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微分方程习题课二微分方程习题课二一、可降阶的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 1高阶微分方程的定义高阶微分方程的定义2可降阶的高阶微分方程类型可降阶的高阶微分方程类型(1)(2)(3)3可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如下图所示出通解。解题方法流程图如下图所示。二、二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程1定义定义(1)二阶常系数线性齐次微分方程：二阶常系数线性齐次微分方程：(2)二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程:2解的结构性质解的结构性质(1)若若和和是齐次方程的解是齐次方程的解,则则是齐次方程的解。是齐次方程的解。(2)若若和和是齐次方程的线性无关解是齐次方程的线性无关解,则则是齐次是齐次方程的通解。方程的通解。(3)若若是齐次方程的通解，是齐次方程的通解，是非齐次方程的特解，是非齐次方程的特解，则则是非齐次方程的通解。是非齐次方程的通解。都是微分方程的解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,常数常数所求通解为所求通解为解解4、典型例题、典型例题【例【例5】已知】已知 是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解及方程的表达式。及方程的表达式。分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。解：因为解：因为是对应齐次方程是对应齐次方程的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根，特征方程为，特征方程为对应齐次方程为：对应齐次方程为：对应齐次方程通解为：对应齐次方程通解为：又因为又因为是非齐次微分方程的特解，将其代入是非齐次微分方程的特解，将其代入有有所求的方程为：所求的方程为：通解为：通解为：解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例6 6解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例7 7解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例8 8练练 习习 题题练习题答案练习题答案结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！18