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弹塑性力学第十一章弹塑性力学第十一章11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型1.11.1单向拉压实验：单向拉压实验：不同材料在单向拉压实验中，有不同的不同材料在单向拉压实验中，有不同的应力应变曲线。应力应变曲线。BAC so p e e pBAC so p esO 软钢软钢 -合金钢合金钢 -11/9/202211/9/20222 211-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型1.2 1.2 常见的几种简化力学模型常见的几种简化力学模型 1.理想弹塑性模型：理想弹塑性模型：加载时：加载时：=E s =s s so s理想弹塑性模型理想弹塑性模型11/9/202211/9/20229 911-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型2.2.线性强化弹塑性模型：线性强化弹塑性模型：加载时：加载时：=E s =E s+Et(-s)s so sEEt线性强化弹塑性模型线性强化弹塑性模型11/9/202211/9/2022101011-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型在在实实际际问问题题中中，有有时时当当弹弹性性应应变变 e p 塑塑性性应变，可忽略弹性变形。应变，可忽略弹性变形。上述两种模型分别简化为：上述两种模型分别简化为：s 时时,=0 so =s soEt s+Et 理想刚塑性模型理想刚塑性模型 线性强化刚塑性模型线性强化刚塑性模型11/9/202211/9/2022111111-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型1.3金属材料在静水压力实验：金属材料在静水压力实验：前前人人（Bridgman）对对大大量量金金属属进进行行水水压压力力实实验验及拉压和静水压力联合实验，得到下列结果：及拉压和静水压力联合实验，得到下列结果：1.在在静静水水压压力力(高高压压)p 作作用用下下,金金 属属 体体 积积 应应 变变e=V/V=p/k成成正正比比，当当p达达到到或或超超过过金金属属材材料料的的 s时时，e与与p 仍仍成成正正比比；并并且且除除去去压压力力后后，体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。11/9/202211/9/2022121211-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型2.金金属属受受静静水水压压力力和和拉拉压压联联合合作作用用与与金金属属单单独独受受拉拉压压作作用用比比较较，发发现现静静水水压压力力对对初初始始屈屈服应力服应力 s没有影响。没有影响。结论：静水压力与塑性变形无关。结论：静水压力与塑性变形无关。11/9/202211/9/2022131311-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析1.1.拉压杆的弹塑性问题拉压杆的弹塑性问题图示为两端固定的等图示为两端固定的等截面杆截面杆(超静定杆超静定杆)，aPN2EAxN1b设材料为理想弹塑性材料设材料为理想弹塑性材料，在在x=a 处（处（b a）作用一）作用一逐渐增大的力逐渐增大的力P。平衡条件平衡条件:N1+N2=P变形协调条件变形协调条件：a+b=0 so s理想弹塑性模型理想弹塑性模型11/9/202211/9/2022141411-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析（1 1）弹性解：）弹性解：当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为代入变形协调方程为代入变形协调方程为或或由于由于b a，所以，所以 N1 N2，将，将 代入平衡方程。代入平衡方程。11/9/202211/9/2022151511-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析 得得 最大弹性荷载最大弹性荷载 力力P 作用点的伸长为作用点的伸长为 11/9/202211/9/2022161611-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析(2)(2)弹塑性解弹塑性解P Pp p P P P Pe e:P=Pe 后后，P 可可继继续续增增大大，而而 N1=sA 不不增增加加（a段进入塑性屈服，但段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）段仍处于弹性）N2=P-N1=P-sA 力力 P P 作用点的伸长取决于作用点的伸长取决于b b 段杆的变形段杆的变形11/9/202211/9/2022171711-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析11/9/202211/9/2022181811-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析(3)(3)塑性解：塑性解：PPpPee N1=sA,N2=sA 这时杆件变形显著增加，丧失承载能力这时杆件变形显著增加，丧失承载能力则最大荷载则最大荷载 Pp=2 sA 极限荷载极限荷载11/9/202211/9/2022191911-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析作业：图示桁架各杆截面面积为作业：图示桁架各杆截面面积为 A,A,材料为理材料为理想弹塑性想弹塑性,求求荷载荷载 P 与与 C 点竖向位移点竖向位移 关系。关系。PABCDl11/9/202211/9/2022202011-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析-ss(1)(1)材料为理想弹塑性材料为理想弹塑性;xMM y2.2.梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲 2.12.1假设假设:(2)(2)平截面假设平截面假设(适用适用于于l h);(3)(3)截面上正应力截面上正应力 x 对变形影对变形影 响为主要的响为主要的;11/9/202211/9/2022212111-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析2.22.2梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲:(1)(1)梁的弯矩梁的弯矩z ybh在线弹性阶段在线弹性阶段弹性极限状态（设矩形截面）弹性极限状态（设矩形截面）:M=Me在截面上在截面上y=h/2处，处，或或 最大弹性弯矩最大弹性弯矩xMM y11/9/202211/9/2022222211-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析h/2-+ssss-+y0y0y弹塑性阶段：弹塑性阶段：Mp M Me弯矩继续增大，截面上塑性区域向中间扩展，弯矩继续增大，截面上塑性区域向中间扩展，塑性区域内的应力保持不变，截面上弯矩为塑性区域内的应力保持不变，截面上弯矩为11/9/202211/9/2022232311-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析当当y0=h/2时：时：h/2-+ssss-+y0y0y最大弹性弯矩最大弹性弯矩11/9/202211/9/2022242411-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析当当y0=0时：时：h/2-+ssss-+y0y0y-ss+极限弯矩极限弯矩11/9/202211/9/2022252511-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析令令 =Mp/Me=1.5（矩形截面）（矩形截面）截面形状系数截面形状系数。1.51.71.15-1.17截面形状截面形状11/9/202211/9/2022262611-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析 截截面面弯弯矩矩达达到到极极限限弯弯矩矩时时，其其附附近近无无限限靠靠近近的的相相邻邻两两截截面面可可发发生生有有限限相相对对转转角角，该该截截面面称为塑性铰称为塑性铰。对对于于静静定定梁梁，截截面面弯弯矩矩达达到到极极限限弯弯矩矩时时，结结构构变变成成机机构构，承承载载力力已已无无法法增增加加。这这种种状状态态称为极限状态。称为极限状态。11/9/202211/9/2022272711-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析（2）梁弹塑性弯曲时的变形）梁弹塑性弯曲时的变形在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系M=EI (M Me),或或 将应力与弯矩关系式将应力与弯矩关系式 代入上式代入上式,可得可得11/9/202211/9/2022282811-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析在在弹弹塑塑性性阶阶段段，由由于于梁梁弯弯曲曲时截面仍然保持平面，可得时截面仍然保持平面，可得或或代入梁弹塑性弯曲时代入梁弹塑性弯曲时M的表达式的表达式 得得ss-+y0y0y11/9/202211/9/2022292911-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析 (M Me)MMpMeeo(3)梁弹塑性弯曲时的卸载：梁弹塑性弯曲时的卸载：卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯矩矩M=0,但截面内的应力不为零，有残余但截面内的应力不为零，有残余应力存在。以矩形截面为例：应力存在。以矩形截面为例：11/9/202211/9/2022303011-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析s+-+-s+=-+11/9/202211/9/2022313111-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析2.3 2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:xMM yz ybh具具有有一一个个对对称称轴轴截截面面梁梁的的弹弹塑塑性性弯弯曲曲特特点点：随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。中性轴的位置的确定：中性轴的位置的确定：11/9/202211/9/2022323211-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析z ybh在弹性阶段：应力为直线分布，中性轴通过在弹性阶段：应力为直线分布，中性轴通过 截面的形心。截面的形心。最大弹性弯矩最大弹性弯矩 Me=s W-+s11/9/202211/9/2022333311-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析z ybh-+ss+-F1F2在弹塑性阶段：中性轴的位置由截面上合力在弹塑性阶段：中性轴的位置由截面上合力 为零来确定为零来确定:F1=F211/9/202211/9/2022343411-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析-+ss-+ss+-F1F2z ybh在在塑塑性性流流动动阶阶段段：受受拉拉区区应应力力和和受受压压区区应应力力均均为为常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定:F1=F2 或或 s A1=s A2 得得 A1=A2 中性轴的位置由受拉区截面面中性轴的位置由受拉区截面面 积等于受压区截面面积确定。积等于受压区截面面积确定。11/9/202211/9/2022353511-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析极限弯矩极限弯矩 Mp=s(S1+S2)S1 和和S2 分别为面积分别为面积A1和和A2对等面积轴的静矩。对等面积轴的静矩。作业：已知理想弹塑性材料的屈服极限为作业：已知理想弹塑性材料的屈服极限为 s,试求试求(1)(1)图示梁截面的图示梁截面的极限极限弯矩弯矩 Mp,（2 2）当）当M/Me=1.2 =1.2 时，时，y0 的值为多少的值为多少?aazya)aazyb)11/9/202211/9/2022363611-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析 超超静静定定梁梁由由于于具具有有多多余余约约束束，因因此此必必须须有有足够多的塑性铰出现，才能使其变为机构。足够多的塑性铰出现，才能使其变为机构。下面举例说明这个过程。下面举例说明这个过程。一端固定、一端简支一端固定、一端简支的等截面梁，跨中受集的等截面梁，跨中受集中荷载作用。中荷载作用。2.4 2.4 超静定梁的极限荷载超静定梁的极限荷载Pl/2l/2ACB11/9/202211/9/2022373711-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析固定端弯矩最大，固定端弯矩最大，2 2）在弹塑性阶段：固定）在弹塑性阶段：固定端首先发生塑性区域，端首先发生塑性区域，随着荷载增加、固定端随着荷载增加、固定端成为第一个塑性铰。成为第一个塑性铰。1）在线弹性阶段）在线弹性阶段Pl/2l/2ACBP6Pl/32ACB5Pl/32PePPPMPACB11/9/202211/9/2022383811-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析 固固定定端端弯弯矩矩保保持持Mp，当当荷荷载载增增加加到到极极限限荷荷载载时时，跨跨中弯矩达到中弯矩达到Mp。3）极限状态）极限状态Pl/2l/2ACBMPMP 极极限限荷荷载载 Pp 的的确确定定可可采采用用静静力力法法，也可采用虚功法也可采用虚功法。PeP pe 时时，在在筒筒体体内内壁壁附附近近出出现现塑塑性性区区，并并且且随着内压的增加，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近随着内压的增加，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍为弹性区。仍为弹性区。11/9/202211/9/202210110111-5 11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力理想弹塑性厚壁筒受内压力 由由于于应应力力组组合合 -r 的的轴轴对对称称性性，塑塑性性区区与与弹弹性性区的分界面为圆柱面。区的分界面为圆柱面。筒筒体体处处于于弹弹塑塑性性状状态态下下的的压压力力为为 pp，弹弹塑塑性性分分界界半半径径为为 c。此此时时对对于于弹弹性性区区和和塑塑性性区区也也可可按按两两个个厚厚壁壁圆筒分别进行讨论。圆筒分别进行讨论。r=cr=cr=c11/9/202211/9/202210210211-5 11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力理想弹塑性厚壁筒受内压力 由由于于轴轴对对称称性性，在在内内筒筒的的外外壁壁和和外外筒筒内内壁壁分分别别作作用用均均布布径径向向压压力力 r r=c=q，为为求求解解塑塑性性区区的的应应力力分分量量，应应满满足足平平衡衡方方程程与与屈屈服服条条件件，即即r=cr=cr=c11/9/202211/9/202210310311-5 11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力理想弹塑性厚壁筒受内压力将屈服条件代入平衡方程，即得将屈服条件代入平衡方程，即得 或或 将上式进行积分，得将上式进行积分，得积分常数积分常数 A 可由内壁的边界条件定出可由内壁的边界条件定出:A=-pp-s lna。11/9/202211/9/202210410411-5 11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力理想弹塑性厚壁筒受内压力代代入入上上式式可可求求得得 r，再再由由屈屈服服条条件件，可可求求出出 ，即求得塑性区的应力分量为：即求得塑性区的应力分量为：(d)由由上上式式可可知知，塑塑性性区区的的应应力力分分量量是是静静定定的的，它它仅仅与与内内压压 pp 有有关关，而而与与弹弹性性区区的的应应力力无无关关。而且在塑性区内而且在塑性区内 0,r 0,r 0 ，而且而且 r 绝对值最大值发生在绝对值最大值发生在筒体的内壁处，而筒体的内壁处，而 的最大值则随着内压的的最大值则随着内压的增加而由内壁移到外壁，随着塑性区的扩大，增加而由内壁移到外壁，随着塑性区的扩大，应力分布也变得平缓起来。应力分布也变得平缓起来。且且11/9/202211/9/202211211211-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论 在塑性变形阶段，应力与应变关系没有一一在塑性变形阶段，应力与应变关系没有一一对应关系，应变不仅和应力状态有关，而且还对应关系，应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关，但在某一给定状态下有一个和变形历史有关，但在某一给定状态下有一个应力增量，相应地必有唯一的应变增量。应力增量，相应地必有唯一的应变增量。因此，在一般塑性变性条件下，只能建立因此，在一般塑性变性条件下，只能建立应力与应变增量之间的关系。这种用增量形式应力与应变增量之间的关系。这种用增量形式表示的材料的本构关系称为增量理论（或流动表示的材料的本构关系称为增量理论（或流动理论）。理论）。11/9/202211/9/202211311311-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论在弹塑变形阶段一点的应变增量在弹塑变形阶段一点的应变增量 d ij 分为弹性分为弹性应变增量应变增量d eij 和塑性应变增量和塑性应变增量d pij 两部分，即：两部分，即：d ij=d eij+d pij（加载）（加载）由由广广义义 Hooke 定定律律：d eij 与与应应力力增增量量 d ij 之之间间为：为：11/9/202211/9/202211411411-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论 为为了了确确定定塑塑性性应应变变增增量量与与应应力力的的关关系系，需要以实验为基础找出它们的关系。需要以实验为基础找出它们的关系。Lode曾曾用用受受轴轴向向拉拉伸伸和和内内压压同同时时作作用用的的金金属薄壁管作实验，所采用的参数为属薄壁管作实验，所采用的参数为 和和 11/9/202211/9/202211511511-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论通过实验结果，得出大致结论为通过实验结果，得出大致结论为:可写为可写为 则认为则认为 11/9/202211/9/202211611611-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论 或或 11/9/202211/9/202211711711-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论 在变形的瞬间，主轴方向的塑性应变的增在变形的瞬间，主轴方向的塑性应变的增量与相应的应力偏量分量的比值都是相同的，量与相应的应力偏量分量的比值都是相同的，比值为比值为d。比值比值 d 的表达式的表达式 11/9/202211/9/202211811811-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论将下面三式将下面三式两边平方求和：两边平方求和：得：得：11/9/202211/9/202211911911-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论上式为：上式为：11/9/202211/9/202212012011-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论 当当理理想想弹弹塑塑性性材材料料 e=s，强强化化材材料料 e根根据据塑塑性性变变形形历历史史（实实验验）得得到到 e=e(p)，上上述结果是在主轴方向。述结果是在主轴方向。普朗特普朗特（Prandtl（1924年）年）Resuss（1930年）年）假设：将上述主轴方向推广假设：将上述主轴方向推广 到一般三维应力状态。到一般三维应力状态。或或 11/9/202211/9/202212112111-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论 或或展开展开11/9/202211/9/202212212211-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论对于刚性塑性体计算模型忽略了弹性变形，对于刚性塑性体计算模型忽略了弹性变形，则应力应变关系为则应力应变关系为 或或 11/9/202211/9/2022123123
