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平面上曲线积分与路径无关的平面上曲线积分与路径无关的条件条件返回返回上页上页下页下页目录目录在前面计算第二型曲线积分的开始两在前面计算第二型曲线积分的开始两个例子中个例子中,读者可能已经看到读者可能已经看到,在一个例子中在一个例子中,以以 A 为起点为起点B 为为终点的曲线积分终点的曲线积分,若所沿的路线不同若所沿的路线不同,则其积分则其积分值也值也不不同同,但在另一个例子中的曲线积分值只与起点和终但在另一个例子中的曲线积分值只与起点和终 点有关点有关,与路线的选取无关与路线的选取无关.本节将讨论曲线积分在本节将讨论曲线积分在 什么条件下什么条件下,它的值与所沿路线的选取无关它的值与所沿路线的选取无关.11/9/20222返回返回上页上页下页下页目录目录返回返回上页上页下页下页目录目录返回返回上页上页下页下页目录目录返回返回上页上页下页下页目录目录返回返回上页上页下页下页目录目录返回返回上页上页下页下页目录目录返回返回上页上页下页下页目录目录11/9/20229返回返回上页上页下页下页目录目录11/9/202210返回返回上页上页下页下页目录目录例例3 3 计算曲线积分计算曲线积分解解 由于由于11/9/202211返回返回上页上页下页下页目录目录11/9/202212返回返回上页上页下页下页目录目录解解11/9/202213返回返回上页上页下页下页目录目录与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题内容小结内容小结11/9/202214返回返回上页上页下页下页目录目录作业作业习习 题题 9-6 P221 2(2);3(2);11/9/202215返回返回上页上页下页下页目录目录思考与练习思考与练习解解:11/9/202216返回返回上页上页下页下页目录目录2.2.试应用曲线积分求试应用曲线积分求的原函数的原函数.解解 这里这里在整个平面上成立在整个平面上成立 由定理由定理1,曲线积分曲线积分只与起点只与起点 A 和终点和终点 B 有关有关,而与路线的选择无关而与路线的选择无关.为此为此,取取取路线为图取路线为图21-22中的折中的折 线段线段 于是有于是有 11/9/202217返回返回上页上页下页下页目录目录证证 (i)(ii)如图如图 21-19,设设 与与 为联结点为联结点 A,B 的任意两条按段光滑曲线的任意两条按段光滑曲线,由由 (i)可推得可推得 所以所以11/9/202218返回返回上页上页下页下页目录目录D 内任意一点内任意一点.由由 (ii),曲线积分曲线积分 与路线的选择无关与路线的选择无关,故当故当在在 D 内变动时内变动时,其其 积分值是积分值是的函数的函数,即有即有 取取充分小充分小,使使 则函数则函数 对于对于 x 的的偏增量偏增量(图图21-20).).(ii)(iii)设设 为为 D 内某一定点内某一定点,为为 11/9/202219返回返回上页上页下页下页目录目录因为在因为在 D 内曲线积分与路线无关内曲线积分与路线无关,所以所以 因直线段因直线段 BC 平行于平行于 x 轴轴,故故 ,从而由积分从而由积分中中 值定理可得值定理可得 其中其中 根据根据 在在 D 上连续上连续,于是有于是有 11/9/202220返回返回上页上页下页下页目录目录同理可证同理可证所以证得所以证得 (iii)(iv)设存在函数设存在函数使得使得因此因此 于是由于是由 一点处都有一点处都有 以及以及 P,Q 具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,便可知道便可知道在在 D 内每内每 11/9/202221返回返回上页上页下页下页目录目录(iv)(i)设设 L 为为 D 内任一按段光滑封闭曲线内任一按段光滑封闭曲线,记记 L 所围的区域为所围的区域为.由于由于 D 为单连通区域为单连通区域,所以区域所以区域 含在含在 D 内内.应用格林公式及在应用格林公式及在 D 内恒有内恒有 的的 条件条件,就得到就得到 上面我们将四个条件循环推导了一遍上面我们将四个条件循环推导了一遍,这就证明了这就证明了 它们是相互等价的它们是相互等价的.11/9/202222返回返回上页上页下页下页目录目录例例解解应用定理应用定理1 中的条件中的条件(iv)考察考察2 中的两个例子中的两个例子 11/9/202223返回返回上页上页下页下页目录目录问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.11/9/202224返回返回上页上页下页下页目录目录例例解解11/9/202225返回返回上页上页下页下页目录目录11/9/202226返回返回上页上页下页下页目录目录问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.11/9/202227返回返回上页上页下页下页目录目录注注 由定理由定理1 1 可见可见,若若 原函数可用公式原函数可用公式 或或则求全微分的则求全微分的11/9/202228
