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四章常用概率分布 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望本章主要内容：本章主要内容：1、概率基本知识、概率基本知识2、小概率事件实际不可能原理、小概率事件实际不可能原理3、正态分布、正态分布 4、二项分布、二项分布5、平均数的抽样分布、平均数的抽样分布6、t分布分布下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第一节第一节 事件与概率事件与概率一、事一、事 件件 （一）必然现象与随机现象（一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人们会在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：上分为两大类：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然不发生）。这类现象称为生（或必然不发生）。这类现象称为必然现象必然现象或或确确定性现象定性现象。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为象，称为随机现象随机现象或或不确定性现象不确定性现象。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 随机现象的特点：随机现象的特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；性；但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性结果却呈现出某种固有的特定的规律性频率的频率的稳定性稳定性，通常称之为随机现象的统计规律性。，通常称之为随机现象的统计规律性。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （二）随机试验与随机事件（二）随机试验与随机事件 1、随机试验、随机试验 根据某一研究目的，在一定条件根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验（trial）。）。一个试验如果满足下述三个特性，一个试验如果满足下述三个特性，则则 称称 其其 为一为一个个 随机试验，简称试验：随机试验，简称试验：下一张 主 页 退 出 上一张 （1）试验可以在相同条件下多次重复进行；）试验可以在相同条件下多次重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个，并且事先，并且事先知道会有哪些可能的结果；知道会有哪些可能的结果；（3）每次）每次 试验总是恰好出现这些可能结果中的试验总是恰好出现这些可能结果中的一个一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。现哪一个结果。例如在一定孵化条件下，孵化例如在一定孵化条件下，孵化6 6枚种蛋，观察其枚种蛋，观察其出雏情况；又如观察两头临产妊娠母牛所产犊牛的出雏情况；又如观察两头临产妊娠母牛所产犊牛的性别情况，它们都具有随机试验的三个特征，因此性别情况，它们都具有随机试验的三个特征，因此都是随机试验。都是随机试验。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 2、随机事件、随机事件 随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可能随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可能 发生，也可能不发生，称为随机事件，简称事件，通发生，也可能不发生，称为随机事件，简称事件，通常用常用A、B、C等来表示。等来表示。（1）基本事件）基本事件 不能再分的事件称为基本事件，也称为样本点。不能再分的事件称为基本事件，也称为样本点。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 例如，在编号为例如，在编号为1、2、3、10 的十头猪中随机抽的十头猪中随机抽取取1头，有头，有10种不同的可能结果：种不同的可能结果：“取得一个编号是取得一个编号是1”、“取得一个编号是取得一个编号是2”、“取取得一个编号是得一个编号是10”，这，这10个事件都是不可能再分的事件，它个事件都是不可能再分的事件，它们都是基本事件。们都是基本事件。由若干个基本事件组合而成的事件称为由若干个基本事件组合而成的事件称为 复合事件复合事件。如。如 “取得一个编号是取得一个编号是 2的倍数的倍数”是一个复合事件，它由是一个复合事件，它由 “取取得一个编号是得一个编号是2”、“是是4”、“是是6、“是是8”、“是是10”5个基本事件组合而成。个基本事件组合而成。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （2）必然事件）必然事件 在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件，在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件，用用表示。表示。例如，在严格按妊娠期母猪饲养管理的要求饲例如，在严格按妊娠期母猪饲养管理的要求饲养的条件下，妊娠正常的母猪经养的条件下，妊娠正常的母猪经114天左右产仔，天左右产仔，就是一个必然事件。就是一个必然事件。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （3）不可能事件）不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件，用件，用表示。表示。例如，在满足一定孵化条件下，从石头孵化出例如，在满足一定孵化条件下，从石头孵化出雏鸡，就是一个不可能事件。雏鸡，就是一个不可能事件。必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即它们不是随机事件，即它们不是随机事件，但但 是是 为了方便起见，我们为了方便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。把它们看作为两个特殊的随机事件。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 二、概率二、概率 （一）概率的统计定义（一）概率的统计定义 研究随机试验，一个能够刻划事件发生可能性大小的数量研究随机试验，一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意指标，这指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变，称之为概率。事件志而改变，称之为概率。事件A的概率记为的概率记为P（A）。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 概率的统计定义：概率的统计定义：在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件次重复试验，如果随机事件A发生的发生的次数为次数为m，那么，那么m/n称为随机事件称为随机事件A的频率；当试验重复数的频率；当试验重复数n逐渐增大时，随机事件逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值的频率越来越稳定地接近某一数值 p，那么就把那么就把 p称为随机事件称为随机事件A的概率。的概率。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 这样定义的概率称为统计概率，或者称后验概率。这样定义的概率称为统计概率，或者称后验概率。例如例如 为了确定抛掷一枚硬币发生正面朝上这个为了确定抛掷一枚硬币发生正面朝上这个事件的概率，历史上有人作过成千上万次抛掷硬币事件的概率，历史上有人作过成千上万次抛掷硬币的试验。的试验。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 在一般情况下，随机事件的概率在一般情况下，随机事件的概率p是不可能准确得是不可能准确得到的。通常以试验次数到的。通常以试验次数n充分大时随机事件充分大时随机事件A的频率的频率作为该随机事件概率的近似值。作为该随机事件概率的近似值。即即 P（A）=pm/n （n充分大）充分大）（4-1）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （二）概率的古典定义（二）概率的古典定义 有很多随机试验具有以下特征：有很多随机试验具有以下特征：1、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；间中的基本事件只有有限个；2、各、各 个个 试验的可能结果出现的可能性相等，试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；即所有基本事件的发生是等可能的；3、试验的所有可能结果两两互不相容。、试验的所有可能结果两两互不相容。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 具有上述特征的随机试验，称为古典概型。对于具有上述特征的随机试验，称为古典概型。对于古典概型，概率的定义如下：古典概型，概率的定义如下：设样本空间由设样本空间由 n 个等可能的基本事件所构成，其个等可能的基本事件所构成，其中事件中事件A包含有包含有m个基本事件，则事件个基本事件，则事件A的概率为的概率为m/n，即，即 P（A）=m/n (4-2)这样定义的概率称为古典概率或先验概率。这样定义的概率称为古典概率或先验概率。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 【例【例4.1】在编号为】在编号为1、2、3、10的十个球中随的十个球中随机抽取机抽取1个，求下列随机事件的概率。个，求下列随机事件的概率。（1）A=“抽得一个编号抽得一个编号4”；（2）B=“抽得一个编号是抽得一个编号是2的倍数的倍数”。因为该试验样本空间由因为该试验样本空间由10个等可能的基本事件构个等可能的基本事件构成，即成，即n=10,而事件而事件A所包含的基本事件有所包含的基本事件有4个，即抽个，即抽得编号为得编号为1，2，3，4中的任何一个，事件中的任何一个，事件A便发生，便发生，于是于是mA=4，所以，所以 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 P(A)=mA/n=4/10=0.4 同理，事件B所包含的基本事件数mB=5，即抽得编号为2，4，6，8，10中的任何一个，事件B便发生，故 P(B)=mB/n=5/10=0.5。【例4.2】在N头奶牛中，有M头曾有流产史，从这群奶牛中任意抽出n头奶牛，试求:(1)其中恰有m头有流产史奶牛的概率是多少？(2)若N=30，M=8，n=10，m=2，其概率是多少？下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 把从有把从有M头奶牛曾有流产史的头奶牛曾有流产史的N头奶牛中任意抽出头奶牛中任意抽出n头奶牛，其中恰有头奶牛，其中恰有m头有流产史这一事件头有流产史这一事件 记为记为A，因为因为 从从 N 头头 奶奶 牛牛 中中 任任 意意 抽抽 出出 n 头奶牛的基本事件头奶牛的基本事件总数为总数为 ；事件事件A所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为 ；因此所求事件因此所求事件A的概率为：的概率为：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 将将N=30，M=8，n=10，m=2代入上式，得代入上式，得 =0.0695 即在即在30头奶牛中有头奶牛中有8头曾有流产史，从这群奶牛头曾有流产史，从这群奶牛随机抽出随机抽出 10 头奶牛其中有头奶牛其中有2头曾有流产史的概率为头曾有流产史的概率为6.95%。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张（三）概率的性质（三）概率的性质 1、对于任何事件、对于任何事件A，有，有0P（A）1；2、必然事件的概率为、必然事件的概率为1，即，即P（）=1；3、不可能事件的概率为、不可能事件的概率为0，即，即P（）=0。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 三、小概率事件实际不可能性原理三、小概率事件实际不可能性原理 随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于随机事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之为小概率事件。，称之为小概率事件。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原理。性原理，亦称为小概率原理。第二节第二节 概率分布概率分布下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 一、随机变量一、随机变量 作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量果都可用一个数来表示，把这些数作为变量x的取值的取值范围，则试验结果可用变量范围，则试验结果可用变量x来表示。来表示。【例【例4.3】对对100头病畜用某种药物进行治疗，其头病畜用某种药物进行治疗，其可能结果是可能结果是“0头治愈头治愈”、“1头治愈头治愈”、“2头治愈头治愈”、“”、“100头治愈头治愈”。若用。若用x表示治愈头数，表示治愈头数，则则x的取值为的取值为0、1、2、100。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 【例【例4.4】孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“孵出小鸡孵出小鸡”与与“未孵出小鸡未孵出小鸡”。若用变量若用变量x表示试验表示试验的两种结果，则可令的两种结果，则可令x=0表示表示“未孵出小鸡未孵出小鸡”，x=1表示表示“孵出小鸡孵出小鸡”。【例【例4.5】测定某品种猪初生重测定某品种猪初生重，表示测定，表示测定 结结 果果 的的 变变 量量 x 所所 取的值为一个特定范围取的值为一个特定范围(a,b)，如，如0.51.5kg，x值可以是这个范围内的任何实数值可以是这个范围内的任何实数。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 如果变量如果变量x其可能取值至多为可列个，且以各种确定的其可能取值至多为可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值概率取这些不同的值，则，则 称称 x 为离散型随机变量；为离散型随机变量；如果变量如果变量x 其可能取值为某范围内的任何数值其可能取值为某范围内的任何数值，且，且x在在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称称x为连续型随为连续型随 机变量。机变量。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布 如果将离散型随机变量如果将离散型随机变量x的一切可能取值的一切可能取值xi (i=1,2,)，及其对应的概率，及其对应的概率pi，记作，记作 P(x=xi)=pi i=1,2,(4-3)则称则称（4-3）式为离散型随机变量）式为离散型随机变量x的概率分布或的概率分布或分布。常用分布列来表示离散型随机变量：分布。常用分布列来表示离散型随机变量：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 x1 x2 xn .p1 p2 pn 显然离散型随机变量的概率分布具有显然离散型随机变量的概率分布具有pi0和和pi=1这两个基这两个基本性质。本性质。三、连续型随机变量的概率分布三、连续型随机变量的概率分布 对于连续型随机变量，用随机变量对于连续型随机变量，用随机变量x在某个区间内在某个区间内取值的概率取值的概率P(axb)来表示。下面通过频率分布密度来表示。下面通过频率分布密度曲线予以说明。曲线予以说明。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 由表由表2-7作作126头基础母羊体重资料的频率分布直头基础母羊体重资料的频率分布直方图方图，见图，见图4-1，图中纵座标取频率与组距的比值，图中纵座标取频率与组距的比值。可以设想可以设想，如果样本取得越来越大，如果样本取得越来越大(n+)，组分得，组分得越来越细越来越细(i0)，某一范围内的频率将趋近于一个稳，某一范围内的频率将趋近于一个稳定值定值 概率。这时概率。这时，频率分布直方图各个直方上端频率分布直方图各个直方上端中点的联线中点的联线 频率分布折线将逐渐趋向于一条曲线，频率分布折线将逐渐趋向于一条曲线，换句话说，当换句话说，当n+、i0时，频率分布折线时，频率分布折线的极限是的极限是一条稳定的函数曲线。一条稳定的函数曲线。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 对于样本是取自连续型随机变量的情况，这条函对于样本是取自连续型随机变量的情况，这条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和测量的数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和测量的误差，完全反映了基础母羊体重的变动规律。误差，完全反映了基础母羊体重的变动规律。这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概率分布密度函数率分布密度函数 。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 (4-4)式式 为为 连连 续续 型型 随机变量随机变量 x 在在 区间区间a,b）上取值概率的表达式。可见，连续型随机变量的概上取值概率的表达式。可见，连续型随机变量的概率由概率分布密度函数确定。率由概率分布密度函数确定。表表2-72-7资料的分布曲资料的分布曲线：线：若记体若记体若记体若记体 重概率分布密度函数为重概率分布密度函数为重概率分布密度函数为重概率分布密度函数为f(x)f(x)，则，则，则，则x x取值于区间取值于区间取值于区间取值于区间 a,ba,b）的概率为图中阴影部分的面积，即）的概率为图中阴影部分的面积，即）的概率为图中阴影部分的面积，即）的概率为图中阴影部分的面积，即 P(axb)P(axb)=(4-4)=(4-4)图4-1 表2-7资料的分布曲线 连续型随机变量概率分布的性质：连续型随机变量概率分布的性质：1、分布密度函数总是大于或等于、分布密度函数总是大于或等于0，即，即f(x)0；2、当随机变量、当随机变量x取某一特定值时，其概率等于取某一特定值时，其概率等于0；即即 (c为任意实数为任意实数)因而，对于连续型随机变量，仅研究其在某一个区因而，对于连续型随机变量，仅研究其在某一个区间内取值的概率，而不去讨论取某一个值的概率。间内取值的概率，而不去讨论取某一个值的概率。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 3、在在 一次试验中一次试验中 随机变量随机变量x之取值之取值 必在必在-x+范围内，为一必然事件。所以范围内，为一必然事件。所以 (4-5)(4-5)式表示分布密度曲线下、横轴上的全式表示分布密度曲线下、横轴上的全 部面积为部面积为1。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第三节第三节 正态分布正态分布下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 一、正态分布的定义及其特征一、正态分布的定义及其特征 （一）（一）正态分布的定义正态分布的定义 若连续型随机变量若连续型随机变量x的概的概率分布密度函数为率分布密度函数为 (4-6)其中其中为平均数，为平均数，2为方差，则称随机变量为方差，则称随机变量x服从正态服从正态分布，分布，记为记为xN(,2)。相应的概率分布函数为。相应的概率分布函数为 (4-7)下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 图4-2 正态分布密度曲线下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 (二二)正态分布的特征正态分布的特征 1、正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲、正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为线，对称轴为x=；2、f(x)在在 x=处达处达 到到 极极 大大，极大值极大值 ；3、f(x)是非负函数，以是非负函数，以x轴为渐近线，分布从轴为渐近线，分布从-至至+；下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 4、曲线在、曲线在x=处各有一个拐点，即曲线在处各有一个拐点，即曲线在(-,-)和和(+,+)区间上是下凸的，在区间上是下凸的，在-,+区间内是上凸的；区间内是上凸的；5、正态分布有两个参数，即平均数、正态分布有两个参数，即平均数和标准差和标准差。6、分布密度曲线与横轴所夹的面积为、分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即：，即：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 二、标准正态分布二、标准正态分布 由上述正态分布的特征可知，正态分布是依由上述正态分布的特征可知，正态分布是依赖于参数赖于参数和和2 (或或)的一簇的一簇 分布，分布，正态曲线之正态曲线之位置及形态随位置及形态随和和2的不同而不同的不同而不同。这就给研这就给研究具体的正态总体带来困难，需将一般的究具体的正态总体带来困难，需将一般的N(，2)转转 换为换为=0,2=1的正态分布。的正态分布。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 我们称我们称=0,2=1的正态分布为标准正态分布。的正态分布为标准正态分布。标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作作(u)和和(u)，由，由(4-6)及及(4-7)式得：式得：(4-8)(4-9)随机变量随机变量u服从标准正态分布，记作服从标准正态分布，记作uN(0，1)，分布密度曲线如，分布密度曲线如图图45所示。所示。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 图4-5 标准正态分布密度曲线下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 对于任何一个服从正态分布对于任何一个服从正态分布N(,2)的随机变量的随机变量x，都可以通过标准化变换：，都可以通过标准化变换：u=(x-)(4-10)将将 其变换为服从标准正态分布的随机变量其变换为服从标准正态分布的随机变量u。u 称称 为为 标标 准准 正正 态变量或标准正态离差。态变量或标准正态离差。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 三、正态分布的概率计算三、正态分布的概率计算 （一）标准正态分布的概率计算（一）标准正态分布的概率计算 设设u服从标准正态分布，则服从标准正态分布，则 u 在在u1,u2）何内取）何内取值的概率为：值的概率为：(u2)(u1)(4-11)而而(u1)与与(u2)可由附表可由附表1查得。查得。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （二）一般正态分布的概率计算（二）一般正态分布的概率计算 若随机变量若随机变量 x服从正态分布服从正态分布N(,2)，则，则x的取值落的取值落在任意区间在任意区间 x1,x2）的概率的概率，记作，记作P(x1 x x2)，等于：等于：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 因此，计算一般正态分布的概率时，因此，计算一般正态分布的概率时，只要将区间的上下限只要将区间的上下限作适当变换作适当变换(标准化标准化)，就可用查标准正态分布的概率表的方法就可用查标准正态分布的概率表的方法求得概率了。求得概率了。关于一般正态分布，以下几个概率关于一般正态分布，以下几个概率关于一般正态分布，以下几个概率关于一般正态分布，以下几个概率(即随机变量即随机变量即随机变量即随机变量x x落在落在落在落在 加减不同倍数加减不同倍数加减不同倍数加减不同倍数 区间的概率区间的概率区间的概率区间的概率)是经常用到的。是经常用到的。是经常用到的。是经常用到的。P P(-(-x x+)=0.6826+)=0.6826 P P(-2(-2x x+2)=0.9545+2)=0.9545 P P(-3(-3x x+3)=0.9973+3)=0.9973 P P(-1.96(-1.96x x+1.96)=0.95+1.96)=0.95 P P(-2.58(-2.58x x+2.58)=0.99+2.58)=0.99下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 生物统计中，不仅注意随机变量生物统计中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不同倍落在平均数加减不同倍数标准差区间数标准差区间(-k,+k)之内的概率而且之内的概率而且 也很也很 关心关心 x落在落在此区间之外的概率。此区间之外的概率。我们把随机变量我们把随机变量x落在平均数落在平均数加减不同倍数标准差加减不同倍数标准差区间区间之外的概率称为之外的概率称为双侧概率双侧概率(两尾概率两尾概率)，记作，记作。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 例如，例如，x落在落在(-1.96,+1.96)之外的双侧概率之外的双侧概率为为0.05，而单侧概率为，而单侧概率为0.025。即。即 P(x-1.96=P(x+1.96)=0.025 双侧概率或单侧概率如双侧概率或单侧概率如图图4-8所示。所示。x落在落在(-2.58,+2.58)之外的双侧概率为之外的双侧概率为0.01，而单侧概率，而单侧概率 P(x-2.58)=P(x+2.58)=0.005 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 图4-8 双侧概率与单侧概率下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第四节第四节 二项分布二项分布 一一、贝努利试验及其概率公式、贝努利试验及其概率公式 将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果互次，若各次试验结果互不影响，则称这不影响，则称这n次试验是独立的。次试验是独立的。对于对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件只出现对立事件A与与 之一，之一，在每次试验中出现在每次试验中出现A的概率是常数的概率是常数p(0p1)，(df2）(4-27)t分布密度曲线如图4-13 所示，其特点是：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 1、t分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条t分布密分布密度曲线。度曲线。2、t分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在t0时，分布密度函数取得最大值。时，分布密度函数取得最大值。3、与标准正态分布曲线相比，、与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低，两尾分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。部稍高而平。df越小这种趋势越明显。越小这种趋势越明显。df越大，越大，t分布越趋近分布越趋近于标准正态分布。当于标准正态分布。当n 30时，时，t分布与标准正态分布的区别分布与标准正态分布的区别很小；很小；n 100时，时，t分布基本与标准正态分布相同；分布基本与标准正态分布相同；n时，时，t 分布与标准正态分布完全一致。分布与标准正态分布完全一致。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 t分布的概率分布函数为：分布的概率分布函数为：(4-28)因而因而t在区间（在区间（t1，+）取值的概率）取值的概率右尾概率右尾概率为为1-F t(df)。由于。由于t分布左右对称，分布左右对称，t在区间（在区间（-，-t1）取值的概率也为取值的概率也为1-F t df)。于是于是 t 分布分布 曲线曲线 下由下由-到到-t 1和由和由t 1到到+两两 个个 相相 等等 的的 概概 率率 之和之和两尾概率为两尾概率为2(1-F t(df)。对于。对于不同自由度下不同自由度下t分布的两尾概率及其对应的临界分布的两尾概率及其对应的临界t值已值已编制成附表编制成附表3，即，即t分布表。分布表。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 例如，当例如，当df=15时，查附表时，查附表3得两尾概率等于得两尾概率等于0.05的临界的临界t值值为为=2.131，其意义是：，其意义是：P(-t-2.131)=P(2.131t+)=0.025；P(-t-2.131)+(2.131t+)=0.05。由附表由附表3可知，当可知，当df一定时，概率一定时，概率P越大，临界越大，临界t值越小；概值越小；概率率P越小，临界越小，临界t值越大值越大。当当 概概 率率 P 一定时，随着一定时，随着df的增加，的增加，临界临界t值在减小，当值在减小，当df=时，临界时，临界t值与标准正态分布的临界值与标准正态分布的临界u值相等。值相等。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张