2022年完整word版,电磁场与电磁波公式总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 电磁场与电磁波复习 第一部分 学问点归纳 第一章 矢量分析 1、三种常用的坐标系（1）直角坐标系微分线元：dRaxdxaydyazdz面积元：dS xdydz,体积元：ddxdydzdxdzdS ydS zdxdy（2）柱坐标系长度元：dlrdr,面积元dS rdldlzrddz,体积元：drdrddzdlzrddSdlrdlzdrdzdldzdSzdldlzrdrdz（3）球坐标系长 度 元 ：dl rdrd, 面 积 元 ：dSrdldldlr2sindd, 体 积 元 ：dlrddSdlrdlrsindrddr2sindlrsindSdlrrdrddrdd2、三种坐标系的坐标变量之间的关系（1）直角坐标系与柱坐标系的关系xzrcos,rx2y2arctany xyrsinzzz（2）直角坐标系与球坐标系的关系xrsincosrx2y2zz2z2yzrsinsin,arccosx22yrcosyarctanz（3）柱坐标系与球坐标系的关系r'rsin,rr'2r2 zzz2zrcosarccos2'3、梯度（1）直角坐标系中：gradaxxayyazz（2）柱坐标系中：gradarra1azzr- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）球坐标系中：gradarra1ar1rsin4.散度（1）直角坐标系中：divAAXAyAzyxz（2）柱坐标系中：divA1rrAr1AA zrrz（3）球坐标系中：1 2 1 1 Adiv A 2 r A r sin A r r r sin r sin5、高斯散度定理：S A d S A d div A d,意义为：任意矢量场 A的散度在场中任意体积内的体积分等于矢量场 A 在限定该体积的闭合面上的通量；6,旋度（1）直角坐标系中：a x a y a zAx y zA x A y A z（2）柱坐标系中：a r ra a z1Ar r zA r rA A z（3）球坐标系中：a r r a r sin a1A 2r sin rA r rA r sin A两个重要性质： 矢量场旋度的散度恒为零,A 0 标量场梯度的旋度恒为零,07、斯托克斯公式：A CdlSAdS- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 静电场和恒定电场1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场；描述静电场的基本变量是电场强度F /mE、电位移矢量 D 和电位；电场强度与电位的关系为：E；08 .85410122、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布；其电场强度和电位的 运算公式如下：（1）点电荷分布E410N1qkR k41N1qk1,410N1qkCkR3 k0kRkkR k（2）体电荷分布E410vr'rr'r'dv',410vr'dv'Cr3rr'（3）面电荷分布E41Sr'rr'r'dS',410SSr'dS'C30Srrr'（4）1线电荷分布rr'r'dl',410llr'dl'Clr'E40lr3rr'3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为S DdSq , 积分形式表示意义介质中的高斯定理（q为S 面内的总源电荷和S 面内的总极化电荷之和）Dr（微分形式）,说明静电场是一种发散场,也是保守场；C Edl0,积分形式表示意义安培环路定理E（微分形式）0真空中的高斯定理dS1nq i i .积分形式表示意义S Ei 10i E（微分形式,为体电荷密度）0在线性、各向同性介质中,本构方程为：D0EPE0rE4、电介质的极化（1）极化介质体积内的极化体电荷密度为：SPpnPP极化强度矢量；（2）介质表面的极化面电荷密度为：pn为表面的单位法向量矢量5、在匀称介质中,电位满意的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程,即- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 有源区域,2（无源区域）n 6、介质分界面上的边界条件D12（1）分界面上Dn的边界条件2S1D1 n1SD 1nD2nS或nD 1D（S为分界面上的自由电荷面密度）,当分界面上没有2D22D 2nh自由电荷时,就有：D 1nD2n即nD1nD2,它给出了 D 的法向重量在介质分界面两侧的关系：分界面上Dn的边界条件（I） 假如介质分界面上无自由电荷,就分界面两侧D 的法向重量连续；（II ）假如介质分界面上分布电荷密度s, D 的法向重量从介质1 跨过分界面进入介质时将有一增量,这个增量等于分界面上的面电荷密度s；用电位表示：1122S和1122S0nnnn（2）分界面上E 的边界条件（切向重量）nEnE或E1 tE2t,电场强度的切向重量n E1 tE1在不同的分界面上总是连续的；由于电场的切向重量在分界面上总连续,法向重量1有限,故在分界面上的电位函数连续,即h112；电力线折射定律：tan11；E22l2tan227、静电场能量（1）静电荷系统的总能量1kqkk；E2 tE的边界条件体电荷：We1d；分界面上2面电荷：We1SSds；2线电荷：W e1lldl；2（2）导体系统的总能量为：W e2（3）能量密度静电能是以电场的形式存在于空间,而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的；场中任意一点的能量密度为：e1DE1E2J/m3221VE2d来运算；在任何情形下,总静电能可由W e28、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维护；描述恒定电场特性的基本变量为电场强度E 和电流密度 J ,且JE；为媒质的电导率；（1）恒定电场的基本方程- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 电留恋续性方程：积分形式：S JdSqt微分形式：J-或 J 0t t恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的；场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的增减,即 qt 0 和t 0；因此,电留恋续性方程变为：S J d S 0 和 J 0,再加上C E d l 0 和 E 0,这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式；（2）恒定电场的边界条件 1J1nJ2n或nJ1J20,2E1 tE2t或nE1 tE2t0e1 E 22；应用欧姆定律可得：1E 1n2E2n和J1 tJ2t；12此外,恒定电场的焦耳损耗功率密度为pE2,储能密度为第四章恒定磁场1、磁场的特性由磁感应强度（真空磁导率：04B 和磁场强度 H 来描述,真空中磁感应强度的运算公式为：10 7 H / m ,）（1）线电流：B40lIdl'aR'0Idl''r3r''rR24lr'（2）面电流：B00SJSaRdS0JSrrr'dS4R24S3r'（3）体电流：r'BJRaRd'Jd0r'424r3r2、恒定磁场的基本方程（1）真空中恒定磁场的基本方程为：A 、 磁 通 连 续 性 方 程 ：积分形式：S BdS0, B 、 真 空 中 安 培 环 路 定 理 ：积分形式：lBdl0I微分形式：B0微分形式：B0J（2）磁介质中恒定磁场的基本方程为：A、磁通连续性方程仍旧满意：积分形式：S BdS0,B、磁介质中安培环路定理：微分形式：dlB0积分形式：lHI微分形式：HJ- 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - C、磁性媒质的本构方程：B0rHHHBM,其中 M为磁化强度矢量；0 恒定磁场是一种漩涡场,因此一般不能用一个标量函数的梯度来描述；3、磁介质的磁化 磁介质在磁场中被磁化,其结果是磁介质内部显现净磁矩或宏观磁化电流；磁介质的磁化程度用磁化强度 M 表示；（1）磁介质中的束缚体电流密度为：J m M；（2）磁介质表面上的束缚面电流密度为：J mS M n 其中,n 为表面的单位法向量矢 量 4、恒定磁场的矢量磁位为：B A,矢量 A 为矢量磁位；在库仑规范条件（A 0）下,场与源的关系方程为：2 A J 有源区 2 A（无源区）对于分布型的矢量磁位运算公式：（1）线电流：A4lIdl（2）面电流：A4SJSdS（3）体电流：A4JdRRR5、恒定磁场的边界条件（1）分界面上B 的边界条件1H1SnB1h在两种磁介质的分界面上,取一个跨过分界面两侧的小扁状闭合柱面（高h0为无穷小量） ,B1n如右图所示,应用磁通连续性方程可得：S BdSB 1ndSB2ndS0B2 n于是有：nB2B 10 或B 1 nB2n2分界面上B（2）分界面上H （切向重量）的边界条件：B 2nH1H2JS,假如分界面上无源表面电流2sin2n的边界条件（即JS0）,就nH1H20即H1tH2 t或H1sin磁力线折射定律：tan11tan22t1A2tJS用矢量磁位表示的边界条件为：A 1A 2,1A 1126、电感的运算（1）外自感：L 0I040ll0dl0dl,（2）互感：M120 n 1 n 2 d l 1 d l 2M 214 l 1 l 2 R（长度为 l 的一段圆截面导线的内RL8（3）内自感：单位长度的圆截面导线的内自感为：自感为L8l）；7、磁场的能量和能量密度（1）磁场的总能量磁介质中,载流回路系统的总磁场能量为：W m1NN1MkjIjIk1BHd运算出； B、2 j1k（3）磁场能量密度WmA、 任意磁介质中：m1HB,此时磁场总能量可以由22- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在 各 向 同 性 , 线 性 磁 介 质 中 ：m1HB1H, 此 时 磁 场 总 能 量 可 以 由22Wm1BHd1H2d22第五章 时变电磁场1、 法拉第电磁感应定律（1）感应电动势为：-d；dt（2）法拉第电磁感应定律 积分形式：l E d l S Bt d SB微分形式：E-t它说明时变的磁场将鼓励电场,而且这种感应电场是一种旋涡场,即感应电场不再是保守场,感应电场 E 在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于闭合曲线围成的面上磁通的负变化率；2、 麦克斯韦位移电流假说 依据麦克斯韦提出的位移电流假说,电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流密度,称为位移电流密度,即JdD；位移电流一样可以鼓励磁场,从而可以得出t时变场中的安培环路定律：积分形式：l l HdlSJDdSt微分形式：HJDt3、 麦克斯韦方程组（1）微分形式 1 HJ0D（2）积分形式 1 lHdllsJDdStt2 EB2 l l EddSBdStt3S Bl03B4 D4 S DdSq（3）非限定形式的麦克斯韦方程组 在线性和各向同性的介质中,有媒质的本构关系：DEH0rE,BH0rH,JCE,由此可得非限定形式的麦克斯韦方程组：E 1Jt2EHHt 304E（4）麦克斯韦方程组的实质 A、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律；物理意义：磁场是由电流和时变的电场 鼓励的；- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - B、其次方程：法拉第电磁感应定律；物理意义：说明白时变的磁场鼓励电场的这一事实；C、第三方程：时变电场的磁通连续性方程；物理意义：说明白磁场是一个旋涡场；D、第四方程：高斯定律；物理意义：时变电磁场中的发散电场重量是由电荷鼓励的；摸索题：麦克斯韦方程中为什么没有写进电留恋续性方程？答：由于它可以由微分形式的方程组中、式两式导出；把式两边同时取散度得HtJ0D由于矢量的旋度的散度恒等于零,故得JD0,再把式代入上式,tt即得J,这便是电留恋续性方程；4、 分界面上的边界条件（1）法向重量的边界条件A、D的边界条件nD 1D20S,如分界面上S0,就nD1D20B、 B 的边界条件nB 1B2（2）切向重量的边界条件A、 E 的边界条件nE1E200假如导B、 H 的边界条件nH1H2JS,如分界面上JS0,就nH1H2（3）抱负导体（）表面的边界条件 1nHJSHtJS2 nE0Et0,3nB0Bn04 nESEnS00式中 n 是导体表面法线方向的单位矢量；上述边界条件说明：在抱负导体与空气的分界面上,体表面上分布有电荷,就在导体表面上有电场的法向重量,就由上式中的式打算,导体表面上电场的切向重量总为零；导体表面上磁场的法向重量总为零,假如导体表面上分布有电流,就在导体表面上有磁场的切向重量,就由上式中的打算；5、 波动方程无源区域内,E 、 H 的波动方程分别为：2H2H0、2E2E0；t2t2此两式为三维空间中的矢量齐次波动方程；由此可以看出：时变电磁场在无源空间中是以波动的方式在运动,故称时变电磁场为电磁波,且电磁波的传播速度为p1；6、 坡印廷定理和坡印廷矢量数学表达式：S E H d St 12 H 2 12 E 2 d E 2d由于 We 1 E 2d 为体积 内的总电场储能,Wm 1 H 2d 为体积 内的总磁场2 22储 能 ,P E d 为 体 积 内 的 总 焦 耳 损 耗 功 率 ； 于 是 上 式 可 以 改 写 成 ：S E H d St W e W m P,式中的 S为限定体积 的闭合面；物理意义：对空间中任意闭合面 S限定的体积, S 矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率,它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系；- 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 坡印廷矢量（能流矢量）SEH表示沿能量流淌方向单位面积上传过的功率；7、动态矢量磁位 A 和动态标量为 与电磁场的关系为：AB A,Et达朗贝尔方程（或称 A与 的非齐次波动方程）为2 22A 2 A J,22t t第六章 正弦平面电磁波jx欧拉公式：e cos x j sin x1、 正弦电磁场（1）正弦电场、磁场强度的复数表示方法（以电场强度为例）在直角坐标系中,正弦电磁场的电场重量可以写成：Ex ,y,z ,taxExmx ,y ,z costxx ,y ,z ayEymx ,y ,z costyx ,y,z azEzmx ,y ,z costzx,y ,z 运用欧拉公式将其表示成复数矢量形式：jtxReExmejtExExmcostxx ,y,zReExmeEyEymcostyx ,y,z ReEymejtyRe EymejtEzEzmcostzx ,y,zReEzm ejtzReEzmejt其中,ExmExmejx,EymEymejy,EzmEzm ejz分别称为各重量振幅的相量,它的模和相位角都是空间坐标的函数,因此Ex,y,z ,txReaxExmayEymazEzmejtReEejt其中,EaExmayEymazEzm,称为电场强度复矢量,它含有各重量的振幅和初相两大要素；电场强度复矢量是一个为简化正弦场运算的表示符号,一般不能用三维空间中一个矢量来表示,也不能写成指数形式；例题 1 将以下场矢量的瞬时值改写为复数；将场得复矢量写为瞬时值kz2,故（1）HaxH0kasinxsinkztazH0cosxcos kztaa（2）Exm2jE0sincos kxcosejkzsin解：（ 1）由于cos kzt是偶函数,就cos kztcostkz 而sinkztcos kzt2costHmaxH0k asinxejkzj2azH0cosx ejkzaxHxmazHzmaaekzsin2（2）由于Exm2jE0sincos kxcosejkzsin2E0sincos kxcos- 9 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故E x2E0sincoskxcoscostkzsin2（2）麦克斯韦方程组的复数形式HJjD,此方程组没有时间因子,留意：式中的场量仍代表复矢量,标量仍代表复数；EBjB0D对于正弦电磁场的求解,我们可依据给出的源写出其复矢量和复数,然后利用麦克斯韦方程组的复数形式求出场得复矢量,再由电磁场的复矢量写出电磁场的正弦表达式；例题 2 在真空中,已知正弦电磁波的电场重量为 E z , t a y 10 3sin t z ,求波的磁场重量H z , t 解：先将波的电场重量写出复矢量,即 E y j 10 3e j t z ,将其代入矢量的麦克斯韦方程组：E j 0 H 可得：H 1E a x E y,将 E y j 10 3e j t z 代入上式可得j 0 j 0 zH a x j 10 3e j t z ,将上式绽开取实部得：H z , t a x 10 3sin t z 0 0（3）正弦场中的坡印廷定理S S d S P m P e P T d j 2 w m 平均 w e 平均 d其中 wm 平均 1H 2 为磁场能量密度的平均值,we平均 1 'E 2 为电场能量密度的平均值；这里场4 4量 E、分别为正弦电场和磁场的幅值；正弦电磁场的坡印廷定理说明：流进闭合面 S 内的有功功率供闭合面包围的区域内媒质的各种功率损耗；而流进（或流出）的无功功率代表着电磁波与该区域功率交换的尺度；（4）亥姆霍兹方程（正弦电磁场波动方程的复数形式）2E k 2E 0,式中 k 2 2称为正弦电磁波的波数；2 2H k H 02、 抱负介质中的匀称平面波（1）匀称平面波的波动方程及其解平面波是指波阵面为平面的电磁波；匀称平面波是指波的电场E 和磁场 H 只沿波的传播方向变化,而在波阵面内E 和 H 的方向、振幅和相位不变的平面波；一般说来,大多数源辐射的电磁波为球面波；dz v p,v p 通常称为波的相速度；dt k（2）匀称平面波的传播特性波在一个周期中传播的距离称为波长,用表示；波长与频率、相速的关系为v pf122 其中,k,周期是波在时间上的重复量,波长是波在k空间上的重复量；电场与磁场的振幅比为：2Ex称为媒质的 本征阻抗,在自由空间中,0120377,电场能量密度：weHy00,磁场能量密度：wmH2,且二者满意关系：2E22w mH22HE2w e；22- 10 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 结论：沿 z 方向传播的匀称平面波,如电场在x方向,就磁场在y方向,电场与磁场总是相互垂直,并垂直于波的传播方向,电场、磁场、波的传播方向三者满意右手螺旋关系；3、 电磁波的极化 电磁波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性；当电场的水平重量与垂直重量相位相同或相差别 180 时为直线极化；当两重量的振幅相等,但相位差为 90 或 270 时为圆极 化（圆极化波分为左旋极化波和右旋极化波；假如我们面对电磁波传去的方向,电场矢量是顺时针方向旋转的,这样极化的波称右旋极化波；假如电场矢量是逆时针旋转的,这样的极化的波称左旋极化波）；当两重量的振幅和相位均为任意关系时为椭圆极化；4、媒质的损耗及分类工程上通常按的大小将媒质划分为：102102时,媒质被称为半导电介质；当当102时,媒质被称为良导体；当102时,媒质被称为低损耗介质；5、波在有耗介质中的传播 电磁波在导电媒质中的相速变慢,波长变短,场的振幅随波的传播按指数规律衰减；传播常数vpj,其中112121导电媒质中波的传播速度为2121,在导电媒质中波的传播速度随频率变化,这种现象称为色散212现象；导电媒质中磁场能量大于电场能量；6、相速是波阵面移动的速度,它不代表电磁波能量的传播速度,也不代表信号的传播速度；而群速度才是电磁波信号和电磁波能量的传播速度；- 11 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页