2022年微分中值定理研究报告和推广.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用渤海高校毕业论文 <设计）题目微分中值定理的讨论和推广完成人姓名 张士龙主 修 专 业数学与应用数学所 在 院 系 数学系入 学 年 度 2002 年 9 月完 成 日 期 2006年 5 月 25 日名师归纳总结 指 导 教 师张玉斌第 1 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用目 录引言···················· ················································· ············ 1 一、中值定理浅析··· ·············································· ·············· 1 1、中值定理中的············································ ············· 1 2、中值定理中条件的分析······························ ····· ··········· 2 二、微分中值定理的推广········································· ············· 4 1、微分中值定理在无限区间上的推广················ ··············· 4 2、中值定理矢量形式的推广··························· ····· ··········· 7 3、微分中值定理在 n 维欧式空间中的推广············ ·············· 9 4、中值定理在 n 阶行列式形式的推广················· ··············· 12 5、高阶微分中值定理······································· ············· 15 终止语················· ············································· ····· ··········· 19 参考文献··············· ············································ ················ 19 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用微分中值定理的讨论和推广张士龙<渤海高校数学系 锦州 121000 中国）摘要 ：微分中值定理是高等数学中的一项重要内容,是解决微分问题的关键；本文对 微分中值定理中的一些条件赐予了相关说明；后又在此基础上,对微分中值定理进行了一 系列的推广,先后在无限区间内,在定理的矢量形式,在多维欧氏空间中,在高阶行列式 形式,以及在微分定理的高阶形式五个方面来讨论,通过定理与实例的结合,来说明各个 推广的过程；从而,使定理向着更加宽阔的方面进展,有利于对定理的把握和应用；关键词 ：微分中值定理,无限区间,矢量形式,行列式,高阶微分中值定理,欧式空 间；The Research and Popularization of The Differential Mean Value Theorem Shilong Zhang Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China> Abstract: The differential mean value theorem is an important element of higher mathematics. It is the key to solve the differential problems. This text gives detailed explanations to the conditions of the differential mean value theorem. On this foundation, this text carries on series of promotional activities of the theorem, and makes research in the indefinite sector, the vector form of the theorem, the multi-dimensional Euclidean space, the high rank determinant and high rank of the differential theorem altogether five aspects. This text illustrates the promotional process through the integration of the theorem and its examples, so as to enable the theorem to develop towards broader aspects. It is advantageous to the mastery and application of the theorem. Key words: the differential mean value theorem, indefinite sector, the rector form, Euclidean space, determinant, defferential value theorm of higher order 引 言罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理；中值定理既应用导数来讨论函数的性质,是沟通函数及其导数之间的桥梁,是应用导数的局部性讨论,函数在区间上的重要工具；在实践中,有着广泛的应用,因此,有必要将其进一步推广,使其达到一个比较完善的地步,对进一步的讨论和制造有很大的帮助；一、中值定理浅析1、中值定理中的名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用由中值定理可知,当满意条件时,在开区间,a b 内至少存在一点满意方程的结论,并没有说有多少个这样的,也没有告知它的准确位置,但这并不影响中值定理在数学中的应用,由于通常是在导数f x 有界的条件下应用中值定理；2、中值定理中条件的分析以罗尔定理为例,我们知道,罗尔定理的<1）在闭区间 a b 上连续；<2）在开区间 a b 内可导；<3）f a f b 3 个条件；1这三个条件必需同时成立,缺少其中之一便不成立；例如：函数xf x fx 0x1在 0,1 上连续 <如图 1）0 x1f x x1x1在1,1 内不行导 <如图 2）f x x 010f1 <如图 3）y y y 1 1 x -1 1 1 x 1 1 x O O O 图 1 图 2 图 3 从这三个函数图象可见,罗尔定理都不成立,尽管如此,也不能说这三个条件就是其成立的必要条件；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用2x | x | 1例如：函数 f 0 2 x 11 1 x 2在 闭 区 间 2 , 2上 连 续 , 在 开 区 间 2 , 2 内 不 可 导 ,f 2 f 2,即罗尔定理的 3 个条件都不成立,但是在开区间 2,2内存在一点 x 0,满意 f 0,这说明,罗尔定理的 3 个条件都是充分条件,同理,拉格朗日定理、柯西中值定理也同样类似；另外,中值定理中开区间可导,也不宜改为在 ,a b 可导,函数 f x 在闭区间 ,a b 上可导,这一条件不仅包含了“ 闭区间上连续,开区间可导” 这两个条件,而且比这两个条件对函数 f x 的要求更加严格,即要求函数 f x 在点 a 存在右导数,在点 b 存在左导数,从而满足中值定理的条件的函数要比原先少；例：函数 f x 1 x 在闭区间 1,1 上连续,在开区间 1,1 内可导,且 f 1 f 1 0,满意罗尔定理的条件,因此,在开区间1,1 内至少存在一点,使 f ' 2 01明显 =01,1但是,函数 f x 1 x 在闭区间 1,1 上并不行导,由于导数f ' x2 分别在 x 1 与 x 1 的左右导数都不存在；1 x由此可见,假如罗尔定理的条件换成函数 f x 在闭区间 ,a b 上可导,且 f a f b ,那么,对函数 f x 1 x 在闭区间上 1,1 就不能用罗尔定理,这样就缩小了定理的适用范畴；因此,中值定理名师归纳总结 的条件不宜替换,即在闭区间a b 连续,在a b 可导,函数f x 在第 5 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用开区间 ,a b 内可导,就函数 f x 在开区间 a b 内连续,它被包含在“ 函数在 a b 上连续” 之中,为使这两个条件相互独立,可改为f x 在开区间 a b 内可导,函数 f x 在点 a右连续,在点 b 左连续,但行文繁,所以为了简便,将条件写为“ 在闭区间上连续,在开区间内可导” ；二、微分中值定理的推广1、微分中值定理在无限区间上的推广 2以前所学的微分中值定理都是界定在有界区间上的,为此,我们设想将有界空间推广到无限区间；名师归纳总结 例 1 求证：假如函数f x 满意g1g1,由罗尔定第 6 页,共 22 页<1）f x 在区间,a上连续；<2）f x 在区间,a上可导；<3）lim xf x f a ；那么在,a内至少存在一点a使得f 0证明：令x11t,即x1a1 at当 ax时, 0t11a ,lim t 0 f x f g t lim t 0g t lim t 0f lim xf x f a f 令g0lim t 0g t 就g0g1g0所以g t 在 0,1 上连续,在0,1 内可导,且- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 理知：在0,1 内至少有一点0个人资料整理仅限学习使用,a内,1 使得g 01 20,故在记 ,有f 0,而 至少有一点a,使得f 0例 2 证明：假如函数满意名师归纳总结 <1）在区间 上连续； ,使得f 0第 7 页,共 22 页<2）在区间 上可导；<3） lim xf x limf x ；就在 内至少存在一点证明：令tx e1就xln1t x e11tg 1g1,由罗尔定x,与1t1 成立f x f g t lim t 1g t x limf x x limf x lim t 1g t 令g 1t lim 1g t 1lim t 1g t g t 在1,1 上连续,在1,1 内可导,且理知,在1,1 内至少存在一点 11 使得0,从而有f 0g 0,记 ,就有g f 12例 3 已知函数f x 满意如下条件 ,<1）在区间a ,上连续；<2）在区间a,上可导；<3） lim xf M ；求证：在a ,内至少有一点使得f Mf a 1a 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 x lim个人资料整理仅限学习使用1第 8 页,共 22 页证明：令x11t,即x1a1 at当 ax时, 0t1,1a ,lim t 0 f x f g t lim t 0g t lim tf 0 x limf x M令g0lim t 0g t M就g t 在区间 0,1 上连续,在0,1 内可导；由拉格朗日中值定理知,在0,1 内至少有一点0使得g l ' g1g010 可导,即g f a M记 有g f 而 11a22故在a ,内至少有一点a,使得1a2f f a M即f Mf a 1a 2例 4 已知f x 满意在区间 , 连续,在区间 ,f x mlim xf x M求证：在, 内至少有一点使得f' eMm e2 1证明：令tex1,即xln1t ex11tx,与1t1相对应f x f g t - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lim t 1个人资料整理仅限学习使用g t x limf x m ,lim t 1g t x limf x M令g 1lim t1g t m g1lim t 1g t M就g t 在1,1 上连续,在1.1 内可导；由拉格朗日中值定理知,在1.1 内至少存在一点 11使得g' g1g 11 12即g' Mm记 使g' f' ' f' 12其中e1e1所以g' e2e2 1f' e2e12f' M2m即f' e Mm e2 12、中值定理矢量形式的推广名师归纳总结 微分中值定理可以表达为3第 9 页,共 22 页定理：设f x 在,a b 上连续,在,a b 内可微,就存在,a b ,使得f b f a f ba现作矢量函数x t f t , t ,明显其在a b 上连续,在a b 内可微,且知x b x a f b f a ba ,x' f' ,因定理1 成立,易知矢量x bx a 与矢量x'共线,另外,取非零常矢量C ba f a f b - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用就 C x b x d 0,从而 C x ' 0例 1 证明：二维欧氏空间中矢量函数 x t f t , 在闭区间 a b 上连续,在 a b 内可微,且知 x b x a 0 存在某非 零 矢 量 C C C 2 , 满 足 C x b x a 就 存 在 ,a b , 使 得C x ' 0证明：由于 x b x a f b f a b a而 x ' f ' ,1且由定理 1 知x b x a 与 x ' 共线所以存在某一常数 k ,使得 x b x a = k x ' 又由已知 C x b x a 0所以 C kx ' 0即 C x ' 0这里 C b a f a f b 例 2 设二维欧氏空间中矢量函数 x t f t , ,在 a b 上连续 , 在 a b 内 可 导 ,x t ' 0 x a 0, 如 有 某 非 零 常 矢 量C C C 2 , 满 足 C x b x a , 证 明 存 在a b , 使 得C x ' 0证明：由例 1 知x b x a f b f a ,g b g a x' f' ,g' 由有柯西中值定理成立；名师归纳总结 所以x b x a 与x' 共线；第 10 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 个人资料整理仅限学习使用第 11 页,共 22 页即x b x a = kx' 又C x a 0所以 C ·x' =0 其中 C =g b g a ,f a f b 例 3 设 n 维欧氏空间E n 中的矢量函数x t 在,a b 上连续,在a b 内可微,且x t ' 0, x a 0,如有某非零矢量C =C 1C2 CnE n,满意C x a 0,证明：存在a b ,使得 C ·x' =0证明：令x t =f t 1 ,f 2 .fn 由C x a 0知C x b C x a 令 C x t 明显t>在a b 上连续,在,a b 内可导,又因 b ,由罗尔定理知,存在,a b 使得'>=0 即 C ·x' =0 例 4 设f x 在 0,1 上连续,证明存在0,1 使得1 tf t dt 01f t dt证明：令x x x 0xt f t dt t , C1,1 tf t dt 01f t dt0其满意例 1 条件,故由例 1 知,存在0,1 使0f t dt1 tf t dt 01f t dt00- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即1 tf t dt 01f t dt个人资料整理仅限学习使用3、微分中值定理在n 维欧式空间中的推广4第一,给出几个有关的记号x 1jxx 1,x 2. x nx2Rn的内点的集合；,i j , i1,2. , n , .xn设f ：RnR ,即f1 f1x 1,x 2.xnf x f2 f2x x2.xn.fn fnx x2.xn记 i>为集合的内部,即集合,如对于任意的定义 1 设 f ：n Rm R,xi1,2.n ,f x存在就称函数f 在点 x处可导f1f1.f1x 1x 2x n并记：f' f2f2.f2x 1x 2x n. . .名师归纳总结 fnfn.fnif 在上连第 12 页,共 22 页x 1x 2x n称f x 为函数在点 x处的导算子；定理：设函数f ：Rnn ,为R 中有界闭区域续,在i内可导,且f x /C ,就至少存在一点,使得f 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用证明：由于 为有限维空间 R 中的有界闭区域,故 为 R 中紧子 集 , 又 f 在 上 连 续 , 所 以 f 在 上 有 最 大 最 小 值 , 由 于f / C ,就最值中至少有一个在 i 内取得,设 f 在 i 处取得最小值,就对于任意的 j i 1,2. n,f | x 0 从而 f 0 证毕；x j依据此定理,我们来看下面几个例题；名师归纳总结 例 1 设 f ：Rnn,为R 中有界闭区域,f 在上连续过第 13 页,共 22 页i内可导,且存在一点uR ,使得f x =x uC ,其中 C 为常数；证明：在i内至少存在一点,使得f =u ,< u 为 n 维列向量,u 为 u 的转量,x u为 x与 u的乘积）证明：设g x f x x u,由已知g x 满意定理的条件,从而对于g x 来说,存在一点i,使得g 0而g f u ,即g f uT所以f T u所以,在i内至少存在一点,使得f T u例 2 设 f ：R ,是R 中的有界闭区域,f 在上连续,在 内可导,且存在列向量uR ,使得f x u /C 证明：至少存在一点i,使得uTf =0 证明：设g x =f x u ,就 g ：R ,且满意定理的条件,故可知至少存在一点i,使得g 0,即uTf =0 例 3 设函数f x , g x 在闭区间a b 上连续,在开区间a b 内可导,f x , g x 在a b 内不同时为零,g a g b ,证明：在a b 内至少存在一点,使得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用f ' f b f a g ' g b g a 证明：设 F ：a b R R 2f x F x g x 就 F 在 a b 上连续,在 a b 内可导,取 u g a g b f b f a 就 u F a T u F b T f b g a f a g b ,所以 F 在 a b 上满意定理3 的条件,故至少存在一点a b ,使得 u F T 0,即 g a g b f f b f a g 0由于 g a g b ,所以 f ' f b f a g ' g b g a 又由于 f x 与 g x 在 a b 内不同时为零,故f ' f b f a g ' g b g a 4、中值定理在 n 阶行列式形式的推广 56在讨论此推广之前先给出二个定理；定理 1 设 f x , g x 和 h x 在 a a 1 2 连续在 a a 1 2 内可导,就至少存在一点 a a 1 2 使得：f a 1 g a 1 h a 1 f a 2 g a 2 h a 2 0f ' g ' ' 由此定理我们可以看出,当 g x x ,h x 1 时,上述结果即为拉格朗日中值定理,当 h x 1,就上述结果为柯西中值定理,因此,此定理可以看做是微分中值定理的一般形式；名师归纳总结 定理 2：如if x i1,2. n 在a a n1上连续,在a a n1内 n-1 阶第 14 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可导,a k1个人资料整理仅限学习使用a a n1k2,3.n2且a 1a 2.a n2a n1就至少存在一点a a n,使得f1a 1 f2a 1 . fn1a 1 fna 1f1a 2 f2a 2 . fn1a2 fna2f1a n1 . 0f2an1 . fn1a n2 fnan1fn1 fn1 . fn1 fn1 12n1n依据上述二定理,我们可以构造出某些特别类型的问题；名师归纳总结 例 1 设if x, ig x i1,2,3满意如下条件g3a 10第 15 页,共 22 页<1）if x , ig x i1,2,3在a a 连续<2）if x , ig x i1,2,3在a a 3内二阶可导g1a 1 g2a 1 g a 1<3）g1a 2 g2a 2 g a20其中a 1a 2a 3g1a 3 g2a 3 g a3证明,存在1a 1,12a 2,23a 使得f1a 1 f2a 1 f3a 1f11 f21 f31f1a2 f2a 2 f3a2f'2f'2 f2123f1a 3 f2a 3 f3a3f''3 f''3 f''3123g a 1 g2a 1 g 3a 1g11 g21 g31g a 2 g2a 2 g3a2g'2 g'2 g'2123g a 3 g2a 3 g 3a 3g''3 g''3 g''3123f a 1 a 1 a 1证明：设f a 2 f2a 2 a 2g a 1 g2a 1 f a 3 a 3 a 3g a 2 g2a 2 g 3a 2g a 1 g a 1 g a 1g a 3 g2a 3 g a 3g a 2 g2a 2 g a 2g a 3 g2a 3 g a 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - F 1个人资料整理仅限学习使用3a 使得f a 1 f2a 1 f3a 1 g a 1 g2a 1 g 3a 1令F 1 f a2 f2a 2 f3a2k g a 2 g2a 2 g3a2f1 f2 f3 g1 g2 g 3