2022年初中函数知识点总结2.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 函数学问点总结 把握函数的定义、性质和图像 （一）平面直角坐标系 1、定义：平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称 为直角坐标系 2、各个象限内点的特点 : 第一象限：（+,+）其次象限：（- ,+）第三象限：（- ,- ）第四象限：（+,- ）点 P（x,y ）,就 x0,y 0；点 P（x,y ）,就 x0,y 0；点 P（x,y ）,就 x0,y 0；点 P（x,y ）,就 x0,y 0；3、坐标轴上点的坐标特点： x轴上的点,纵坐标为零； y 轴上的点,横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）；两坐标轴的点不属于任何象限；4、点的对称特点：已知点 Pm,n, 关于 x 轴的对称点坐标是 m,-n, 关于 y 轴的对称点坐标是 -m,n 横坐标相同,纵坐标反号 纵坐标相同,横坐标反号关于原点的对称点坐标是-m,-n 横,纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特点：平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等；6、各象限角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；其次、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数；7、点 P（x,y ）的几何意义：点 P（x,y ）到 x 轴的距离为 |y|,x2y2点 P（x,y ）到 y 轴的距离为 |x|；点 P（x,y ）到坐标原点的距离为8、两点之间的距离：名师归纳总结 X轴上两点为 A x 1,0 、B2x0, |AB|x 2x 1|第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Y轴上两点为 C 0 ,y 1、D ,0y2 |CD|y2y1|已知 Ax 1y1、B x2y2 AB|=x2x 12y2y 12 x-a ,y）；x+a ,y）；x,yb）；x,yb）；9、中点坐标公式：已知Ax 1y1、B x 2y 2 M 为 AB的中点就： M=x 22x 1 , y22y 1 10、点的平移特点：在平面直角坐标系中,将点（ x,y ）向右平移 a 个单位长度,可以得到对应点（将点（ x,y ）向左平移 a 个单位长度,可以得到对应点（将点（ x,y ）向上平移 b 个单位长度,可以得到对应点（将点（ x,y ）向下平移 b 个单位长度,可以得到对应点（留意：对一个图形进行平移, 这个图形上全部点的坐标都要发生相应的变化；反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形 进行了怎样的平移；（二）函数的基本学问：基本概念1、变量： 在一个变化过程中可以取不同数值的量；常量： 在一个变化过程中只能取同一数值的量；2、函数： 一般的,在一个变化过程中,假如有两个变量x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯独确定的值与其对应,那么我们就把 x 称为自变 量,把 y 称为因变量, y 是 x 的函数； * 判定 A 是否为 B 的函数,只要看 B取值确定的时候, A 是否有唯独确定的值 与之对应 3、定义域： 一般的,一个函数的自变量答应取值的范畴,叫做这个函数的定义 域；4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时,函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时,分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - （5）实际问题中,函数定义域仍要和实际情形相符合,使之有意义；5、函数的图像 一般来说,对于一个函数,假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象6、函数解析式： 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析 式；7、描点法画函数图形的一般步骤；第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）其次步：描点（在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为 纵坐标,描出表格中数值对应的各点） ；第三步：连线（依据横坐标由小到大的次序把所描出的各点用平滑曲线连接 起来）；8、函数的表示方法 列表法：一目了然,使用起来便利,但列出的对应值是有限的,不易看出自 变量与函数之间的对应规律；解析式法：简洁明白, 能够精确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的 相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示；图象法：形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系；（三）正比例函数和一次函数 1、正比例函数及性质 一般地,形如 y=kxk 是常数, k 0 的函数叫做正比例函数, 其中 k 叫做比例系 数. 注：正比例函数一般形式 y=kx k 不为零 k 不为零 取零 x 指数为 1 b当 k>0 时,直线 y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随 x 的增大 y 也增大；当 k<0 时, .直线 y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随 x 增大 y反而减小1 解析式 ：y=kx（k 是常数, k 0）2 必过点 ：（0,0）、（1,k）3 走向： k>0 时,图像经过一、三象限；k<0 时,.图像经过二、四象限4 增减性 ：k>0,y 随 x 的增大而增大； k<0,y 随 x 增大而减小 5 倾斜度 ：|k| 越大,越接近 y 轴；|k| 越小,越接近 x 轴 2、一次函数及性质名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一般地,形如 y=kxbk,b 是常数, k 0 ,那么 y 叫做 x 的一次函数 . 当 b=0时, y=kxb 即 y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 . 注：一次函数一般形式 y=kx+b k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b取任意实数一次函数 y=kx+b 的图象是经过（ 0,b）和（ -b ,0）两点的一条直线,我k们称它为直线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移|b| 个单位长度得到 .（当 b>0时,向上平移；当 b<0 时,向下平移）（1）解析式 ：y=kx+bk 、b 是常数, k 0 （2）必过点 ：（0,b）和（ -b ,0）k（3）走向： k>0 ,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过其次、四象限k0 b>0,图象经过第一、二象限；kb<0,图象经过第三、四象限直线经过第一、二、三象限0 0直线经过第一、三、四象限b0bk0直线经过第一、二、四象限k0 0直线经过其次、三、四象限b0b注： ykx+b 中的 k,b 的作用：1、k 打算着直线的变化趋势 k>0 直线从左向右是向上的 2、b 打算着直线与 y 轴的交点位置 b>0 直线与 y 轴的正半轴相交 相交 k<0 直线从左向右是向下的 b<0 直线与 y 轴的负半轴（4）增减性 ： k>0 ,y 随 x 的增大而增大； k<0,y 随 x 增大而减小 . （5）倾斜度 ：|k| 越大,图象越接近于y 轴； |k| 越小,图象越接近于x 轴. （6）图像的平移 ： 当 b>0时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b<0 时,将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位 . 3、一次函数 y=kxb 的图象的画法 . 依据几何学问：经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点名师归纳总结 确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.第 4 页,共 9 页一般情形下：是先选取它与两坐标轴的交点： （0,b）,. 即横坐标或纵坐- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 标为 0 的点 . 注：对于 ykx+b 而言,图象共有以下四种情形：1、k>0,b>0 2、k>0,b<0 3 、k<0,b<0 4、k<0,b>0 4、直线 y=kxbk 0 与坐标轴的交点1 直线 y=kx 与 x 轴、y 轴的交点都是 0 ,0 ；2 直线 y=kxb 与 x 轴交点坐标为与 y 轴交点坐标为 0 ,b 5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）依据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到 以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 .6、两条直线交点坐标的求法：方法：联立方程组求 x、y 例题：已知两直线 yx+6 与 y2x-4 交于点 P,求 P 点的坐标？7、直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系（1）两条直线平行： k1=k2 且 b1 b2 k2（2）两直线相交： k1（3）两直线重合： k1=k2且 b1=b2 平行于轴（或重合）的直线记作. 特殊地,轴记作直线8、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数 y=kxb 的图象是一条直线, 它可以看作是由直线 y=kx 平移|b| 个 单位长度而得到（当 b>0 时,向上平移；当 b<0 时,向下平移） . 9、一元一次方程与一次函数的关系名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0（a,b 为常数, a 0）的形式,所 以解一元一次方程可以转化为： 当某个一次函数的值为 0 时,求相应的自变量的值. 从图象上看,相当于已知直线y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值 . 10、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0 或 ax+b<0（a,b 为常数, a 0）的形式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时,求自变量的取值范畴 . 11、一次函数与二元一次方程组y=（1）以二元一次方程 ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数ax c 的图象相同 . b ba 1 x b 1 y c 1（ 2 ） 二 元 一 次 方 程 组 的 解 可 以 看 作 是 两 个 一 次 函 数a 2 x b 2 y c 2y=a 1xc 1和 y=a2xc 2的图象交点 . b 1b 1b 2b 212、函数应用问题（1）利用图象解题（理论应用实际应用）通过函数图象猎取信息,并利用所猎取的信息解决简洁的实际问题 . （2）经营决策问题函数建模的关键是将实际问题数学化,从而解决正确方案,正确策略等问题 . 建立一次函数模型解决实际问题,就是要从实际问题中抽象出两个变量,再寻求出两个变量之间的关系,构建函数模型,从而利用数学知题 . 四 反比例函数一般地,假如两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数；ykx k 为常数,k 0取值范畴： k 0; 在一般的情形下 , 自变量 x 的取值范畴可以是 不等于 0 的任意实数 ; 函数 y 的取值范畴也是任意非零实数；反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近 标轴相交（ K 0）；反比例函数的性质：X轴 Y轴但不会与坐名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 当 k>0 时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y 随 x 的增大而减小；当k<0 时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y 随 x的增大而增大； 2.k>0时,函数在x<0 和 x>0 上同为减函数；k<0 时,函数在x<0 和x>0 上同为增函数；定义域为 x 0；值域为 y 0； 3. 由于在 y=k/xk 0 中, x 不能为 0,y 也不能为 0,所以反比例函数的图象不行能与 x 轴相交,也不行能与 y 轴相交； 4. 在一个反比例函数图象上任取两点 P,Q,过点 P, Q分别作 x 轴,y 轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1, S2,就 S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三,二四象限角平分线）,对称中心是坐标原点；6. 如设正比例函数 y=mx与反比例函数 y=n/x 交于 A、 B 两点（ m、n同号）,那么 A B 两点关于原点对称； 7. 设在平面内有反比例函数 y=k/x 和一次函数 y=mx+n,要使它们有公共交点,就 n2 +4k· m（不小于）0； （ k/x=mx+n ,即 mx2+nx-k=0 ） 8. 反比例函数 y=k/x 的渐近线： x 轴与 y 轴； 9. 反比例函数关于正比例函数 y=x,y=-x 轴对称 , 并且关于原点中心对称 . 第 5 点的同义不同表述 10. 反比例上一点 m向 x、 y 轴分别做垂线,交于 q、 w,就矩形 mwqo（ o 为原点）的面积为 |k| 11.k 值相等的反比例函数重合,k 值不相等的反比例函数永不相交； 12.|k| 越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远；（五）二次函数二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数；二次函数可以表示为fx=ax2+bx+ca 不为 0 ；其图像是一条主轴平行于 y 轴的抛物线；一般式 已知图像上三点或三对、的值,通常挑选一般式 .y=ax2+bx+ca 0,a 、 b、c 为常数 ,顶点坐标为 -b/2a,4ac-b2/4a ；顶点式 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式 . y=ax+m2 +ka 0,a 、 m、 k 为常数 或 y=ax- h2+ka 0,a 、 h、k为常数 ,顶点坐标为（-m,k）或（ h,k ）对称轴为x=-m 或 x=h,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 交点式 已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式 y=ax-x1x-x2 仅限于与x 轴有交点A（x1, 0）和 B （x2,0）的抛物线 ；抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点顶点抛物线有一个顶点P,坐标为 P -b/2a , 4ac-b2/4a ,当 -b/2a=0时,P 在 y 轴上；当 = b2-4ac=0时, P 在 x 轴上；开口二次项系数 a 打算抛物线的开口方向和大小；当 a 0 时,抛物线 向上 开口；当 a0 时,抛物线 向下 开口； |a| 越大 ,就抛物线的开口 越小 ；打算对称轴位置的因素一次项系数 b 和二次项系数 a 共同打算对称轴的位置；当 a 与 b 同号时（即 ab 0）,对称轴在 y 轴左 ；当 a 与 b 异 号时（即 ab 0）,对称轴在 y 轴右 ；（ 左同右异）c 的大小打算抛物线 与 轴交点的位置 . 当时,抛物线, 与与轴有且只有一个交点 （0, ）：,抛物线经过原点 ; 轴交于正半轴；, 与轴交于负半轴 . 直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线 得交点为 0, . （2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点 , . （3）抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程 的两个实数根 . 抛物线与 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在 轴上）抛物线与 轴相切；没有交点 抛物线与 轴相离 . （4）平行于 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,就横坐标是的两个实数根 . （5）一次函数的图像 与二次函数的图像的交点,由方程组的解的数目来确定：名师归纳总结 方程组有两组不同的解时与有两个交点 ; 方程组只有一组解时第 9 页,共 9 页与只有一个交点；方程组无解时与没有交点 . （6）抛物线与轴两交点之间的距离： 如抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故- - - - - - -