2022年圆锥曲线方程单元知识总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆锥曲线方程单元学问总结【学问结构】【命题趋势分析】从近三年高考情形看,圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容,三年平均占分 20 分,约为全卷分值的13.3%,在题型上一般支配挑选、填空、解答各一道,分别考查三种不同的曲线,而直线与圆锥曲线的位置关系又是考查的重要方面；例 1（20XX 年江苏卷理科第13 题）椭圆5x2ky25的一个焦点是（0,2）,就k_ ；解分析此题主要考查椭圆的标准方程,先将其化为标准形式,然后求解；512解椭圆方程即y2x21a25b21,由ca2b251kkk得 k=1；点评由焦点在y 轴上, 其标准方程应化为y2x21的形式,如此题变化为：已知1a2b2曲线5x2ky25的焦距为 4,就 k_ ；就应分两种情形争论： （1）如为椭圆, 就 k=1 ；（2）如为双曲线, 方程即为x2y215k名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - a21,由b25学习必备欢迎下载2152,得k5；,由ca2bkk32 2例 2（20XX 年全国卷理科第 14 题）双曲线 x y 1 的两个焦点为 F 1F 2,点 P9 16在双曲线上, 如 PF 1 PF 2,就点 P 到 x 轴的距离为 _ ；分析 此题主要考查双曲线的定义,从“ 形” 的角度看, 只需求出 Rt PF 1F 2 斜边 F 1F 2名师归纳总结 上的高,可用第肯定义求解；从“ 数” 的角度看,只需求出点P 的纵坐标y ,先利用其次第 2 页,共 10 页定义即焦半径公式表示出|PF 1|,|PF2|,由勾股定理求出x ,再代入双曲线方程即可求出y 的值；由于点P 在以F 1F 2为直径的圆上,因此,解决此题一个最基本的方法,就是利用交迹法求出点P；解法一设|PF 1|m|PF 2|n,且由双曲线的对称性不妨设点P 在第一象限, 就mn=2a6 ,m2n24c2100,2 得 2mn=64, mn=32,作 PQ x 轴于 Q,就在RtPF 1F2中,|PQ|mn3216,即点 P 到 x 轴的距离为16 ,5F 1F2105解法二设Px 0,y0x00,y00,由其次定义可得|PF 1|ex 0a2ex 0a,|PF2|ex0a2ex 0a,PF 1PF 2,ccex 0a2ex 0a 24 c2,即e22 x 02c2a2,这里 a=3 c=5 e5,代入得x0341；35由双曲线方程得2 y 016x2 01256,y016；9255解法三设Px0,y 0x 00,y00 ,PF 1PF2点 P 在以F 1F 2为直径的圆上,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x22 y 0学习必备欢迎下载25,又点 P 在双曲线上,016 x 0 29 y 0 2144 ,由,消去 x ,得 2y 0 2 256,y 0 16；25 5点评（1）由双曲线的对称性,可将点 P 设定在第一象限内,而不必考虑全部的情形；（2）解题的目标意识很重要,例如在解法一中只需整体求出 mn 的值,而不必将 m,n解出；在解法三中只需求 y 即可；（3）在三种解法中,以解法三最简洁,因此,最基本的方法有时也是最有效的方法；（ 4）假如将问题改为：当F 1PF2为钝角时,点P 的横坐标的取值范畴是_ ；那么, 可先求出访PF 1PF 2时的点 P 的横坐标为x0341,由图形直观及双曲线5的范畴可得,2000 年高考理科第14 题考查了椭圆中与此类似的问题；名师归纳总结 例 3（2000 年全国卷理科第11 题）过抛物线yax2 a0 的焦点 F 作始终线交抛第 3 页,共 10 页物线于 P、Q 两点,如线段PF 与 FQ 的长分别是p、q,就11等于（）pqA 2a B1C4a D42 aa分析此题主要考查抛物线的定义与标准方程,可利用焦半径公式来解决；解抛物线方程即x21y,记1m,就 F（0,m）,而直线 PQ 的方程可设为x=ka4a（ym）,代入抛物线方程x24my得k2y22k22myk2m20,设Px 1,y 1,Qx2,y 2,就y 1y 22 k222 m ,而py 1m,qy2m,ky 1y2m2于是,pqy1y22m2k222m2m4 k221 m,kkpqy1my2m y1y2m y 1y2m24 k221 m2；k故,11pq14 a；pqpqm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 k=0 时,易证结论也成立,因而选 C；点评（1）由于所给抛物线的焦点在 y 轴上,故其焦点是 0,1 ,焦半径公式是4 a| PF | y 1 1,而不能写成 | PF | x 1 1；（2）解题中, 令 1 m 以及将直线 PQ 的4 a 4 a 4 a方程设为 x=k（ym）,都是为了简化运算； （3）作为一道挑选题,如此解法明显是不经济的,可以利用上节例 5 中的结论 3 直接得出结果,因此,记住一些重要结论,对提高解题效率无疑是有益的； （4）特例法也是解挑选题的常用的解题方法,此题只需考虑 PQ/x 轴,即为通径的情形,可立刻得出结果；例 4（20XX 年全国卷理科第 19 题）设抛物线 y 2 2 px p 0 的焦点 F,经过点 F的直线交抛物线于 A 、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC/x 轴,证明直线 AC 经过坐标原点 O；分析 本小题主要考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算才能和规律推理才能,证明三点共线,只须证明OC、 OA 两直线的斜率相等,也可利用抛物线的性质证明 AC 与 x 轴的交点 N 恰为 EF 的中点,从而N 与 O 重合,证得结论；,解法一易知焦点Fp,0 ,设直线 AB 的方程是xmyp,代入抛物线方程得22y22p m yp20设A x 1,y 1,Bx2,y 2,就y 1y2p2,即y2p2；y 1因 BC/x 轴,且 C 在准线 1 上,故点Cp,y2,且2 y 12px 1,从而x 1y 122p2从而名师归纳总结 解法二k OCy2p22p,kOAy1y 12p,第 4 页,共 10 页ppy 1y 1x 1y2 1y1222p于是,kOCkOA,从而 A 、O、C 三点共线,即直线AC 经过原点 O；如图,设准线 1 交 x 轴于点 E,AD 1 于 D,连 AC 交 EF 于点 N,由 AD/EF/BC ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得|EN|CN|学习必备|欢迎下载|AD|BF|,|BF,即|EN|AD|AC|AB|AB| NF | | AF | | AF | | BC |,即 | NF |,| BC | | AB | | AB |又由抛物线的性质可知,|AD|=|AF| , |BC|=|BF|,代入可得 |EN|=|NF| ,即 N 为 EF的中点,于是 N 与点 O 重合,即直线 AC 经过原点 O；点评（1）本例解法一利用曲线的方程争论曲线的性质,充分表达了用坐标法争论几何问题的基本思想,而解法二就充分利用了抛物线的几何性质及相像三角形中的有关学问；（ 2）在解法一中,直线 AB 方程的设法值得推崇,从思路分析看,如证 k OC k OC,即证2y 2p x y1 1,将 x y2 1p 代入后即证 y 2p 2y p1,即证 y 1 y 2 p 2,为此应通过直线 AB2 2的方程及抛物线方程 y 2 2 px 联立消去 x 得到关于 y 的一元二次方程, 解法一中的这一设法,既回避了直线方程的变形过程使运算简洁,同时也回避了当AB x 轴的情形的争论,如将 AB 方程设为ykxp,就必需对 k 不存在的情形作出说明； （3）试验修订本 （必2修）数学其次册（上）P 123习题 86 第 6 题是：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,经过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ,求证直线 MQ 平行于抛物线的对称轴,可见,这道高考题实际上是课本习题的一个逆命题,同学们在平常的学习中,对课本典型 例题,习题要加强争论；例 5（20XX 年江苏卷第20 题）设 A 、B 是双曲线x2y21上的两点,点N（1,22）是线段 AB 的中点；（1）求直线 AB 的方程；（2）假如线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C、D 两点,那么A 、B、C、D 四点是否共圆？为什么？分析 此题主要考查直线、圆及双曲线的方程和性质,运算才能和综合运用所学学问 解决问题的才能；求直线 AB 的方程, 可以设出其点斜式,与双曲线方程联立消元,利用韦 达定理及中点公式求出其斜率,由于涉及“ 中点弦” 问题,亦可利用“ 设而不求” 法解决；对于第（ 2）小题,依据图形特点,如四点共圆,就CD 必为其直径,至少可有以下三种解题思路：（1）判定 CD 中点到四点是否等距； （ 2）判定是否有 AC AD ；（3）判定 A 、B 两点是否以 CD 为直径的圆上；名师归纳总结 解（1）解法一：设AB ：y=k（x1）+2 代入x2y21,整理得第 5 页,共 10 页22k2x22k2kx2k220；设A x 1,y 1,Bx2,y 2,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2k2学习必备欢迎下载2k2kk0,且x 1x222因 N（1,2）是 AB 的中点,故x 1x22,于是2k2kk2,解得 k=1 ,从而所22求直线 AB 的方程为 y=x+1 ；解法二：设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,代入双曲线方程得2 22 x 1 y 1 22 2 x 1 x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 1 y 2 ；2 x 2 y 2 ,2因 N（1,2）为 AB 的中点,故 x 1 x 2 2,y 1 y 2 4,将它们代入上式可得x 1 x 2 y 1 y 2,从而 k AB 1,于是直线 AB 的方程为 y=x+1 ；（2）将 k=1 代入方程得,x 2 2 x 3 0,解得 x 1 1,x 2 3；由 y=x+1 得,y 1 0,y 2 4,即 A（ 1,0）,B（ 3,4）,而直线 CD 的方程是 y21=（ x2）,即 y=3 x,代入双曲线方程并整理得 x 6 x 11 0 设 C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,就 x 3 x 4 6,x 3x 4 11；解法一：设 CD 中点为 M x 0,y 0 ,就 x 0 x 3 x 43,于是 y 0 3 x 0 6,2即 M （ 3,6）；又|因|CD|x 3x 42y3y422 x 3x 4222x 3x424 x 3x 4410MA|MB|故|MC|MD|210；x 4x 3x 42y 3y422 x32x 3x 424x 3x 4410即 ABCD 四点与点 M 的距离相等,从而A、B、C、 D 四点共圆；名师归纳总结 解法二：由kx3x46,x3x411得,x3x43x33x412,第 6 页,共 10 页kACy 3y43x33x416,故ADxy31xy41x3x4y3y4x 411,即 ACAD ；34x3由对称性可知,BCBD ,于是 A 、B、C、 D 四点共圆；解法三：以CD 为直径的圆的方程是xx3xx 4yy3yy40,即x2y2x 3x4xy3y4yx 3x4y3y40；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将x3x46,x3x4学习必备,欢迎下载412,x 3x416,代入得11x 3xx2因y26x12y520,即x320y6240；61x 13 2y13 26 240,x23 2y26233 246240,故 A 、B 在以 CD 为直径的圆上,即A 、B、C、D 四点共圆；点评（ 1）处理直线与圆锥曲线相交问题时,要重视韦达定理的应用；（2）“ 设而不求” 是解决“ 中点弦” 问题常用的方法,通过“ 设而不求” 可以建立弦所在直线的斜率与弦的中点坐标之间的关系,此题已知中点坐标,即可确定出直线的斜率；（3）判定四点共圆的方法许多,留意从多种不同的角度进行摸索,锤炼思维的敏捷性；【典型热点考题】1探究例 6设F 、F 2分别是椭圆x2y2的左、右焦点,试问：在椭圆上是否存在一点P,43使得F 1PF 290？为什么？分析依据点 P 满意的条件,探究是否能够将点P 的坐标求出,如能,就存在；如不能,就不存在,求P 点坐标,有以下两条思路：思路一设Px0,y0,用焦半径公式将|PF 1|,|PF 2|用x 表示,由|PF1|2|PF2|2|F1F22 |,探求x 是否存在；思路二由F 1PF 290知,点 P 在以F 1F 2为直径的圆上,只须考察该圆与椭圆是否存在公共点；摸索：画一个较为精确的图形,不难发觉,圆x2y21与椭圆x2y21没有公44共点,所以这样的点 P 是不存在的,关键是这个椭圆太“ 圆” 了,由此引发我们摸索：为使点 P 存在,椭圆应尽量“ 扁” 一些,也即其离心率应当较大,于是我们可以去摸索一个一般性的问题：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一般化：如椭圆x2y21a学习必备0 欢迎下载P,使得F 1PF290,求离心2b上存在一点ab率 e 的取值范畴；利用例 6 供应的两个思路均可得到e2,1 ,从而验证了我们的猜想；2再摸索：考察点P 从长轴端点A 始沿椭圆运动至A 的过程,F 1PF 2由 0° 逐步增大后又逐步减小为0° ,猜想在某一位置必定取得最大值,试问：这个最大值是多少？又在何2取得处取得？从椭圆的对称性来看,我们可以猜想：当点P 在短轴端点B 处时,F 1PF最大值,是不是这样呢？利用焦半径公式及余弦定理不难验证这一猜想是正确的；回头看,在例如设F 1PF 23,我们有cos2 b21；a26 中,a24,b2,代入可得cos1 2,故 0° 60° ,可见使 =90° 的点 P 是不存在的；2又一个问题：如椭圆 x2 y2 1 上存在一点 P,使 A 1PA 2 120（A 、A 为长轴a b端点）,求离心率 e 的取值范畴；分析 PA、PA 2 不再是椭圆的焦半径,依据样 6 中的思路一已经不能解决问题,但是我们知道, 使 A 1PA 2 120 的点 P 是轨迹是关于 A 1A 2 对称的两段圆弧, 可先求出圆弧所在圆的方程,然后依据思路二进行争论,下面我们给出这一问题的解答；解由对称性,不妨设Px 0,y0y00,就k PA 1xy0a,k PA 1x0y 0a,由到0角公式得名师归纳总结 tg 120k 1PA2k PA 1,即1x 0y 0aay03,第 8 页,共 10 页x 0akPA 2kPA 1y 0y 0整理得,x2 0a2x 0；x 0a2ay03y2 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又x2y21学习必备2欢迎下载a2y2；00,故xa2a2b2020b2代入得,y 0 2 ab2；3 c2因点 P 在椭圆上,故 0 y0 b,即 2 ab2 b,从而 2 ab 3 c 2,即3 c2 2 2 4 4 2 2 2 64 a a c 3 c,也就是 3 e 4 e 4 0,从而 e,解得 e,又 0<e<1,3 3故 e 6 ,1；3点评（1）在解析几何中,直角一般由垂直条件来转化,而一般角就常用到角公式来转化,如想用余弦定理将无法运算进行究竟；（2）留意利用椭圆的范畴性,由 y0 b 来建立 a、b、 c 三者之间的不等式关系,从而求出 e 的范畴；2应用；例 7某隧道横断面由抛物线的一段和矩形的三边组成,尺寸如图,某卡车载一集装箱,箱宽 3m,车与箱共高4m,试问：该车能否通过此隧道？为什么？x2分析此题为抛物线在实际问题中的应用,可利用抛物线的方程和性质进行争论；3 ,得解以抛物线弧的顶点为原点,建立图示直角坐标系,设抛物线的方程为2py p0,从图示可以看出,点（3, 3）在抛物线上,故322p3 2代2p=3,即抛物线的方程是x23y；x由抛物线的对称性可知,为使此车尽量通过此隧道,车应沿隧道中线行驶,令名师归纳总结 入x23y得y3,所以集装箱两侧隧道的高度是h3234.25m ；第 9 页,共 10 页44点评由于车与箱共高仅4 米,即 h>4,所以此车能通过此隧道；（1）实际问题应转化为数学问题来处理,此处通过建立坐标系转化为解析几何- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中的问题；（ 2）建系应恰当,尽量使方程为标准方程,分析问题时留意考虑图形的对称性；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页