2022年函数不等式恒成立问题解法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载函数、不等式恒成立问题解法一：恒成立问题的基本类型类型1：设fx ax2bxca0 ,（ 1）fx 0在xR上恒成立ba0且b0；（ 2 ）fx0 在xR上恒成立a0且0；类型 2：设fxax2bxca0b（1）当a0时,fx0 在x,上恒成立2 a或2 a或2 a,fx0 在x,上恒成立f0f00f0f0f0（2）当a0时,fx 0在x,上恒成立0f0bbbfx0 在x,上恒成立2 a或2 a或2af00f类型 3：fx对一切xI恒成立fxminfx对一切xI恒成立fxmax；类型 4：fxgx 对一切xI恒成立fx 的图象在gx 的图象的上方或fx mingx max恒成xI二：函数中恒成立问题解题策略（一）赋值法等式中的恒成立问题,经常用赋值法求解,特殊是对解决填空题、挑选题能很快求得 . 例 1 由等式 x 4+a1x 3+a2x 2+a3x+a4= x+1 4+b1x+1 3+ b2x+1 2+b3x+1+b 4 定义映射 f ： a1,a2,a3,a4 b1+b2+b3+b4, 就 f：4,3,2,1 A.10 B.7 C.-1 D.0 略解 ：取 x=0,就 a4=1+b1+b2+b3+b4, 又 a4=1, 所以 b1+b2+b3+b4 =0 ,应选 D 名师归纳总结 例 2假如函数y=fx=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8对称,那么a=（）. 第 1 页,共 10 页A.1 B.-1 C .2D. -2 . 略解 ：取 x=0 及 x=4,就 f0=f4,即 a=-1,应选 B. 此法表达了数学中从一般到特殊的转化思想. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （二） 用一次函数的性质 -学习必备欢迎下载利用函数单调性对于一次函数fxkxb,xm ,n有：2x1 0,；fx0 恒成立f m 0 , 0fx 0 恒成立fm 0f n fn 0例 1：如不等式2x1m x21 对满意2m2的全部 m都成立,求x 的范畴；解析：我们可以用转变主元的方法,将m视为主变元,即将元不等式化为：m x21令fmm x21 2x1 , 就2m2时 ,fm 0恒 成 立 , 所 以 只 需f2 00即f2 22 x21 1 2x1 1 00,所以 x 的范畴是x127,123；x22xm,所以要争论（三）、利用一元二次函数的判别式-利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于一元二次函数fxax2bxc0a0,xR 有：（1）fx0 在xR上恒成立a0且0；（2）fx0 在xR上恒成立a0且0例 1：如不等式m1 x2m1 x20的解集是 R,求 m的范畴；解析：要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m-1 是否是 0；（1）当 m-1=0 时,元不等式化为2>0 恒成立,满意题意；围. ga0（2）m10时,只需m10128 m10,所以,m9,1；m例 2.已知函数f x x2ax3a ,在 R 上f x 0恒成立,求 a 的取值范畴 . 分析 ：yf x 的函数图像都在X 轴及其上方, 如右图所示：略解 ：2 a4 3a2 a4 a1206a2变式1：如x2,2时,f x 0恒成立,求 a 的取值范小 值分析 ：要使x2,2时,f x 0恒成立, 只需f x 的最即可 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4综解：f x xa2a2a3,令f x 在2,2 上的最小值为g a . 24当a2,即a4时,g a f 273a0a7又a423a 不存在 . 当2a2,即4a4时,g a faa2a306a2又4a2244a2当a 22,即aa4时,g a f27a0a7又a47a472 . 上所述,变式 2：如x2,2时,f x 2恒成立,求 a 的取值范畴 . 解法一 ：分析：题目中要证明fx2在2,2 上恒成立,如把2 移到等号的左边,就把原题转化成左边二次函数在区间2,2 时恒大于等于0 的问题 . 略解 ：f x x2ax3a20,即f x2ax1a0在2,2 上成立 . 2 a4 1a0222a22 2a241a0f20f 20a25a2222 2 a 22 或2综上所述,5a222. 解法二：（运用根的分布）5a当a 22,即a4时,g a f 2473 a2a54,52 a 4a 不存在 . 23,2a2a即4a时,g aa,3当f22222a2224a22722,a5a4综上所述当a 22,即a4g a f2a时,222. 此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定的情形,对轴与区间的位置进行分类争论；仍有与名师归纳总结 其相反的,轴动区间定,方法一样. 4、例 5）,而对于二次函数在某一区间上恒第 3 页,共 10 页对于二次函数在R 上恒成立问题往往采纳判别式法（如例- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题（四）变量分别型分别变量,奇妙求解运用不等式的相关学问不难推出如下结论：如对于x 取值范畴内的任何一个数都有fx>ga 恒成立,就 ga<fx min;如对于 x 取值范畴内的任何一个数,分别为 fx 的最大值和最小值 都有 fx<ga 恒成立,就 ga>fx max.其中 fx max和 fxmin例 1.已知三个不等式 x 2 4 x 3 0, x 26 x 8 0, 2 x 29 x m 0要使同时满意的全部 x 的值满意,求 m 的取值范畴 . 略解 ：由得 2<x<3, 要使同时满意的全部 x 的值满意 ,即不等式 2 x 2 9 x m 0 在 x 2 3, 上恒成立,即 m 2 x 2 9 x 在 x 3,2 上恒成立,又 2 x 29 x 在 x 2 , 3 上大于 9,所以 m 9例 2. 函数 f x 是奇函数,且在 1,1 上单调递增,又 f 1 1,如 f x t 2 2 at 1 对全部的 a 1,1 都成立,求 t 的取值范畴 . 解： 据奇函数关于原点对称,f 1 ,1 又 f x 在 1 1, 上单调递增 f x max f 1 12 2f x t 2 at 1 对全部的 a 1,1 都成立 .因此,只需 t 2 at 1 大于或等于 f x 在 1,1 上的最大值 1,2 2t 2 at 1 1 t 2 at 0 又 对全部 a 1,1 都成立,2t 2 t 0即 关 于 a 的 一 次 函 数 在 -1 , 1 上 大 于 或 等 于 0 恒 成 立 ,t 22 t 0 即 ：t 2 或 t 0 或 t 2t , 2 0 2 , 利用变量分别解决恒成立问题,主要是要把它转化为函数的最值问题 . （五）利用函数的最值（或值域）（1）fxm对任意 x 都成立fxminm；（2）fxm对任意x 都成立mfxmax；简洁计作： “ 大的大于最大的,小的小于最小的”由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题；例 1：在ABC中,已知fB4sinBsin24Bcos2B,且|fBm|2恒成立,求实数m的2范畴；解析：由名师归纳总结 fB4sinBsin24Bcos2B2sinB,10B,sinB0 1,fB 3,1 ,第 4 页,共 10 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |fB m|2恒成立,2fBm学习必备欢迎下载fB2恒成立,m,13 2,即mmfB 2例 2：（1）求使不等式axsinxxcosx ,x0,4恒成立的实数a 的范畴；2 ,4,3, 显 然 函 数 有 最 大 值解 析 ： 由 于 函asincos2sinx,x44a2；假如把上题略微改一点,那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式asinxcosx,x40,2恒成立的实数a 的范畴；a 的取值；利解析：我们第一要仔细对比上面两个例题的区分,主要在于自变量的取值范畴的变化,这样使得ysinxcosx的最大值取不到2 ,即 a 取2 也满意条件,所以a2；所以,我们对这类题要留意看看函数能否取得最值,由于这直接关系到最终所求参数用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也叫分别参数法；名师归纳总结 （六）数形结合法-对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解；第 5 页,共 10 页例 1：已知a0,a,1fxx2ax,当x1,1时,有fx1恒成立,求实数 a 的取值范畴；2解析： 由fxx2ax1,得x21ax,在同始终角坐标系中做出两个函数的图象,假如两个函22数分别在x=-1 和 x=1 处相交, 就由2 11a及1 21a1得到 a 分别等于 2 和 0.5 ,并作出函数22yx 2 及y1x的图象,所以,要想使函数x21ax在区间x1,1 中恒成立,只须yx 2 在22区间x1,1 对应的图象在yx21在区间x1,1对应图象的上面即可；当a1 时,只有a22才能保证,而0a1 时,只有a1才可以,所以a11, 1 ,2 ；22例 2：如当 Pm,n 为圆x2y1 21上任意一点时,不等式mnc0恒成立,就c 的取值范围是（）A、12c21 B、21c21C、c21 D、c21解 析 ： 由mnc0, 可 以 看 作 是 点Pm,n 在 直 线xyc0的 右 侧 , 而 点Pm,n 在 圆x2y121上 , 实 质 相 当 于 是x2y1 21在 直 线 的 右 侧 并 与 它 相 离 或 相 切 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 01c|01c21,应选 D；学习必备欢迎下载|01c1 21 2三：同步练习巩固x x1、设 f x lg 1 2 a 4, 其中 a R ,假如 x .1 时,f x 恒有意义,求 a 的取值范畴；3分析：假如 x .1 时,f x 恒有意义,就可转化为 1 2 xa 4 x 0 恒成立,即参数分别后x1 2 x 2 xa x 2 2 ,x .1 恒成立,接下来可转化为二次函数区间最值求解；4解：假如 x .1 时,f x 恒有意义 1 2 xa 4 x 0,对 x ,1 恒成立 . x1 2 x 2 xa x 2 2 x .1 恒成立；4令 t 2 x,g t t t 2 又 x .1 就 t 1 , a g t 对 t 1 , 恒成立,又 g t 2 2在 t 1, 上为减函数,g max g 1 3,a 3；2 2 4 42、设函数是定义在 , 上的增函数,假如不等式 f 1 ax x 2 f 2 a 对于任意 x 0,1 恒成立,求实数 a 的取值范畴；分析：此题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为1axx22a 对于任意x0,1恒成立,从而转化为二次函数区间最值求解；名师归纳总结 3、解：f x 是增函数f1axx2f2a 对于任意x0,1恒成立,所以原问题第 6 页,共 10 页1axx22a 对于任意x0,1恒成立ax1a ,x0,1x2ax1a0对于任意x0,1恒成立,令g x x20易求得g0,a01a ,a0a2a1, 2ag x min0,又g x minga,2a0即g x min242,a22,a2a1；a 的取值范畴；已知当 xR时,不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立,求实数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载方法一）分析：在不等式中含有两个变量 a 及 x,此题必需由 x 的范畴（ x R）来求另一变量 a 的范围,故可考虑将 a 及 x 分别构造函数利用函数定义域上的最值求解 a 的取值范畴；解：原不等式 4sinx+cos2x<-a+5当 x R时,不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立-a+5>4sinx+cos2x max设 fx=4sinx+cos2x 就 fx= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2sinx-1 2+3 3 -a+5>3 a<2方法二）题目中显现了 sinx 及 cos2x ,而 cos2x=1-2sin 2x, 故如采纳换元法把 sinx 换元成 t, 就可把原不等式转化成关于 t 的二次不等式,从而可利用二次函数区间最值求解；解：不等式 a+cos2x<5-4sinx 可化为a+1-2sin 2x<5-4sinx, 令 sinx=t, 就 t -1,1, 不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立 2t 2-4t+4-a>0,t -1,1 恒成立；设 ft= 2t 2-4t+4-a ,明显 fx 在-1 ,1 内单调递减, ft min=f1=2-a, 2-a>0 a<2 4、设 fx=x 2-2ax+2, 当 x -1,+ 时,都有 fx a 恒成立,求 a 的取值范畴；分析：在 fx a 不等式中,如把 a 移到等号的左边,就原问题可转化为二次函数区间恒成立问题；解：设 Fx= fx-a=x 2-2ax+2-a. 当 =（-2a ）2-42-a=4（ a-1a+2<0 时,即 -2<a<1 时,对一切 x -1,+ ,Fx 0 恒成立；）当=4（a-1a+2 1 0 时由图可得以下充要条件：-1 y x 0aa20f1 0即a30o 2 a,1a,12得-3a-2; 综上所述： a 的取值范畴为 -3 , 1 ；5、当 x1,2 时,不等式 x-12<log ax 恒成立,求a 的取值范畴；分析：如将不等号两边分别设成两个函数,就左边为二次函数,右边为对数函数,故可以采纳数形结合借助图象位置关系通过特指求解a 的取值范畴；1 y y1=x-12y2=log ax 解：设T1:f x =x2 1,T2:g x log ax , 就 T1 的图象为右图所示的抛物线,要使对一切x1,2, f x <g x 恒成立刻T1的图象一定要在 T2的图象所的下方,明显a>1, 并且必需也只需g2f2故 log a2>1,a>1,1<a2. 6、已知关于 x 的方程 lgx2+20x-lg8x-6a-3=0有唯独解, 求实数 ao 2 x 的取值范畴；y l分析：原方程可化成lgx2+20x=lg8x-6a-3,从而得x2+20x=8x-6a-3>0,如将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x 与一次函数 y=8x-6a-3 ,就只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯独交点l 1 即可；解：令 T1：y1= x2+20x=（ x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,就如下列图,l2 T1 的图象为一抛物线,T2的图象是一条斜率为定值8,而截距不定的直线,x 名师归纳总结 -20 o 第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载要使 T1和 T2 在 x 轴上有唯独交点,就直线必需位于l1 和 l2之间；（包括 l1 但不包括 l2 当直线为 l 1 时,直线过点（-20 ,0）此时纵截距为-6a-3=160,a= 163; 6当直线为 l2 时,直线过点（0, 0）,纵截距为 -6a-3=0 ,a= 1a 的范畴为 163,1）；2 6 27、对于满意 |p| 2 的全部实数 p, 求使不等式 x 2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范畴；分析：在不等式中显现了两个变量：x、P, 并且是给出了 p 的范畴要求 x 的相应范畴,直接从 x 的不等式正面动身直接求解较难,如逆向思维把 p 看作自变量, x 看成参变量,就上述问题即可转化为在 -2 ,2内关于 p 的一次函数函数值大于 0 恒成立求参变量 x 的范畴的问题；解：原不等式可化为 x-1p+x 2-2x+1>0, 令 fp= x-1p+x 2-2x+1, 就原问题等价于 fp>0 在 p-2,2 上恒成立,故有：y y -2 2 x -2 o 2 x 方法一：x10 0或x100x<-1 或 x>3. x3 或x11f2f 2方法二：f 200即x24x030解得：f2x21x1 或xx<-1 或 x>3. 名师归纳总结 例 8：求使不等式sin2xacosx a21cosx 对一切 xR恒成立的负数a 的取值范畴；0,1上恒为正解：原不等即cos2 x（ 1 a） cosxa 20 * 令 cosx=t,由 xR知 t-1 , 1 ,于是 * 对一切 xR恒成立当且仅当ft=t2 （ 1a） a20 *对一切 t-1 ,1 恒成立,其充要条件ft 在-1 ,1 上的最大值ft m ax0, 而 ft m ax = f1 或 f-1,因此 * 对一切 t-1 ,1 恒成立当且a0a0f 1 11aa20a2或a1a-2 故所求的 a 的范畴为 -,-2.f1 1 1aa20a0或a1例 9： 定义在 R 上的函数fx既是奇函数,又是减函数,且当0,2时,有fcos22msinf2 m20恒成立,求实数m 的取值范畴 . 分析 : 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ,将“ 抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的问题 .而对于fx学习必备欢迎下载fx在a,b上的最小值问题, 如fx中含有参数,0 在给定区间 a,b 上恒成立问题可以转化成为就要求对参数进行争论；名师归纳总结 【解析】 由fcos22 msinf2 m20得到：fcos22msinf2m20由于fx为奇函数,t=m gt故有fcos22msinf2m2恒成立,又由于fx为 R 减函数,从而有cos22msin2m2对0 ,2恒成立o ·t 1 图 1 设sint,就t22 mt2m10对于t01,恒成立,gt在设函数gtt22 mt2 m1,对称轴为tm. t=m 当tm0时,g02 m10,o ·t 即m1,又m0图 2 1 21m0如图 1 gtt=m 2当tm01,即0m1 时 , 4m24 m2 m10,即m22 m10, 12m12,又m1,0, ·t 0tm1如图 2 112m2m120恒成立 . o 1 图 3 当m1时,gm 1 如图 3故由可知：m 1. 2例 10. 如不等式 2x-1>mx2-1对满意 -2m 2 的全部 m 都成立,求x 的取值范畴；分析：从表面上看,这是一个关于x 的一元二次不等式,实质上可看作是关于m 的一元一次不等式,并且已知它的解集为 2, 2,求参数x 的取值范畴,这是一种“ 转换主元” 的思想方法；解： 原不等式化为 x2-1m-2x-1<0 设f mx21 m2x1 ,2m2如x210,即x1x1 时, f m 0x1 时, f m 0f2 2x21 2x1 x1x210时,由题意有：f 2 x1 2x1 0第 9 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即2 2x2x2x30127x1学习必备x欢迎下载x22x10231在此范畴内解得的取值范畴是例 11：已知二次函数 f x ax 2bx c（ , ,a b cR a0）满意 f 1,f 0,对任意的都有 f x x（ ）证明：a0,c0；1, 上是单调函数；（ ）设 g x f x mx mR,求 的范畴,使 g x 在解：（ ）由f aabbcc10得到ac1又f x x0即ax2b1xc0恒成立02b1f1 2a0b124 ac0又b1aca0ac24 acac20a ac0（ ）又ac1,ac1,b1f x 1x21x1242424fx 在 Ag x f x mx1x21m x1抛物线的对称轴为x1m2m12124244现要求g x 在1,1上是单调函数,只要抛物线的对称轴不在1,1内,即 2m11所以得m0 或m1例 12设 A=x|x-a1 2|a21 2,B=x|x2 -3a+1x+23a+10, 求使 AB 的 a 的取值范畴；2解：易得 A=2a,a2 1.记 fx= x2 -3a+1x+23a+1,就 AB 当且仅当对xA, fx0 恒成立,其充要条件是上的最大值不大于零；名师归纳总结 f而 fx 在 A 上的最大值为f2a或 fa2 1；因而a11 或a1a3第 10 页,共 10 页2a 2a220fa21 a1 aa1 a3 0a0 或 1a=-1 或 1a3.故工的范畴为 1,3-1.- - - - - - -