2022年小学数学奥数基础教程--5.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学校数学奥数基础教程 三年级 -第 05 讲本教程共 30 讲第 5 讲 找规律 一 这一讲我们先介绍什么是“ 数列” ,然后讲如何发觉和查找“ 数列”的规律；按肯定次序排列的一列数就叫数列；例如,1 1 ,2,3,4,5,6,2 1 ,2,4,8,16,32；3 1 ,0,0,1,0,0,1,4 1 ,1,2,3,5,8,13；一个数列中从左至右的第 n 个数,称为这个数列的第 n 项；如,数列 1 的第 3 项是 3,数列 2 的第 3 项是 4；一般地,我们将数列的第 n 项 记作 an；数列中的数可以是有限多个, 如数列 24 数列 13 ；,也可以是无限多个, 如很多数列中的数是按肯定规律排列的,我们这一讲就是讲如何发觉这些规律；数列 1 是根据自然数从小到大的次序排列的,也叫做自然数数列,其规律是：后项 =前项 +1,或第 n 项 ann；数列 2 的规律是：后项 =前项× 2,或第 n 项数列 3 的规律是：“1,0,0” 周而复始地显现；数列 4 的规律是：从第三项起,每项等于它前面两项的和,即 a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+35,a6=3+5=8,a7=5+8=13；常见的较简洁的数列规律有这样几类：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一类是数列各项只与它的项数有关,数列 12 ；或只与它的前一项有关； 例如其次类是前后几项为一组, 以组为单元找关系才可找到规律；例如数列34 ；第三类是数列本身要与其他数列对比才能发觉其规律；这类情形稍为复杂些,我们用后面的例3、例 4 来作一些说明；例 1 找出以下各数列的规律,并按其规律在 内填上合适的数：1 4,7,10,13, ,2 84,72,60, , ；3 2,6,18, , ,4 625,125,25, , ；5 1,4,9,16, ,6 2,6,12,20, , ,解： 通过对已知的几个数的前后两项的观看、分析,可发觉1 的规律是：前项 +3=后项；所以应填 16；2 的规律是：前项 -12=后项；所以应填 48,36；3 的规律是：前项×4 的规律是：前项÷3=后项；所以应填 54,162；5=后项；所以应填 5,1；5 的规律是：数列各项依次为 1=1× 1, 4=2 × 2, 9=3 × 3, 16=4× 4,所以应填 5× 5=25；6 的规律是：数列各项依次为 2=1× 2,6=2× 3,12=3× 4,20=4× 5,所以,应填 5 × 6=30, 6 × 7=42；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载因此 an 可以用 n说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关,来表示；各数列的第n 项分别可以表示为1 an3n+1；2 an96-12n；3 an2× 3 n-1；4 an5 5-n；5 ann 2；6 annn+1 ；这样表示的好处在于, 假如求第 100 项等于几,那么不用一项一项地运算,直接就可以算出来,比如数列 1 的第 100 项等于 3× 100+1=301；本例中,数列 24 只有 5 项,当然没有必要运算大于 5 的项数了；例 2 找出以下各数列的规律,并按其规律在 1 1,2,2,3,3,4, , ；2 , ,10,5,12,6,14,7；3 3 ,7,10,17,27, ；4 1 ,2,2,4,8,32, ； 内填上合适的数：解： 通过对各数列已知的几个数的观看分析可得其规律；1 把数列每两项分为一组,1,2,2,3,3,4,不难发觉其规律是：前一组每个数加 1 得到后一组数,所以应填 4,5；2 把后面已知的六个数分成三组：10,5,12,6,14,7,每组中两数的商都是 2,且由 5,6,7 的次序知,应填 8,4；3 这个数列的规律是： 前面两项的和等于后面一项, 故应填 17+27=44；4 这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项,故应填 8 ×32=256；例 3 找出以下各数列的规律,并按其规律在 1 18,20,24,30, ；2 11,12,14,18,26, ；3 2,5,11,23,47, , ； 内填上合适的数：解：1 因 20-18=2,24-20=4,30-24=6,说明 后项 - 前项 组成一新数列 2,4,6, 其规律是 “ 依次加 2” ,由于 6 后面是 8,所以,a5-a4=a5-30=8,故名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载a5=8+30=38；2 12-11=1,14-12=2, 18-14=4 , 26-18=8 ,组成一新数列 1,2,4,8,按此规律, 8 后面为 16；因此, a6-a 5a6-26=16,故 a616+26=42；3 观看数列前、后项的关系,后项 a6=2a5+12× 47+195,a72a6+12× 95+1=191；=前项× 2+1,所以例 4 找出以下各数列的规律,并按其规律在 内填上合适的数：1 12,15,17,30, 22 ,45, , ；2 2 ,8,5,6,8,4, , ；解：1 数列的第 1,3,5, 项组成一个新数列12,17, 22 , 其规律是“ 依次加 5” ,22 后面的项就是 27；数列的第 2,4,6, 项组成一个 新数列 15,30,45, 其规律是“ 依次加 15” ,45 后面的项就是 60；故应填 27,60；2 如1 分析,由奇数项组成的新数列2,5,8, 中, 8 后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8,6,4,中,4 后面的数应为 2；故应填11,2；练习 5 按其规律在以下各数列的 内填数；1.56 ,49,42,35, ；2.11 , 15 , 19 , 23 , ,3.3 ,6,12,24, ；4.2 ,3,5,9,17, ,5.1 ,3,4,7,11, ；6.1 ,3,7,13,21, ；7.3 ,5,3,10,3,15, , ；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载8.8 ,3,9,4,10,5, , ；9.2 ,5,10,17,26, ；10.15 ,21,18,19,21,17, , ；11. 数列 1,3,5,7,11,13,15,17；1 假如其中缺少一个数,那么这个数是几？应补在何处？2 假如其中多了一个数,那么这个数是几？为什么？答案与提示 练习 5 1.28 ；2.27 ；3.48 ；4.33 ；提示：“ 后项 - 前项” 依次为 1,2, 4 ,8,16,5.18 ；提示：后项等于前两项之和；6.31 ；提示：“ 后项 - 前项” 依次为 2,4,6,8,10；7.3 ,20；8.11 ,6；9.37 ； 提示： an=n 2+1；10. 24 ,15；提示：奇数项为 17,15；15,18,21,24；偶数项为 21,19,11. 1 缺 9,在 7 与 11 之间；2 多 15,由于除 15 以外都不是合数；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
