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四章线系统的根轨迹法 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 本章阐述了控制系统本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。包的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则条件和基本规则,参量根参量根轨迹和零度根轨迹的概轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法，以及利念和绘制方法，以及利用根轨迹如何分析计算用根轨迹如何分析计算控制系统的性能（稳定控制系统的性能（稳定性、暂态特性和稳态性性、暂态特性和稳态性能指标等）。能指标等）。本章重点本章重点本章主要内容本章主要内容 学习本章内容学习本章内容,应应重点掌握根轨迹的基重点掌握根轨迹的基本概念、绘制根轨迹本概念、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则和利用根的绘制规则和利用根轨迹分析系统的稳定轨迹分析系统的稳定性、暂态特性和稳态性、暂态特性和稳态性能性能,参量根轨迹的参量根轨迹的概念和绘制方法概念和绘制方法,理理解零度根轨迹的基本解零度根轨迹的基本概念和绘制方法。概念和绘制方法。4-1 4-1 根轨迹方程根轨迹方程特征方程的根 运动模态 系统动态响应（稳定性、系统性能）根轨迹根轨迹 开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹称为根轨迹。若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。例 二阶系统的根轨迹开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平面。稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。根轨迹法 图解法求根轨迹。从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系设 控制系统如图所示和 ：前向通路增益 ：前向通道根轨迹增益 ：反馈通道根轨迹增益结论：（1）闭环系统的根轨迹增益=开环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点 开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成。（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 均有关。根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。根轨迹方程根轨迹方程由闭环传递函数当求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。根轨迹方程根轨迹方程可以进一步表示为相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）模值条件（幅值条件）：4-2 4-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则可变参数为根轨迹增益相角条件：180o相轨迹规则规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。简要证明：又从在实际系统通常是 ，则还有 条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 个无限远（无穷）零点。有两个无穷远处的终点有一个无穷远处的起点规则规则2：根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数根轨迹的分支数与开环极点数n相等（nm）或与开环有限零点数m相等（nm 时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。与实轴夹角与实轴交点例1 设单位反馈系统的前向传递函数为（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线与实轴夹角与实轴交点图示P.135 4-6规则规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。由相角条件 图示证明：P.136 图4-7 规则规则5：根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：或注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。例 2 绘制图示系统大致的根轨迹解（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。（2）实轴上根轨迹（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4）分离点（用试探法求解）例3：设单位反馈系统的传递函数为试绘制系统的根轨迹。解（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。（2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2。（3）分离点（4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为规则规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角 。终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角 。例4规则规则7：根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益 和角频率 可以用劳斯判据或闭环特征方程（）确定。例5 设系统开环传递函数试绘制系统大致的根轨迹。解（1）无开环零点，开环极点在实轴上根轨迹-3，0。（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点（3）分离点（4）起始角（出射角）（5）与虚轴的交点 运用劳斯判据由第一列、第三行元素为零由辅助方程规则规则 8：闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支的走向若开环传递函数的积分环节个数结论结论：（1）若 n-m2 闭环极点之和=开环极点之和=常数表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。（2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比。闭环极点的确定闭环极点的确定对于特定的K*值下的闭环极点，可以借助根轨迹图用模值条件确定。根据K*值，通常用试探法先确定在实轴上的闭环极点，然后确定其它的闭环极点。例6 确定 K*=4 的闭环极点。因为已知分离点于是可知 K*=4 对应的闭环极点在分离点两侧。经过若干次试探，找出满足模值条件的两个闭环极点另外两个根可以从特征方程求出P.144 图4-15给出了一些不同开环零极点分布时，其根轨迹大致走向。4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的所有根轨迹。参数根轨迹，开环零点个数大于开环极点个数的根轨迹，具有正反馈内环的零度根轨迹等。参数根轨迹参数根轨迹 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹引入等效开环传递函数的概念等效开环传递函数注意注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。例1：设单位反馈系统的开环传递函数为其中开环增益可自行选定。试分析时间常数 对系统性能的影响。解：闭环特征方程要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点等效开环极点注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将G1(s)的零、极点画在 s 平面上，在令绘制出 变化时的参数根轨迹。附加开环零点的作用附加开环零点的作用1.附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为 附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当 时，表明不存在有限零点。令 为不同的数值，对应的根轨迹见P.150 图4-25所示：（a）无开环零点；（b）；（c）（d）2.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。零度根轨迹零度根轨迹在非最小相位系统，此时相角条件为 在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为 具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹零度根轨迹的绘制零度根轨迹的绘制以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，外回路是采用负反馈加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。等效为相角方程（幅角条件）和模方程（模值条件）与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。规则规则3：渐近线的夹角与实轴夹角与实轴交点规则规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。这个结论可以用相角条件证明。规则规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：终止角（入射角）：P.152 表4-3列出了零度根轨迹绘制法则例3 设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。（1）系统的开环零极点分布为有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-，-3，-2，）。（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角（3）确定出射角（4）确定分离点（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为例3 设飞机的纵向运动时的开环传递函数为试绘制飞机纵向运动的根轨迹图。（1）开环传递函数中具有右半s平面的零点，开环系统为非最小相位系统。（2）开环系统传递函数具有负号，相当于是具有正反馈性质。令
