：a x 22 b y 22 1 a , b 0 ,a y2 2b x 22 1 a , b 0 . 一般方程：Ax 2Cy 21 AC 0 . i. 焦点在 x 轴上：第 1 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 顶点：a,0,a ,0焦点：c ,0,c,0 准线方程xa2渐近线方程：xy0或x2y20,ca2b2abii. 焦点在 y 轴上：顶点：0,a,0,a. 焦点：0,c,0c. 准线方程：ya2. 渐近线方程：yx0或y2x20ca2b2ab参数方程：xasec或xbtan.ybtanyasec准线距2 a2（两准线的距离） ；通径2 b2. 轴x,y为对称轴, 实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. 离心率ec. aca参数关系c2a2b2,ec. 焦点半径公式：对于双曲线方程x2y21（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分aa2b2别为双曲线的上下焦点）“ 长加短减” 原就：MF 1 ex 0 a M F 1 ex 0 a构成满意 MF 1 MF 2 2 a（与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号运算,而双曲线MF 2 ex 0 a M F 2 ex 0 a不带符号）yyMF 1 ey 0 a M' MF1MF 2 ey 0 a x x MF1 F 2M F 1 ey 0 a M'M F 2 ey 0 aF2等轴双曲线：双曲线 x 2y 2a 2称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y x,离心率 e 2 . 2 2共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线 . x2 y2 与a ba x 22b y 22 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：a x 22 b y2 20 . 共渐近线的双曲线系方程：x 22 y 22 0 的渐近线方程为 x 22 y2 20 假如双曲线的渐近线为 x y 0 时,它的a b a ba by双曲线方程可设为a x 22 b y2 2 0 . 4 3 2例如：如双曲线一条渐近线为 y 12 x 且过 p ,3 12 ,求双曲线的方程？F1 5 3F 2 1 x解：令双曲线的方程为：x4 2y 2 0 ,代入 ,3 12 得 x8 2 y2 21 . 3直线与双曲线的位置关系：区域：无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条；区域：即定点在双曲线上,1 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条；区域： 2 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点,1 条切线, 1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条；区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线 . 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4 条. （2）如直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入“”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号 . 如 P 在双曲线x2y21,就常用结论1：P 到焦点的距离为m = n,就 P 到两准线的距离比为mn. a2b2第 2 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 简证：d1PF1= m . ned2PF2e常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 三、抛物线方程 . 3. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：x22pyxx22pyxy22pxy22px图形y yF 0 , yF,0 yOxxOO焦点Op 2p 2F p 2, 0 Fp, 02准线xpxpypyp. 2222范畴x,0yRx0,yRxR, y0xR, y0对称轴x 轴y 轴顶点（0,0）离心率e1焦点PFpx 1PFpx 1PFpy 1PFpy12222注：ay2bycx顶点4acab2b.42ay22pxp0 就焦点半径PFxP;x22pyp0 就焦点半径为PFyP. 22通径为 2p,这是过焦点的全部弦中最短的. y22px（或x22py）的参数方程为x2pt2（或x2pt2）（ t 为参数） . y2pty2pt四、圆锥曲线的统肯定义. 4. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点F 和定直线 l 的距离之比为常数e 的点的轨迹 . 当0e1时,轨迹为椭圆；当e1时,轨迹为抛物线；当e1时,轨迹为双曲线；当e0时,轨迹为圆（ec,当c0,ab时） . a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的第 3 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 注： 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质定义椭圆双曲线抛物线1到两定点 F1,F2 的距离1到两定点F1,F2的距之和为定值 2a2a>|F1F2|离之差的肯定值为定值的点的轨迹2a0<2a<|F1F2|的点的轨迹2与定点和直线的距离2与定点和直线的距离与定点和直线的距离相等之比为定值e 的点的轨之比为定值e 的点的轨的点的轨迹 . 迹 .（0<e<1）迹.（ e>1）图形方标准x2y21ab>0 x2y21a>0,b>0 x yy2=2px 方程a2b2a2b2程参数x ya bcos sinx ya secb tan2 2pt pt2t 为参数 方程 参数为离心角） 参数为离心角）范畴 a x a, b y b |x| a,y R x 0 中心原点 O（0,0）原点 O（0,0）0,0 顶点a,0, a,0, 0,b , a,0, a,00, b1.对称轴x 轴, y 轴；x 轴, y 轴; rFx 轴长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a, 虚轴长 2b. p 2,0焦点F1c,0, F2 c,0F1c,0, F2 c,0焦距2c （c=a2b2）2c （ c=a2b2）e=1 离心率ec0e1 ece1 xpaa准线x=a2x=a22cc渐近线raexry=±bx a焦半径axp 2ex通径2 b22 b22p aa焦参数a2a2P cc椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2.等轴双曲线第 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.共轭双曲线. 5. 方程 y 2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程6.共渐近线的双曲线系方程. 一、椭圆学问总结表格：项目内容e|F F 2|）的点的轨迹叫椭圆；第肯定义平面内与两个定点F F 的距离之和等于常数（大于其次定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数e01的点的轨迹叫椭圆；图形第 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 几标准方程x22 y1 abo2 xy21 abo a2b22 ba2范畴|x|a,|y|b|x|b ,|y|a顶点与长A 1a,0,A a ,0,长轴长2aA 10,a,A 20, ,长轴长2a短轴的长B 10,b,B 20, ,短轴长2 bB 1b,0,B b ,0,短轴长2 b焦点焦距F 1c,0,F 2 ,0F 10,c F20, |F F 2|2 其中c2a2b2|F F 2|2 其中c2a22 b准线方程xa2ya2cc焦半径左PF 1aex 0,右PF2aex 0下PF 1aey 0,上PF 2aey 0何焦准距p2 ac2 b性cc质离心率ec0e1,b12 e（ e越小,椭圆越近似于圆）aa准线间距d2a2c对称性椭圆都是关于,x y 轴成轴对称,关于原点成中心对称通径q2b2a焦点三角椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形,其周长为2a2 c ,解题中常用余形弦定理和勾股定理来进行相关的运算焦点弦三椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形,其周长为4a ；角形参数方程xacos sin为参数）xbcos为参数）ybyasin留意：1、椭圆按向量am n 平移后的方程为：xm 2a2ybn 221或xm 2b2yan 221,平移不转变点与点之间的相对位置关系（即椭圆的焦准距等距离不变）和离心率；2、弦长公式：已知直线：y|kxb 与曲线交于两点A x 1,y 1,B x2,y 2,就1|y2y 1|11y 2y 14y y 2|AB|1k2x 2x 1|1k2x 2|1x 14x x 2或|ABk2k23、中点弦问题的方法：方程组法,代点作差法；两种方法总体都表达高而不求的数学思想；双曲线项目内容|F F2|）的点的轨迹叫双曲线；第肯定义平面内与两个定点F F 的距离之差等于常数 （小于其次定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数e e1的点的轨迹叫双曲线；第 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图形标准方程x22 y1 , a bo y2x21 , a boa22 ba2b2范畴|x|a yRxR ,|y|a顶点与实A 1a,0,A a ,0,实轴长2aA 10,a,A 20, ,实轴长2a虚轴的长虚轴长2 , b ab 叫等轴双曲线虚轴长2 , b ab 叫等轴双曲线焦点焦距F 1c,0,F 2 ,0F 10,c F20, |F F 2|2 其中c2a2b2|F F 2|2 其中c2a22 b准线方程xa2ya2cc当P x 0,y 0在右支上时当P x 0,y0在上支上时左PF 1ex 0a,右PF2ex 0a下PF 1ey 0a ,上PF 2ey 0a焦半径几渐近线方当P x 0,y 0在左支上时当P x 0,y0在下支上时2a何左PF 1 ex 0a,右PF2ex 0a 下PF 1ey 0a,上PF 2 ey 0性质ybx 或x2y20yax 或2 y2 ax20程aa2b2bb2焦准距pca22 bcc离心率ec e1,b2 e1（ e越小,双曲线开口越小）,等轴双曲线的eaa准线间距d2a2c对称性双曲线都是关于,x y 轴成轴对称,关于原点成中心对称通径q2b2a焦点三角双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形,解题中常用余弦定理和勾股定形理来进行相关的运算焦点弦三双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形；角形参数方程xasec为参数）xbtan为参数）ybtanyasec项目内容第 7 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物定义平面内到定点F 的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线；线图形标准方程y22px p0y22px p0x22py p0x22py p0范畴x0,yR|x0,yRy0,xR|y0,xR开口方向向右向左向上向下焦准距p p0F0,p顶点坐标坐标原点（ 0,0）几焦点坐标Fp,0Fp,0F0,p何2222性准线方程l:xpl:xpl:ypl:yp2222质对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴离心率e1PF|py 0通径长2p焦半径|PF|x 0pPF|px 0|PF|y 0p2222一、焦点弦的结论： （针对抛物线：y22px 其中p0）A x 1,y 1,B x 2,y2, AB 为过焦点Fp,0的弦,就21、焦点弦长公式：ABx 1x 2p2p2pcot22psin22、通径是焦点弦中最短的弦其长为2py y23p23、x x 2p2,y y22 p ,OA OBx x 2444、以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切5、已知 A 、 B 在准线上的射影分别为A 、B ,就三点 A 、 O 、B 共线,同时定点B 、O、A 三点也共线6、已知 A 、 B 在准线上的射影分别为A 、B ,就A FB 1907、|1|1|2AFBFp二、顶点直角三角形：直角顶点在抛物线顶点的三角形与其对称轴交于一个P2 ,0,反之,过定点P2p,0的弦所对的顶点角为直角；三、从抛物线的焦点动身的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行；【同步基础】第 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 圆锥曲线基础测试2 21 已知椭圆 x y1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,就 P 到另一焦点距离为（）25 16A 2 B3 C5 D72如椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6 ,就椭圆的方程为（）2 2 2 2 2 2 2 2A x y1 Bx y1 Cx y1 或 x y 1 D以上都不对9 16 25 16 25 16 16 253动点 P 到点 M 1 0, 及点 N 3 , 0 的距离之差为 2 ,就点 P 的轨迹是（）A 双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线4设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c d,那么双曲线的离心率 e等于（）A 2 B 3 C2 D325抛物线 y 10 x 的焦点到准线的距离是（）5 15A B 5 CD102 26如抛物线 y 2 8 x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,就点 P 的坐标为（）A 7, 14 B 14, 14 C 7, 2 14 D 7, 2 147如椭圆 x 2my 21 的离心率为 3,就它的长半轴长为 _. 28双曲线的渐近线方程为 x 2 y 0,焦距为 10 ,这双曲线的方程为 _；2 29如曲线 x y1 表示双曲线,就 k 的取值范畴是；4 k 1 k210抛物线 y 6 x 的准线方程为 . 11椭圆 5 x 2ky 25 的一个焦点是 0 , 2 ,那么k；12 k 为何值时,直线 y kx 2 和曲线 2 x 23 y 26 有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？13在抛物线 y 4 x 上求一点,使这点到直线 2y 4 x 5 的距离最短；14双曲线与椭圆有共同的焦点F 10, 5,F 20,5,点P3, 4是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程；15如动点P x y 在曲线x2y21 b0上变化,就2 x2y 的最大值为多少？4b2第 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案1D 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2 a10,1037x P7,yp2 142C 2 a2 b18, ab9,2c6,c3,c2a2b29,ab1得a5,b4,x2y21或x2y21251616253D PMPN2,而MN2,P在线段 MN 的延长线上4C 2 a2c c22 a2,e2c22,e2ca25B 2p10,p5,而焦点到准线的距离是p6C 点 P 到其焦点的距离等于点P 到其准线x2的距离,得7 1, 或2当m1时,x2y21,a1；114,a21m当 0m1时,y2x21,e2a2a2b21m3,m1,a21144mm8x2y21设双曲线的方程为2 x42 y4,25,0,焦距2 c10,2 c25205当0 时,2 xy21,20；4当0 时,y2x21,425,2049 , 41,4k1k0,k4 k1k0,k1,或 k410x32p6,p3,xp35 k14,1222y2111x2焦点在 y 轴上,就1,c251k第 10 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12解：由 y2 kx 22,得 2 x 23 kx 2 26,即 2 3 k 2 x 212 kx 6 02 x 3 y 6144 k 2 242 3 k 2 72 k 2 48当 72 k 248 0,即 k 6, 或 k 6 时,直线和曲线有两个公共点；3 3当 72 k 248 0,即 k 6, 或 k 6 时,直线和曲线有一个公共点；3 3当 72 k 248 0,即 6k 6 时,直线和曲线没有公共点；3 313解：设点 P t ,4 t 2,距离为 d ,d 4 t 4 t 25 4 t 24 t 517 17当 t 1 时, d 取得最小值,此时 P 1 ,1 为所求的点；2 22 214解：由共同的焦点 F 1 0, 5, F 2 0,5,可设椭圆方程为 y2 2 x1；a a 252 2双曲线方程为 y2 x2 1,点 P 3,4 在椭圆上,162 2 91, a 240b 25 b a a 25双曲线的过点 P 3,4 的渐近线为 y b2 x,即 4 b2 3, b 21625 b 25 b2 2 2 2所以椭圆方程为 y x1；双曲线方程为 y x140 15 16 915解：设点 P 2cos , b sin ,x 22 y 4cos 22 sin 4sin 22 sin 4令 T x 22 ,sin t , 1 t 1,T 4 t 22 bt 4, b 0,对称轴 t b4当 b 1, 即 b 4 时,T max T | t 1 2 b；当 0 b1, 即 0 b 4 时,4 4第 11 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页