2020年山东省临沂市高三上学期期末考试数学试卷及答案.docx

2020 年山东省临沂市高三上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题B = x 2 - x > 0( )( )A = x x -1 x - 6 > 0AI B =（1设集合，则） x 2 < x < 6x x > 6x 1< x < 2x x <1ABCDzi(a,bÎR)z = a +biz = b + ai2设复数，定义.若=z =，则 （）1 i 2 i+-1 3- + i5 51 3- i5 53 1- + i5 53 1- - iDABC5 53“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（）A充分不必要条件C充要条件( )B必要不充分条件D既不充分也不必要条件f x = 2 - 2 x < 04函数x （）的值域是（）( )-¥,2( )0,2( )1,2( )1,+¥ABCD1æö62x5-的展开式的中间项为（）ç÷4xèø3-40x240x2A-40BC40D6张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六BCD，A- BCDOAB 的每个顶点都在球 的球面上，等于八分之五.已知三棱锥底面，利用张衡的结论可得球 的表面积为（C33BC CDAB = CD = 3 BC = 2O，且，）A30B10 10D12 10DABCBC的三等分点（ 靠近点 B ），D E中， ， 分别为斜边D7如图，在等腰直角uuurE AD过 作FAF =的垂线，垂足为 ，则 （）uuuruuuruuuruuur35121AB + ACAB + ACACB5585uuurAB + AC15uuuruuuruuur484AB + AC15 15D15 p12p4æö÷øwf (x) 2cos wx( > 0)x8已知函数=2-的图象关于直线 =wçè对称，则 的最小值为（）1A31B645CD36二、多选题9为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（） )90,100A他们健身后，体重在区间B他们健身后，体重在区间内的人增加了 2 个100,110)内的人数没有改变8 kgC他们健身后，20 人的平均体重大约减少了110,120)内的肥胖者体重都有减少D他们健身后，原来体重在区间10 4 10 2510若=b =a，则（）a +b = 2B b - a =1ab > 81g 2CD b - a > lg6A21x2( )2+ y = 1x +1 + y =211已知 P 是椭圆 C：上的动点，Q 是圆 D：上的动点，265 则（）AC 的焦距为 5306BC 的离心率为C圆 D 在 C 的内部2 55PQD的最小值为( )p pf x = x + sin x - xcos x-2 ,212已知函数的定义域为，则（）( )f xABCD为奇函数( ) )f xp0,在上单调递增( )f x恰有 4 个极大值点( )f x有且仅有 4 个极值点三、填空题9x+x =_.13当取得最小值时，x 1+y2F F右支上一点， ， 分别为 C 的左、右焦点，且x - =114已知 P 为双曲线 C：2412A A B BA AB B， ， PF，分别为 C 的实轴与虚轴.若线段成等比数列，则121212121PF =_.215现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于 3本的概率是_.ABCD - A B C DCE = 2DEAA，F 为棱 的16在正方体中，E 为棱 CD 上一点，且11111DGDDAHDD=_.交于点 G，与 AC 交于点 H，则_，中点，且平面 BEF 与1HC11132 517在cos A =，cosC =，csinC = sin A+bsin B，B = 60o ，c = 2，551cos A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答 .8V ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a = 3，_，求V ABC已知的 面积 S.四、解答题uuuruuuruuur uuura = AB× ACn18设 nÎ N*，向量 AB = (3n +1,3) BC = (0,3n - 2).，a是否为等差数列？为什么？a（1）试问数列-n 1+n1ì ünSn.（2）求数列 í ý的前 项和aî þn19某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表 . ) ) ) ) ) 购买金额（元）人数101520152010（1）根据以上数据完成 2´ 2 列联表，并判断是否有60 元与性别有关.95%的把握认为购买金额是否少于合计男40女18合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60 元可抽奖 3 次，每次pp中奖概率为 （每次抽奖互不影响，且 的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的频率），中奖 1 次减 5 元，中奖 2 次减 10 元，中奖 3 次减 15 元.若游客甲计划购买 80X元的土特产，请列出实际付款数 （元）的分布列并求其数学期望.()n ad bc-2K=n = a +b +c + d附：参考公式和数据：2，.( )( )( )( )a b c d a c b d+附表：k2.0722.7063.8416.6357.8790 ( )P K k20AP AD/BC AB BC， ，20如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PCD，1AP = AB = BC = AD，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O.2PO （1）证明：平面 ABCD.（2）求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正弦值.p > 0y = 2px221如图，已知点 F 为抛物线 C：（）的焦点，过点 F 的动直线 l 与MN =16抛物线 C 交于 M，N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45°时，.（1）求抛物线 C 的方程.（2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.( ) ( )f x = 2ln x +1 + sin x +1( )g x = ax -1-bln x22已知函数，函数（a,bÎR,ab ¹ 0）.( )g x（1）讨论的单调性；( )f x £ 3x +1.x ³ 0（2）证明：当时，()( )f x < x + 2x + 2 e2sin x .（3）证明：当 x > -1时， 数学试卷参考答案1-8CBAAB BDA 9-12ABD ACD BC BD25169938134；146；15；16； 17选为 ；选为3 3；选4015 7.为16uuur uuur uuur18（1）Q AC = AB + BC = ( 3n +1,3n +1)，a = (3n +1) + 3(3n +1)= (3n +1)(3n + 4) .2nQaa ( 3n 4)(3n 7) ( 3n 1)(3n 4) 6(3n 4)+ + - + + = +- =，n 1+n(aa) (aa-)18= 为常数，-n 2n 1n 1+n+aa是等差数列.n 1+n1 1 11æö÷ø（2）Q，=ç-a 3 3n 1 3n 4+èn1 1 1 1 1111 11næö÷øæöSL =- + - + +-=-=.çç÷3 4 7 7 103n 1 3n 43 4 3n 4 12n 16+nèèø144024719（1）完善列联表，计算 K => 3.841得到答案.21124()()()p = ，分别计算P X = 65 = ，P X = 70 = ，P X = 75 = ，（2）先计算327998()P X = 80 = ，得到分布列，计算得到答案.2720（1）证明：Q AP 平面 PCD，CD Ì平面PCD， AP CD ，1Q AD/BC,BC = AD ，QE 为 AD 的中点，则 BC/DE 且 BC = DE.2四边形为平行四边形，BE/CD，BCDE. AP BE1又Q AB BC,AB = BC = AD ，且 E 为 AD 的中点，四边形 ABCE 为正方形，2BE AC ，又 API AC = A,平面 APC，BE 平面 APC，则 BE PO.QPO ÌPCD,PC Ì 平面 PCD， AP PC ，Q AP 平面AC = 2AB = 2AP DPAC， 为等腰直角三角形，又 QO 为斜边 AC 上的中点，PO AC 且 ACI BE = O,PO 平面 ABCD.（2）解：以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 O-xyz，如图所示B(1,0,0), C(0,1,0), P(0,0,1), D(-2,1,0),不妨设OB =1，则uuuruuruuuurPB = (1,0,-1), PD = (-2,1,-1).则 BC = (-1,1,0),r设平面 PBD 的法向量为，n = (x, y, z)uuvuv0x z 0,- =ìn PB ，×=ìíîuuuv则 v即ín PD 0= ，2x y z 0,- + - =×îx z,ì =即íy 3z,=îr.令 z =1，得n = (1,3,1)设 BC 与平面所成角为 ，qPBDuuur rsinq = cos BC,n1 1 3 1 0 122<> =.则111 3 1+ +1 12-2222( )+21解：（1）当直线 l 的倾斜角为 45°，则l 的斜率为 1，ppæçèö÷øQF,0y = x -.，l 的方程为22pìïy x= -,p22x -3px +得= 0 .由í24ïy 2px,=2î( ) ( )M x , yN x , yx + x = 3p设，则，112212MN = x + x + p = 4 p =16 p = 4，12y = 8x.2抛物线 C 的方程为 ( )( )F 2,0，（2）假设满足条件的点 P 存在，设 P a,0 ，由（1）知( )y = k x - 2当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为（k ¹ 0），( )y k x 2 ,( )ì =-k x - 4k +8 x + 4k = 0由得2222，íy 8x,=2î( )D = 4k +8 - 4×k ×4k = 64k + 64 > 0 ，2 2 2224k 8+2x x = 41 2x x+ =.，k122直线 PM，PN 关于 x 轴对称，( )( )-k x 2k x 2-k + k = 0 kk，=1，=2.x ax a-2-PMPNPMPN18(a 2)+( )( ) ( )( )( )( )k x 2 x a k x 2 x a k 2x x a 2 x x 4a0- + - = é - + + + ù = -=ëûk12211 212( )P -2,0 . a = -2 时，此时当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知 PM，PN 关于 x 轴对称，此时只需 P 与焦点 F 不重合即可.( )P -2,0综上，存在唯一的点，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称.( )ax b-( ) g x( )22（1）解： g x0,+¥¢ =的定义域为，x( )¢ x > 0( ) ( )0,+¥当 a > 0 ，b < 0 时， g，则g x在上单调递增；bb( )¢ x > 0( )g¢ x < 0( )g xxx当 a > 0 ，b > 0时 ，令 g，得 > ，令，得0 < < ，则在aababæçèö÷ø上单调递减，在æ +¥ 上单调递增；ö0,ç÷øaè( )( ) ( )0,+¥，b > 0时， g¢ x < 0，则 g x 在上单调递减；当当æa < 0a < 0bb( )¢ x > 0( )( )g xxg¢ x < 0x，b < 0 时，令g，得0 < < ，令，得 > ，则在aababö÷ø上单调递增，在æ +¥ 上单调递减；ö0,çç÷aèèø 2( ) ( ) ( )（2）证明：设函数 h x = f x - 3x +1 ，则( )h x¢ =cosx 3+- .x 1+2( ，cos xÎ -1,1 ，0,2因为 x ³ 0 ，所以Îx 1+( )h¢ x £ 0( ) )0,+¥则，从而h x在上单调递减，( ) ( ) ( ) ( )( ).所以 h x = f x - 3x +1 £ h 0 = 0 ，即 f x £ 3x +1( )g x = x -1-ln x.（3）证明：当 a = b =1时，( ) ( )( )，所以 g x = x -1- ln x ³ 0 ，g x= g 1 = 0由（1）知，即 x ³1+ ln x.min( )( )1 exx +1 > 0， x +> 0，当x > -1时，22sin( )é( )ùx 1 e则 +1 ln x 1 e2³ +2，sin xsin xëû( ) sin( )x +1 e ³ 2ln x +1 +sin x +1，即2x()sin x( )sin xx + 2x + 2 e > x +1 e ，又22()x + 2x + 2 e > 2ln x +1 +sin x +1所以2sin x( )，()sin x( )2f x < x + 2x + 2 e.即( )( )F 2,0，（2）假设满足条件的点 P 存在，设 P a,0 ，由（1）知( )y = k x - 2当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为（k ¹ 0），( )y k x 2 ,( )ì =-k x - 4k +8 x + 4k = 0由得2222，íy 8x,=2î( )D = 4k +8 - 4×k ×4k = 64k + 64 > 0 ，2 2 2224k 8+2x x = 41 2x x+ =.，k122直线 PM，PN 关于 x 轴对称，( )( )-k x 2k x 2-k + k = 0 kk，=1，=2.x ax a-2-PMPNPMPN18(a 2)+( )( ) ( )( )( )( )k x 2 x a k x 2 x a k 2x x a 2 x x 4a0- + - = é - + + + ù = -=ëûk12211 212( )P -2,0 . a = -2 时，此时当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知 PM，PN 关于 x 轴对称，此时只需 P 与焦点 F 不重合即可.( )P -2,0综上，存在唯一的点，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称.( )ax b-( ) g x( )22（1）解： g x0,+¥¢ =的定义域为，x( )¢ x > 0( ) ( )0,+¥当 a > 0 ，b < 0 时， g，则g x在上单调递增；bb( )¢ x > 0( )g¢ x < 0( )g xxx当 a > 0 ，b > 0时 ，令 g，得 > ，令，得0 < < ，则在aababæçèö÷ø上单调递减，在æ +¥ 上单调递增；ö0,ç÷øaè( )( ) ( )0,+¥，b > 0时， g¢ x < 0，则 g x 在上单调递减；当当æa < 0a < 0bb( )¢ x > 0( )( )g xxg¢ x < 0x，b < 0 时，令g，得0 < < ，令，得 > ，则在aababö÷ø上单调递增，在æ +¥ 上单调递减；ö0,çç÷aèèø 2( ) ( ) ( )（2）证明：设函数 h x = f x - 3x +1 ，则( )h x¢ =cosx 3+- .x 1+2( ，cos xÎ -1,1 ，0,2因为 x ³ 0 ，所以Îx 1+( )h¢ x £ 0( ) )0,+¥则，从而h x在上单调递减，( ) ( ) ( ) ( )( ).所以 h x = f x - 3x +1 £ h 0 = 0 ，即 f x £ 3x +1( )g x = x -1-ln x.（3）证明：当 a = b =1时，( ) ( )( )，所以 g x = x -1- ln x ³ 0 ，g x= g 1 = 0由（1）知，即 x ³1+ ln x.min( )( )1 exx +1 > 0， x +> 0，当x > -1时，22sin( )é( )ùx 1 e则 +1 ln x 1 e2³ +2，sin xsin xëû( ) sin( )x +1 e ³ 2ln x +1 +sin x +1，即2x()sin x( )sin xx + 2x + 2 e > x +1 e ，又22()x + 2x + 2 e > 2ln x +1 +sin x +1所以2sin x( )，()sin x( )2f x < x + 2x + 2 e.即