2022年导数的概念及运算.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - §3.1导数的概念及运算学习必备欢迎下载解： 常数函数的导函数是 yf x 0.应选 A.函数 fx a3 5a2x 2 的导数 f x A 3a 2 10ax2 B 3a 2 10ax2 10a2xC10a 2x D以上都不对解： f x10a2x.应选 C.曲线 y ex在点 A0,1处的切线斜率为 1几何意义1.导数的概念函数 y fx在点 x0 处的导数的几何意义, 就是曲线 yfx在点 Px0,fx0处的切线的斜率 Px0, fx0处的切线的斜率是.也就是说,曲线yfx在点.相应的切线方程1通过对大量实例的分析,经受由平均变化率过渡到瞬时为.变化率的过程,明白导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就2物理意义是导数,体会导数的思想及其内涵.函数 Sst在点 t0 处的导数 s t0, 就是当物体的运动方程 为 Sst时,物体运动在 t 0时刻的瞬时速度 v,即.A 1 B2 Ce D. 1 e2通过函数图象直观地懂得导数的几何意义.2.导数的运算解： y ex,y | x0 1,应选 A. 设 v vt是速度函数,就v t0表示物体在t t0时刻y1能依据导数定义,求函数ycc 为常数 ,yx,y1 x,2022· 广东 曲线 yx3x 3 在点 1, 3处的切线方的.x, yx2,yx3 的导数 .3.基本初等函数的导数公式程为.解： y 3x21,当 x1 时,y 2,此时切线斜率k 2,1c x c 为常数 ,Q *；2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四就故切线方程为y 32x 1,即 2x y1 0.故填 2x y1运算法就求简洁函数的导数,并明白复合函数求导法就,能求2sin x _, 0.简洁复合函数 仅限于形如faxb的复合函数 的导数 .物体的运动方程是s1 3t3 2t25,就物体在t3cosx ；导数的几何意义是高考考查的重点内容之一,常以挑选、3ln x ,填空的形式显现, 有时也显现在解答题中.导数的运算基本上每时的瞬时速度为.log ax 4e x ；x . 年都考, 一般不单独设题, 大都是在考查导数应用的同时考查.解： vts t t24t,t 3 时, v3, a1.导数的概念故填 3. 4.导数运算法就1 fx ±gx . 1定义类型一导数的概念2 fxgx ；当 gxcc 为常数 时,即 cfx . 假如函数 yfx的自变量 x 在 x0 处有增量 x,那么函数 y相应地有增量 yfx0xfx0,比值y x就叫函数 yfx从 x03 f（ x）g（x）gx 0.到 x0 x 之间的平均变化率,即 y xf（x0x）f（x0）.假如设 fx为可导函数,当x 趋近于 0 时,5.复合函数的导数复合函数 yfgx的导数和函数y fu, u gx的导数f（1） f（12x）趋近于 1,就过曲线y fx上点 1,f1当 x0 时,y x有极限,我们就说函数 yfx在点 x0 处,间的关系为.即 y 对 x 的导数等于y 对 u 的导数与 u2x对 x 的导数的乘积 .处的切线斜率为 并把这个极限叫做 fx在点 x0处的导数,记作或【自查自纠】y |xx0,即 f x0lim x 0错误！未指定书签；y xlim x 0错误！A 2 B 1 C1 D 2 1.1可导f x0 f（ x0 x） f（ x0）解：f（1） f（ 1 2x）2xf（ 1 2x） f（ 1） 2x,当 x 趋近未指定书签；f（ x0 x） f（ x0）. 3 fx0 xfx0 xx于 0 时, 2x 也趋近于 0, y | x1 1,所以 y fx在点 1,2.1f x0y y0 f x0x x0 2导函数 当 x 变化时, f x便是 x 的一个函数,我们称它为fx的f1处的切线斜率为1.应选 B.2vs t0加速度 sinx31 x1【评析】 此题利用导数定义求导数,将“ 表达式 ”变形导函数 简称导数 .y fx的导函数有时也记作y ,即 f xy 3.101 x2cosx为导数的 “定义式 ”的标准形式是关键, 这里要找准增量 xxlnalim x 0错误！未指定书签；f（ xx） f（x）. 4exaxlna2x.“ y | x1”是指曲线在x 1 处的切线斜率x已知 f 0 2,就 h 趋近于 0 时,4.1f x ±g x2 f xgxfxg xcf x 3求函数 y fx在点 x0处导数的方法求函数的增量 y；3f（ x）g（ x） f（x）g（ x）g（x） f（3h） f（0）趋近于.h求平均变化率 y x；5.yx y u·u x解：f（3h） f（ 0）h3f（03h） f（0） 3h取极限,得导数f x0lim x 0错误！未指定书签；y x. 函数 fx 1 的导函数是 当 h 趋近于 0 时, 3h 也趋近于 0. f（ 3h） f（0）h趋近于 3f 0 6.故填 6.2.导数的意义A y 0 B y1 C不存在D不确定名师归纳总结 第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 类型二导数的几何意义学习必备欢迎下载解： 1y 10x 4；方程,即是否在曲线上.与曲线只有一个公共点的直线不一2y 4x·3x 12x2 1·3 18x2 4x3；定是曲线的切线,曲线的切线与曲线的公共点不肯定只有一已知曲线 y1 3x 34 3. 个 .3y cos x ·x cos x ；已知函数 fx x3 x16. 4y 111（x 2）2. x21求满意斜率为4 的曲线的切线方程；1求满意斜率为1 的曲线的切线方程；【评析】 求导运算,一是熟记公式及运算法就,二是把握2求曲线在点P2,4处的切线方程；2求曲线 yfx在点 2, 6处的切线的方程；求复合函数导数的步骤,遵从“由外到内 ” 的原就,三是要留意3求曲线过点P2,4的切线方程 .2 0 1,解3直线 l 为曲线 yfx的切线,且经过原点,求直线 方程 .l 的在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形,从而使求解： 1设切点为 x0, y0,故切线的斜率为 k x得 x0 ±1,故切点为 1,53 ,1,1故所求切线方程为 y5 3 x1 和 y 1x 1,导运算更简洁解： 1设切点坐标为 x0, y0,2 f x0 3x 0 1 4, x0 ±1,求以下函数的导数：x01,或 y0 14x0 1,1yx1x2；y0 18.2yx e x 1x 0；即 3x 3y 20 和 x y20. 切线方程为y4x18 或 y 4x 14. 2 y x2,且 P2, 4在曲线 y1 3x 34 3上,3ycos2x；2 f x 3x 2 1,且 2, 6在曲线 fx x3x 16 上,4ylnx3 x1x 1.在点 P2, 4处的切线的斜率ky | x2 4. 在点 2, 6处的切线的斜率为kf 2 13. 曲线在点P2,4处的切线方程为y 44x 2,即 4x解： 1y x 1 x 2 x 1x2 切线的方程为y 13x 32. y 4 0. x 2x 1 2x3；3解法一： 设切点为 x0, y0, 直线 l 的斜率为 f x0 3x 2 01, 直线 l 的方程为 y3x2 01x x0x 3 0x016,又 直线 l 过原点 0, 0, 03x2 01 x0 x 30 x0 16,3设曲线 y1 3x 34 3与过点 P2,4的切线相切于点2y x（ e x1） x（ ex1） （ ex 1）2Ax0, 1 3x 04 3 ,又 切线的斜率 k y | x x0x2 0,切线方程为 y 13x 0 4 3 x2 0xx0,即 y x2 0x23x 0 4 3. （ 1x） ex1（ ex1）2；整理得 x0 2,3y sin2x·2x 2sin2x； 斜率 k 13. 4y ln x 3lnx 1 1 x 31 直线 l 的方程为 y13x. x 1解法二： 设直线 l 的方程为 ykx,切点为 x0, y0,就斜率 ky0 0 x0 0 x 3 0 x0 16 x0,又 k f x0 3x 2 0 1,x 3 0 x0 16 x0 3x2 0 1,解得 x0 2,2（x 1）（ x 3）. 点 P2, 4在切线上, 4 2x2 02 3x 04 3,即 x3 0 3x2 04 0, x3 0x2 04x2 0 40,x2 0x0 1 4x01x0 1 0,x0 1x022 0,解得 x0 1 或 x0 2,1.弄清 “函数在一点x0处的导数 ” “导函数 ” “导数 ”的区分与联系故所求的切线方程为1函数在一点x0处的导数 f x0是一个常数,不是变量；4x y4 0 或 xy 2 0. k13. 2函数的导函数 简称导数 ,是针对某一区间内任意点x【评析】 曲线切线方程的求法： 直线 l 的方程为 y13x. 而言的 .函数 fx在区间 a,b内每一点都可导,是指对于区间1以曲线上的点 x0, fx0为切点的切线方程的求解步骤：类型三求导运算a,b内的每一个确定的值 依据函数的定义,在开区间x0,都对应着一个确定的导数 f x0,a, b内就构成了一个新的函数,求出函数fx的导数 f x；求切线的斜率f x0；也就是函数fx的导函数 f x；写出切线方程y fx0 f x0 xx0,并化简求以下函数的导数：3函数 yfx在点 x0处的导数 f x0就是导函数f x在点2假如已知点 x1,y1不在曲线上,就设出切点x0,y0,xx0处的函数值 .y0f（ x0）,1y5x 24x 1；2y2x 2 13x 1；2.求函数 y fx在 x x0处的导数 f x0通常有以下两种方解方程组x1x0 y1 y0 f （ x0）,得切点 x0,y0,进而确定切线方法3ysin x其中 为常数 ；1利用导数的定义：即求4yx 3 x 2x 2.lim x 0错误！未指定书签；f（x0 x） f（x0）的值；程x留意： 求切线方程时,要留意判定已知点是否满意曲线第 2 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2利用导函数的函数值：先求函数y fx在开区间 a,b学习必备欢迎下载2当 a 1 时, fxx 11 e x, f x 11 e x. 第 3 页,共 4 页7.曲线 yx 3x 2 的一条切线平行于直线y 4x 1,就内的导函数f x,再将 x0x0 a,b代入导函数f x,得 f x0.切点 P0 的坐标是 _.解： y 3x21,又 3x21 4,解得 x ±1. 设切点为 x0, y0,3.求曲线在某一点处的切线方程时,可以先求函数在该点 切点 P0 的坐标为 1,0或 1, 4故填 1,0或 1,fx0x011 kx0 1,的导数,即曲线在该点的切线的斜率,再利用点斜式写出直线的方程 .假如切点未知,要先求出切点坐标.4ex 04.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方8.2022·江西 设函数 fx在 0, 内可导,且 fe xxe x,就 f 1 _. 解：令 ext,就 x lnt.fexx e x, ft lntt, f tf x0 11x 0 k,e得 x0kx01 k,即 k 1x010. 法.1.函数 fxx 3sin2x 的导数 f x A x 2 cos2x B3x2 cos2xCx 2 2cos2x D 3x2 2cos2x解： f x 3x2 2x cos2 x3x2 2cos2x.应选 D.1 t1, f 111 2.故填 2.9.求函数 fxx 34x 4 图象上斜率为 1 的切线的方程 .如 k1,就式无解,x0 1, k1 e. l 的直线方程为y 1ex1.解： 设切点坐标为 x0, y0, f x0 3x 2 0 4 1, x0 ±1. 2.已知 fxx2 x 3,就 f 2 的值为 切点为 1,1或 1, 7A 0 B 1 C 2 D 3 切线方程为x y20 或 x y6 0. 解： f x x 3 x22x5, f 210.设函数 fxx 32ax2 bxa,gx x2 3x 2,其中1.应选 B.x R, a,b 为常数 .已知曲线 yfx与 ygx在点 2, 0处有3.曲线 y x 3 11 在点 P1,12处的切线与坐标是 y 轴交点的纵相同的切线l ,求 a,b 的值,并写出切线l 的方程 .解： f x 3x2 4ax b, g x 2x 3,由于曲线y fxA 9 B 3 C 9 D15 解： 由 y | x13,得在点 P1, 12处的切线方程为3x y与 y gx在点 2,0处有相同的切线, 故有 f2 g2 0,f 2 g 21,由此解得 a 2,b5.从而切线 l 的方程为 x y90,令 x 0,得 y 9, 应选 C. 20. 4.如 fx x 2 2x4lnx,就 f x0 的解集为 11.设 fx是定义在 R 上的奇函数,且当x0时, fx 2x 2. A 0, B 1, 0 2, 1求 x0 时, fx的表达式；2令 gxlnx,问是否存在 x0,使得 fx, gx在 x x0C2, D1, 0 解： f x 2x 24 x 2（ x2）（ x 1）0, x 0,处的切线相互平行？如存在,求出 x0 的值； 如不存在,请说明理由 .x 2 0,解得 x 2.应选 C.解： 1当 x0 时, x 0,5.如曲线 yx 2axb 在点 0,b处的切线方程是x y1fx f x 2 x 2 2x2； 当 x0 时, fx的表达式为 fx 2x2. 0,就 A a 1,b 1 Ba 1,b1 2如 fx,gx在 x0处的切线相互平行,就f x0g x0,Ca1, b 1 Da 1,b 1 当 x0>0 时,f x04x0 g x0x0,解得 x01 2.故存在 x01 2满解： y 2xa, y | x0 a, a 1. 0, b在切线 x y 10 上, b1,足条件应选 A.2022·福建改编 已知函数 fxx 1a e xa6.已知点 P 在曲线 y4 e x 1上,就曲线在点 0,f0处的R,e 为自然对数的底数.切线的斜率是 1如曲线 yfx在点 1, f1处的切线平行于x 轴,求 aA 2 B1 C0 解： y 4 ·（e x 1） 4· （ ex 1）（ ex1）2xe 2x 2ex 1,4eD 1 的值；2当 a1 时,如直线l： ykx1 与曲线 y fx相切,求 l 的直线方程 .解： 1f x 1a e x,由于曲线yfx在点 1,f1处的切y | x04 1.应选 D.线平行于 x 轴,所以 f 1 1a e 0,解得 ae. 12 1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 4 页,共 4 页- - - - - - -