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平面及其方程平面及其方程3212932129一、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量.v法线向量 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.当平面上一点M0(x0 y0 z0)和它的一个法线向量n(A B C)为已知时 平面的位置就完全确定了.v唯一确定平面的条件 例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a 0 0)、Q(0 b 0)、R(0 0 c)求此平面的方程(a0 b0 c0).将其代入所设方程 得 解 因为点P、Q、R都在这平面上 所以它们的坐标都满足所设方程 即有 aAD0 bBD0 cCD0 设所求平面的方程为AxByCzD0.上述方程叫做平面的截距式方程 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距.三、两平面的夹角 设平面1和2的法线向量分别为 n1(A1 B1 C1)n2(A2 B2 C2)那么平面1和2的夹角 应满足 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.例5 求两平面 x-y2z-60和2xyz-50的夹角.平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20夹角的余弦:n1(1-1 2)n2(2 1 1).因为 解 平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相垂直的充要条件是 A1A2B1B2C1C20.v两平面垂直的条件 v两平面平行的条件 平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相平行的充要条件是 A1:A2B1:B2C1:C2.平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20夹角的余弦:例6 一平面通过两点M1(1 1 1)和M2(0 1-1)且垂直于平面 xyz0 求它的方程.设所求平面的法线向量为n(A B C).因为M1和M2在所求平面上 所以nn1 即 -A-2C0 A-2C.又因为所求平面垂直于平面xyz0 所以nn1 即 ABC0 BC.由点法式方程 所求平面为 -2C(x-1)C(y-1)C(z-1)0 即 2x-y-z0.从点M1到点M2的向量为n1(-1 0-2)平面xyz0的法线向量为n2(1 1 1).解 方法一：所求平面的法线向量n可取为n1n2.因为所以所求平面方程为 2(x-1)-(y-1)-(z-1)0 即 2x-y-z0.例6 一平面通过两点M1(1 1 1)和M2(0 1-1)且垂直于平面 xyz0 求它的方程.从点M1到点M2的向量为n1(-1 0-2)平面xyz0的法线向量为n2(1 1 1).解 方法二：提示：例7 设P0(x0 y0 z0)是平面AxByCzD0外一点 求P0到这平面的距离.解 设en是平面上的单位法线向量.在 平 面 上 任 取 一 点 P1(x1 y1 z1)则P0到这平面的距离为 例8 求点(2 1 1)到平面 xy-z10的距离.点P0(x0 y0 z0)到平面AxByCzD0距离:解